LT的定义与收敛域PPT课件

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1、第四章第四章 连续时间系统的拉普拉斯变换分析连续时间系统的拉普拉斯变换分析4-1 4-1 拉普拉斯变换的定义与收敛域拉普拉斯变换的定义与收敛域4-2 4-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质4-3 4-3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换4-4 4-4 LTILTI系统的拉普拉斯变换分析系统的拉普拉斯变换分析4-5 4-5 系统函数系统函数4-6 4-6 系统函数与系统的频响特性系统函数与系统的频响特性4-7 4-7 系统稳定性的系统稳定性的s s域描述域描述4-8 4-8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系4-1 4-1 拉普拉斯变换的定义与收敛域拉普拉斯变

2、换的定义与收敛域一、一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 由第三章我们知道，当一复指数时间信号作用于线性时不变系由第三章我们知道，当一复指数时间信号作用于线性时不变系统时，其输出仍然是此复指数时间信号，只是幅度与相位被改变。统时，其输出仍然是此复指数时间信号，只是幅度与相位被改变。tje)(th)()(thetytjtjethty)()(dehtj)()(dehejtj)(tjejH)()()(tjejH 一般，一时间信号作用于系统，其输出若仍然是此时间信号，一般，一时间信号作用于系统，其输出若仍然是此时间信号，只是幅度与相位被改变，称此时间信号为系统的只是幅度与相位被改变，称此时间信号为

3、系统的特征信号特征信号，表征被，表征被改变的幅度和相位的函数，称为系统的改变的幅度和相位的函数，称为系统的特征值特征值或或系统函数系统函数。所以信号所以信号ejt是系统的是系统的特征信号特征信号，函数，函数H(j)，是系统的是系统的特征值特征值或或系统函数系统函数，也称为系统的频率响应。它是系统单位冲激响应，也称为系统的频率响应。它是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。事实上，指数信号事实上，指数信号est也是系统的特征信号，因为也是系统的特征信号，因为stethty)()(dehts)()(dehesst)(stesH)(ste)(th)()(thetyst stesH)(这

4、里如果这里如果s s=+j j，(是实数，可表示为是实数，可表示为ReRes)dtethsHst)()(是系统单位冲激响应的拉普拉斯变换，也称系统的系统函数。是系统单位冲激响应的拉普拉斯变换，也称系统的系统函数。一般的，信号一般的，信号x(t)的拉普拉斯变换，定义为的拉普拉斯变换，定义为dtetxsXst)()(记为记为)()(sXtxLT)(sX)(tx或者或者例如例如:x(t)=)=e-tu(t),求其拉普拉斯变换求其拉普拉斯变换X(s)。dtetxsXst)()(解解:由定义由定义dtetuestt)(0dteestt0)(dtets 当当ReRe+s=+00，以上积分可积以上积分可积0

5、)()(1)(tsessX)(1s ,)(1)(stueLTt 所以所以Res ,事实上，信号事实上，信号x(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换dtetxst)(dtetxtj)()(dteetxtjt)(tetx)(是信号是信号x(t)e-t的傅里叶变换。使信号的傅里叶变换。使信号x(t)e-t满足绝对可积的满足绝对可积的的值的值域，是域，是X(s)的收敛域。由傅里叶反变换式：的收敛域。由傅里叶反变换式：)(jX)(sX)(txdejXetxtjt)(21)(deejXtxtjt)(21)(jjstdjesXj)(21jjstjdesXj)()(21jjstdsesXj)(21-1-1)(sX

6、 从以上分析，拉普拉斯变换可以看成是傅里叶变换的推广从以上分析，拉普拉斯变换可以看成是傅里叶变换的推广。它们之间，在表达式和基本性质上有许多类似。它们之间，在表达式和基本性质上有许多类似。)(jX)(txdtetxtj)(dtetxst)()(sX)(tx-1)(tx)(jXdejXtj)(21)(tx-1)(sXjjstdsesXj)(21 但是，它们之间，存在着明显的差别但是，它们之间，存在着明显的差别。首先是自变量不同，傅首先是自变量不同，傅里叶变换的自变量里叶变换的自变量是一个实变量，它有明确的物理意义是一个实变量，它有明确的物理意义-频率；频率；拉普拉斯变换的自变量拉普拉斯变换的自变

7、量s是一个复变量：是一个复变量：s=+j，其物理意义不明其物理意义不明确，通常称其为复频率。信号的傅里叶变换反映了不同频率分量的确，通常称其为复频率。信号的傅里叶变换反映了不同频率分量的振幅大小与起始相位的值，即信号的频谱；系统单位冲激响应的傅振幅大小与起始相位的值，即信号的频谱；系统单位冲激响应的傅里叶变换，称作系统的频率响应，它表示不同频率的正余弦信号作里叶变换，称作系统的频率响应，它表示不同频率的正余弦信号作用于系统时，系统输出的幅度与相位随输入频率改变而改变的特性。用于系统时，系统输出的幅度与相位随输入频率改变而改变的特性。信号的拉氏变换就没有向傅里叶变换那样明确的物理意义；系统单信号

