多元函数微分学的应用

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1、1一、多元函数微分法在几何中的应用一、多元函数微分法在几何中的应用1.1.求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面(关键关键:抓住切向量抓住切向量)求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线(关键关键:抓住法向量抓住法向量)2.2.切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(000000 zztyytxxt (1)(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 2处的切向量为：处的切向量为：在在：空间曲线空间曲线),(0),(0),(000zyxzyxGzyxF ),(),(000000zyxGzy

2、xFl ),(000zyxzyxzyxGGGFFFkji两曲面在点两曲面在点的法向量的外积的法向量的外积),(000zyx3()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线.0),(:zyxF 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(:yxfz 曲曲面面1),(),(0000 yxfyxfnyx法向量为法向量为4例例1.求曲线求曲线0453203222zyxxzyx在点在点(1,1,1)的切线的切线解解:点点(1

3、,1,1)处两曲面的法向量为处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线由此得切线:111zyx1691法平面法平面:0)1()1(9)1(16zyx024916zyx即即与法平面与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl5 例例2 证明曲面证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行与定直线平行,.),(可可微微其其中中vuF证证:曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量,1F,)()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为,m,1)n则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立.的所有

4、切平面恒的所有切平面恒(n(l,0nl6 自测自测12/一、选择题一、选择题：（2）若若曲曲线线 zyxxyz2上上点点)1,1,2(处处切切向向量量与与oz轴轴夹夹锐锐角角，则则此此切切向向量量 与与oy轴轴所所夹夹的的角角为为 （）（A）4；（B）43；（C）3；（D）32。分析：分析：）的的一一个个切切向向量量为为：，曲曲线线在在（1121,1,0111)1,1,2(xyxzyzkjil1,1,01 lz轴轴夹夹锐锐角角，所所以以取取由由于于切切向向量量与与轴轴夹夹角角：此此向向量量与与 y22cos11 ljl 43 BGF 7（3）函函数数221yxz 在在点点)4,3(0 M处处沿

5、沿函函数数过过该该点点的的等等值值线线外外 法法向向n的的方方向向导导数数 0Mnz （）（A）ji86 ；（B）ji43 ；（C）10；（D）10。分析：分析：yzxzyx2,2 由于由于8,68,6 n所以所以8,6)(0 Mf00)(0nMfnzM 10108,1068,6 )(C选选C.25220 yxM 的等值线方程为：的等值线方程为：过过0MO8),)(),()1(都都是是可可微微函函数数其其中中空空间间曲曲线线gfzgyyfx 点点处处的的切切线线方方程程为为：？上上对对应应于于0zz 解：解：将将曲曲线线改改写写为为参参数数形形式式 zzzgyzgfx)()(tztgytgfx

6、)()(或或所所以以切切向向量量为为：01),(),()(zttgtgtgf 1),(),()(000zgzgzgf 所所以以，切切线线方方程程为为：1)()()()()(000000zzzgzgyzgzgfzgfx 二填空题二填空题9（2）曲面）曲面22yxz 上垂直于直线上垂直于直线 2212zyzx的切平面方程是的切平面方程是_。分析：分析：为为曲曲面面上上任任意意点点处处法法向向量量1,2,2 yxn：已已知知直直线线的的方方向向向向量量为为1,2,22,1,02,0,1 lnl平平行行于于由由于于12222 yx所所以以，），切切点点为为（2110)2()1(2)1(2 zyx切切平

7、平面面为为：0222 zyx即即0222 zyx10六六证证明明曲曲面面)0(aazyx上上任任一一点点),(zyxP )0(xyz处处切切平平面面在在三三坐坐标标轴轴上上截截距距之之和和为为定定值值 解：解：azyxzyxF ),(令令,21xFx,21yFy,21zFz 21,21,21000zyxn 在在定定点点处处法法向向量量为为切平面：切平面：0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx0000000 zzzyyyxxxazyxzzyyxx 00000011azyxa )(000和和为为：与与三三个个坐坐标标轴轴的的截截距距之之1000 zazyayxax12七七试试证

