高等数学高斯公式共24页

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1 上有连续的一阶偏导数,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P,Q,R 在面 所围成,则有(Gauss 公式公式)高斯 的方向取外侧,设空间闭区域 由分片光滑的闭曲目录 上页 下页 返回 结束 231zyxyxDO)

2、,(yxRyxyxRdd),(,),(:11yxzz 证明证明yxDyxyxzyxzyxz),(,),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd称为XY-型区域,),(:22yxzz 则yxyxRdd),(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),(),(1yxz定理1 设目录 上页 下页 返回 结束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxR

3、xzQzyPd dddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加,即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 x3z1y例例1zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧.解解利用Gauss 公式,得原式=zyxzyddd)(29,)(xzyP,0QyxR及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?zyxddd)230(利用质心公式,注意23,0zyO用Gauss 公式计算 这里若 改为内侧,结果有何变化?目录 上页 下页 返回 结束 hzyxO例例2SzyxId)

4、coscoscos(222其中 为锥面222zyx解解,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z=0及 z=h 之间部分的下侧,为法向量的方向角.1,记所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1利用Gauss 公式计算积分作辅助面目录 上页 下页 返回 结束 yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2利用质心公式,注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4h思考思考:提示提示:,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z=0 及 z=2之间部分的下侧

5、.,2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面目录 上页 下页 返回 结束 Ozxy例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧,求 解解 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标2111yxD目录 上页 下页 返回 结束 coscoscoszvyvxv(,),(,)u x y zv x y z在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green

6、)第一公式Sd 例例4uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧.uP xvuQ yvuR zv注意注意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222222zvyvxv设函数目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd 高斯公式证证uP,xvuQ,yvuR,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd令目录 上页 下页 返回 结束*二、沿任意闭曲面的曲面积

7、分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域 G,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G 为空间二维单连通域;若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为例如例如,球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但空间一维单连通域.目录 上页 下页 返回 结束 2.闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2 ),(),(),(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任

8、一闭曲面,则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),(,0证证根据高斯公式可知是的充分条件.的充要条件是:“必要性”.用反证法.使假设存在,0GM 00MzRyQxP已知成立,“充分性”.目录 上页 下页 返回 结束 因P,Q,R 在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,)(0GMU,)(0上使在MU0zRyQxP的边界为设)(0MU则由 yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMUddd)(00与矛盾,故假设不真.因此条件是必要的.取外侧,高斯公式得 目录 上页 下页 返回 结束*三、通量与散度三、通量与散度引例引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyx

9、RjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意义可知,设 为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd目录 上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为 当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.流出的,表明 内有泉;表明 内有洞;根据高斯公式,流量也可表为zyxzRyQxPdddnn目录 上页 下页 返回 结束

10、 zyxzRyQxPddd方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性,M在式两边同除以 的体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.),(目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向 则称 曲面,其单位法向量 n,SnAd为向量场 A

11、通过在场中点 M(x,y,z)处 记作AdivzRyQxPAdiv显然A有向曲面 的 通量(流量).称为向量场 A 在点 M 的 散度.目录 上页 下页 返回 结束 0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有 例如,匀速场),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是无源场.说明说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且散度意义 ,则称 A 为 无源场.目录 上页 下页 返回 结束 yxydd112例例5 5解解kzjy22zy)0(122zzyffnkzjzyA2穿过

12、曲面 流向上侧的通量,其中 为柱面被平面10 xx及截下的有限部分.x122 zy1)0,1,1(O)0,1,1(zyn,),(22zyyxf则 上侧的法向量为kzjy在 上32zzyzzyz)(22nA故所求通量为SnAdSzdxyDy212求向量场记目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP目录 上页 下页 返回 结束 2.*通量与散度 设向量场P,Q,R,在域G 内有

13、一阶 连续 偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为),(RQPA SnAdzRyQxPAAdiv(n 为 的单位法向量）目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)(3222 为2R目录 上页 下页 返回 结束 rncosrn补充题补充题所围立体 的体 是 外法线向量与点(x

14、,y,z)的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夹角,积为V,)cosr,cos,(cosn,),(zyxr 设 是一光滑闭曲面,设 的单位外法向量为 目录 上页 下页 返回 结束 高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何 在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.