对称式和轮换对称式及问题详解

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1、 对称式和轮换对称式一填空题（共10小题）1已知，a，b，c是ABC的边，且，则此三角形的面积是：_2已知实数a、b、c，且b0若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_3已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）（b+d+f）的值为_4已知bca2=5，cab2=1，acc2=7，则6a+7b+8c=_5x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1x1y2=1，x1y1+x2y2=3则y12+y22=_6设a=，b=，c=，且x+y+z0，则=_7已知，其中

2、a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_8设2（3x2）+3=y，2（3y2）+3=z，2（3z2）+3=u且2（3u2）+3=x，则x=_9若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、，则xyz=_10设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_二选择题（共2小题）11已知，则的值是（）ABCD12如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A672B688C720D750三解答题（共1小题）13已知b0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c

3、+d的最大值答案与评分标准一填空题（共10小题）1已知，a，b，c是ABC的边，且，则此三角形的面积是：考点：对称式和轮换对称式。分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：+=+，再整理，配方即可得：（1）2+（1）2+（1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积解答：解：a=，b=，c=，全部取倒数得：=+，=+，=+，将三式相加得：+=+，两边同乘以2，并移项得：+3=0，配方得：（1）2+（1）2+（1）2=0，1=0，1=0，1=0，解得：a=b=c=1，ABC是等边三角形，ABC的面积=1=故答案为：点评：此题考查了对称式和轮换对称式的

4、知识，考查了配方法与等边三角形的性质此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形2已知实数a、b、c，且b0若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为考点：对称式和轮换对称式。分析：x12+ax22=b，x2y1x1y2=a，x1y1+ax2y2=c首先将第、组合成一个方程组，变形把x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入，通过化简就可以求出结论解答：解：x12+ax22=b，x2y1x1y2=a，x1y1+ax2y2=c由，得，把代入，得把代入，得把、代入，

5、得+=b，（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2y12+ay22=故答案为：点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用3已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）（b+d+f）的值为考点：对称式和轮换对称式。分析：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f为正数，即abcdef=1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d，e，f的值，继而求出答案解答：解：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为正数，abcdef=1，bcdef

6、=，=4，bcdef=4a，4a=，a=同理可求出：b=，c=，d=2，e=3，f=4原式=+324，=故答案为：点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给条件求出a，b，c，d，e，f的值是关键4已知bca2=5，cab2=1，acc2=7，则6a+7b+8c=44或44考点：对称式和轮换对称式。分析：令bca2=5，cab2=1，acc2=7，用式减式得 bca2ca+b2=c（ba）+（b+a）（ba）=（a+b+c）（ba）=6，式减式得 cab2ab+c2=a（cb）+（c+b）（cb）=（a+b+c）（cb）=6，于是求出b和a、

7、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值即可求出解答：解：令bca2=5，cab2=1，acc2=7，式减式得 bca2ca+b2=c（ba）+（b+a）（ba）=（a+b+c）（ba）=6，式减式得 cab2ab+c2=a（cb）+（c+b）（cb）=（a+b+c）（cb）=6，所以ba=cb，即b=，代入得 ca=1，4ac（a+c）2=4，（ac）2=4，ac=2或ac=4，当ac=2时，a=c+2，b=c+1，代入式得（c+2）（c+1）c2=7，3c+2=7，c=3，所以a=1，b=2，此时6a+7b+8c=6（1）+7（2）+8（3）=44，当ac=2时，a

8、=c2，b=c1，代入式得（c2）（c1）c2=73c+2=7，c=3，所以a=1，b=2 此时6a+7b+8c=61+72+83=44，所以6a+7b+8c=44或6a+7b+8c=44，故答案为44或44点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出b=，此题难度不大5x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1x1y2=1，x1y1+x2y2=3则y12+y22=5考点：对称式和轮换对称式。分析：根据题意令x1=sin，x2=cos，又知x2y1x1y2=1，x1y1+x2y2=3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值解答：解：令x1=sin

9、，x2=cos，又知x2y1x1y2=1，x1y1+x2y2=3，故，解得：y1=cos+3sin，y2=3cossin，故y12+y22=5故答案为5点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1=cos，x2=sin，此题难度不大6设a=，b=，c=，且x+y+z0，则=1考点：对称式和轮换对称式。分析：a=，b=，c=分别代入，表示出，的值，然后化简就可以求出结果了解答：解：a=，b=，c=，=+=x+y+z0原式=1故答案为：1点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用具有一定的难度7已知，其中a，b，c为常数，使得凡

10、满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=考点：对称式和轮换对称式。分析：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x0），由可得：=，解出a、b和c的值即可解答：解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x0），又知，即=，解得a=2，c=，b=，即a+b+c=2+=故答案为点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题难度不大8设2（3x2）+3=y，2（3y2）+3=z，2（3z2）+3=u且2（3u2）+3=x，则x=考点：对称式和轮换对称式。专题：计算题。分析：先化简各式，将各式联立相加，然后分别将

11、y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u，即可求出x的值解答：解：将各式化简得：，（1）+（2）+（3）+（4）得：x+y+z+u= ，分别将y、z和u关于x的式子代入中，得：x+6x1+6（6x1）1+=，解得：x=故答案为：点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消除y、z和u9若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、，则xyz=162考点：对称式和轮换对称式。分析：将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程就可以把x、y用含z的式子表示出来，然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果解答：解：由

12、，得y= 由，得x= 把、代入，得，解得z=9y=6，x=3原方程组的解为：xyz=369=162故答案为：162点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法，解方程组的过程以及求代数式的值的方法10设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=1考点：对称式和轮换对称式。专题：计算题。分析：分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=，同理可得出zx=，xy=，三式相乘可得出xyz的值解答：解：由已知x+=y+=z+，得出x+=y+，xy=，zy=同理得出：zx=，xy=，得x2y2z2=1，

13、即可得出xyz=1故答案为：1点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点二选择题（共2小题）11已知，则的值是（）ABCD考点：对称式和轮换对称式。专题：计算题。分析：先将上面三式相加，求出+，+，+，再将化简即可得出结果解答：解：，+=15，+=17；，+=16，+得，2（+）=48，+=24，则=，故选D点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握12如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A672B688C7

14、20D750考点：对称式和轮换对称式。分析：首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展开，即可求得ab+ac=152 ，bc+ba=162 ，ca+cb=170 ，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值解答：解：a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，ab+ac=152 ，bc+ba=162 ，ca+cb=170 ，+得：ab+bc+ca=242 ，得：bc=90，得：ca=80，得：ab=72，bccaab=908072，即（abc）2=7202，a，b，c均为

15、正数，abc=720故选C点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解三解答题（共1小题）13已知b0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值考点：对称式和轮换对称式。分析：分别表示出a，b，c，d，然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知道从而得解解答：解：a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，2b+c=6，c=62b，代入a+b=c+1得a=73b，代入b+c=d+2得d=4b，则a+b+c+d=175b，因为b0，所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17点评：本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值范围