8、证曲曲线线tttztytxe,sine,cose 在在锥锥面面22yxz 上上，且且曲曲线线上上任任一一点点处处的的切切线线与与锥锥面面上上过过该该点点的的母母线线夹夹角角为为定定值值 证证明明：0,2222 ttezzeyx由由于于.所以曲线在锥面上所以曲线在锥面上：的锥面母线的方向向量的锥面母线的方向向量与锥面顶点与锥面顶点（连接点连接点Oetetettt),sin,cosM为为：而而曲曲线线的的切切线线方方向向向向量量),cos(sin),sin(costttettette OMOM cos夹夹角角余余弦弦：该该向向量量与与母母线线方方向向向向量量,sin,costtteteteOM 3

9、2 故结论成立。故结论成立。t,et,eeOMtttsincos 13八八证证明明曲曲面面22yxxyz 上上任任一一点点),(0000zyxM )0(2020 yx处处的的法法线线都都垂垂直直于于直直线线000zzyyxx 证明：证明：23)(223yxyzx 23)(223yxxzy 所所以以法法向向量量为为,)(23202030yxyn 1,)(23202030 yxy,000zyxl 直直线线的的方方向向向向量量2020000yxyxz ln于于是是23)(2020300yxyx 23)(2020030yxyx 202000yxyx 202000yxyx 202000yxyx 0 ln

10、 14九九设设函函数数),(zyxF有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，且且0 F，对对任任意意实实数数zyx,和和t有有),(),(zyxFttztytxFk（k是是正正整整数数），证证明明曲曲面面0),(zyxF上上任任一一点点处处的的切切平平面面都都通通过过一一个个定定点点 证明：证明：两两端端求求偏偏导导数数),(),(zyxFttztytxFk),(1321zyxFktzFyFxFk xkFttF 1ykFttF 2zkFttF 3)(1321zyxkzFyFxFtzFyFxF 所以，所以，xkFtF11 ykFtF12 zkFtF13 kFzFyFxFzyx 从从而而，150),(z

11、yxkFzFyFxFZFYFXFzyxzyx即即时时，满满足足上上方方程程，当当（)0,0,0(),ZYX），平平面面都都过过定定点点（所所以以，任任意意一一点点处处的的切切000处处切切平平面面的的法法向向量量：上上任任意意点点曲曲面面),(0),(zyxzyxF,zyxFFFn 切切平平面面方方程程为为：0)()()(zZFyYFxXFzyx16十十三三若若两两个个曲曲面面1和和2在在它它们们交交线线上上任任一一点点处处的的法法向向量量都都相相互互垂垂直直，则则称称这这两两个个曲曲面面正正交交。证证明明曲曲面面22221:Rzyx 与与0:2 cxybzxayz 正正交交（其其中中常常数数

12、Rcba,均均为为正正数数）证证明明：2222),(RzyxzyxF 设设cxybzxayzzyxG ),(：上上任任意意点点处处的的法法向向量量为为则则曲曲面面1 2,2,2,1zyxFFFnzyx ：上上任任意意点点处处的的法法向向量量为为则则曲曲面面2,2bxaycxazcybzGGGnzyx )(221bxzayzcxyayzcxybxznn 0)(4 cxybzxayz即即两两曲曲面面正正交交。21nn 17二、高阶偏导数二、高阶偏导数例例1 1解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,221

13、4fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 18xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 19证明：证明：)()(21)()(21atxatxaatxatxxz )(1)(1)()(2122atxaatxaatxatxxz )()(21)()(21atxaatxaaatxaatxatz )()(1)()(2222atxaatxaaatxatxatz 20)()(21)()(21222atxatxaatxatxa

14、tz 222xza 21十 五 求 常 数十 五 求 常 数 ,，使 方 程，使 方 程056 yyxyxxuuu，在 变 量 代 换，在 变 量 代 换yxyx ,下，下，可化为新方程可化为新方程0 u 解：解：xuxuxu uuxuuxuxxu )()(22 xuuxuu )()(222222 uuuu222222 uuu22yuuxuyyxu )()(2 yuuyuu )()()()(222222 uuuu22222)(uuu23yuyuyu uuyuuyuyyu )()(22 yuuyuu )()(22222222 uuu24 yyxyxxuuu56所所以以，26 uuu 2)(522 uuuuuu uuu56255125622 ,0056 uuuuyyxyxx化为化为所以，要使方程所以，要使方程只要只要0562 0562 025512 2332 或或从从而而有有，