8、的拉氏变换就没有向傅里叶变换那样明确的物理意义；系统单位冲激响应的拉氏变换，称为系统的系统函数，它虽然较抽象，但位冲激响应的拉氏变换，称为系统的系统函数，它虽然较抽象，但是在表征系统特性及系统分析时起重要的作用。是在表征系统特性及系统分析时起重要的作用。其次是它们的应用各有侧重，傅里叶变换主要应用于信号与系其次是它们的应用各有侧重，傅里叶变换主要应用于信号与系统的频率分析，如调制、滤波、抽样等的频谱分析；而拉普拉斯变统的频率分析，如调制、滤波、抽样等的频谱分析；而拉普拉斯变换主要应用于微分方程的求解、系统函数及其零极点分析等。换主要应用于微分方程的求解、系统函数及其零极点分析等。dtetxsX

9、st)()(解解:由定义由定义dtetuestt)(0dteestt0)(dtets 当当ReRe+s=+-Res-与与Res-Res00，以上积分可积以上积分可积11s1Res)()()(2tuetuetxtt收敛域为收敛域为后一项当后一项当Re2+Re2+s=2+=2+00，以上积分可积以上积分可积j121s2Res收敛域为收敛域为于是，整个函数的拉氏变换为：于是，整个函数的拉氏变换为：2111)(sssX)2)(1(1ss收敛域为收敛域为1Res 即信号拉氏变换的收敛即信号拉氏变换的收敛域为两部分收敛域的公共区域为两部分收敛域的公共区域。域。j12 信号拉氏变换的收敛域与信号本身的形态有

10、关，根据拉氏变信号拉氏变换的收敛域与信号本身的形态有关，根据拉氏变换的定义，一般信号拉氏变换的存在应满足条件：换的定义，一般信号拉氏变换的存在应满足条件：&0)(limttetx0)(limttetx 当信号是一当信号是一右边信号右边信号，即，即t t0，x(t)=0)=0，其拉氏变换：其拉氏变换：0)()(tstdtetxsX0)(ttjtdteetx0t)(txt如果，如果，1 1使上式满足绝对可积，即使上式满足绝对可积，即 00)(ttjtdteetx 00)(ttdtetx使使存在，则收敛域为存在，则收敛域为1Resj101)()()(1ttjtdteetxjXsX 当信号是一当信号是

11、一双边信号双边信号，其拉氏变换：，其拉氏变换：dtetxsXst)()(00)()(dteetxdteetxtjttjt如果，如果，0 0使上式第二项满足绝对可积，使上式第二项满足绝对可积，1 1使上式第一项满足绝对使上式第一项满足绝对0)(txt可积，即可积，即0001)()()(dteetxdteetxsXtjttjt若若01，以上以上X(s)不存在；不存在；若若01，以上以上X(s)存在，且收敛域存在，且收敛域为：为：0Restt1，x(t)=0)=0，其拉氏变换：其拉氏变换：dtetxsXst)()(10)(ttstdtetx0t)(txt1t此时，若此时，若x(t)是绝对可积的，是绝

12、对可积的，x(t)e-t总是满足绝对可积的总是满足绝对可积的，所以其，所以其拉氏变换在整个拉氏变换在整个s s平面上均存在，即收敛域是平面上均存在，即收敛域是s s全平面。全平面。10)(tttjtdteetx三、三、单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 以下介绍的常见信号的拉普拉斯变换，均是指单边拉氏变换。以下介绍的常见信号的拉普拉斯变换，均是指单边拉氏变换。本章及以后各章，在没有特别提到，均是指单边拉氏变换。本章及以后各章，在没有特别提到，均是指单边拉氏变换。在系统分析时，我们常常用的是单边拉普拉斯变换：在系统分析时，我们常常用的是单边拉普拉斯变换：0)()(dtetxsXst因为，实际系统是

13、因果的，信号总是在某个时刻才开始作用于系统，因为，实际系统是因果的，信号总是在某个时刻才开始作用于系统，我们可以把这个时刻看作我们可以把这个时刻看作t=0=0；以上定义式中的积分的下限取以上定义式中的积分的下限取0 0-，考虑变换对冲激信号也是有效的；由以上收敛域的分析，单边拉氏考虑变换对冲激信号也是有效的；由以上收敛域的分析，单边拉氏变换的收敛域是收敛轴的右半平面：变换的收敛域是收敛轴的右半平面：ResRes0 0，以后一般不具体以后一般不具体标示变换的收敛域。标示变换的收敛域。0)(txt四、四、常见信号的拉普拉斯变换常见信号的拉普拉斯变换1 1、单位冲激信号单位冲激信号)(t0)(dtetst00)(dttes12 2、单位阶跃信号单位阶跃信号)(tu0)(dtetust0dtests13 3、单位斜变信号单位斜变信号)(ttu0)(dtettust0dttest21s 可以证明，信号可以证明，信号tnu(t)的拉氏变换：的拉氏变换：4 4、单边指数信号单边指数信号)(tutn0)(dtetutstn0dtetstn1!nsn)(tuet0dteestts1 同样同样)(0tuetj01 js)(0tuetj01 js所以所以)(cos0ttu202ss)(sin0ttu2020s