实验六 拉普拉斯变换

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1、实验六拉普拉斯变换及其逆变换一、目的掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆变换的方法二、拉普拉斯变换曲面图的绘制连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为：F(s)=Zf(t)e_stdt(6-1)其中s=Q+j，若以b为横坐标(实轴)，jw为纵坐标(虚轴)，复变量s就构成了一个复平面，称为s平面。显然，F(s)是复变量s的复函数，为了便于理解和分析F(s)随s的变化规律，可以将F(s)写成：F(s)=|F(s)*用s)(6-2)其中，|F(s)称为复信号F(s)的模，而申(s)则为F(s)的幅角。从三维几何空间的角度来看，

2、|F(s)|和申(s)对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换F(s)随复变量s的变化规律。上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能实现。现在考虑如何利用MATLAB来绘制s平面的有限区域上连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的曲面图，现以简单的阶跃信号u(t)为例说明实现过程。1我们知道，对于阶跃信号f(t)二u(t)，其拉普拉斯变换为F(s)二-。首先，利用两s个向量来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：x1=-0.2：0.03：0.2;y1=-0.2：0.03

3、：0.2;然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：x,y=meshgrid(x1,y1);s=x+i*y;上述命令产生的矩阵s包含了复平面-0.2b0.2，-0.2jwL，则F(s)可以分解为有理多项式与真分式;之和，即F(s)二P(s)+R(s)二P(s)+B(s)丽二P(s)+jas：其中，iP(s)是关于s的多项式，其逆变换可直接求得(冲激信号及其各阶导数)，R(s)为在满足MN情况下,图6-6系统零极点图i1有以下几种情况：连续系统零极点图虚轴KKE(s)+12H+(s-p)k-1(s-p)D(s)11K可用下式

4、求得1i1di-1K=1i(i-1)!dsi-1sp)kF(s).1关于s的有理真分式，即满足MN。以下进讨论MN的情况。设连续信号f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则F()B(s)B(s)F(s)=A(s)n(s-p)i(1)极点均为单重情况下，可对其直接进行部分分式展开得：rrrF(s)=1+2Ns-ps-ps-p,12N其中，r=(s-p)F(s)(i=1,2,N)称为有理函数F(s)的留数。则F(s)的拉普拉斯逆变换为：is=pf(t)=rep#u(t)i(2)有k重极点，设为p，则部分分式展开为中、1KF(s)=厂(s-p)1s=pl3)有共轭极点则F(s)的拉普拉斯逆变换为：f(t

5、)=工Ktk-jep#u(t)+!LrepitU(t)j1i2rrrrF(S)=1+2+2ns-ps-ps-ps-pK1V23N设F(s)有一对共轭极点p=-ajp，贝U1,2r=(s-p)F(s)=|r|e11s=pi1r=r*由共轭极点所决定的两项复指数信号可以合并成一项，故有f(t)=2|re-acos(Pt+0)u(t)从以上分析可以看出，只要求出F(s)部分分式展开的系数(留数)r，就可直接求出F(s)的逆变换f(t)。上述求解过程，可以利用MATLAB的residue()函数来实现。令A和B分别为F(s)的分子和分母多项式构成的系数向量，贝函数：r,p,k=residue(B,A)

6、将产生三个向量r、p和k,其中p为包含F(s)所有极点的列向量，r为包含F(s)部分分式展开系数r的列向量，k为包含F(s)部分分式展开的多项式的系数行向量，若MN，则k为空。例6-4：已知连续信号的拉普拉斯变换为：F(s)=2s+4s3+4s试用MATLAB求其拉普拉斯逆变换f(t)。解：MATLAB命令如下:a=1040;b=24;r,p,k=residue(b,a)运行结果：r=-0.5000-0.5000i-0.5000+0.5000i1.0000p=0+2.0000i0-2.0000i0k=由上述结果可以看出，F(s)有三个极点p=j2，p=0，为了求得共轭极点对应的信号分量，可用a

7、bs()和angle()分别求出部分分式展开系数的模和幅角，命令如下：abs(r)ans=0.70710.70711.0000angle(r)/pians=-0.75000.750003由上述结果可得f(t)二1+迈cos(2t-兀)u(t)。4例6-5：求下式函数的逆变换s一2s(s+1)3解：MATLAB程序如下:a=13310;b=1-2;r,p,k=residue(b,a)运行结果：r=2.00002.00003.0000-2.0000p=-1.0000-1.0000-1.000022+(s+1)(s+1)23(s+1)33对应的逆变换为f(t)二(-12+2t+2)e-t-2u(t)

8、。2六、实验内容1、求解下述信号的拉普拉斯变换，并利用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图：f(t)=cos(2t)u(t)f(t)=e-21sin(t)u(t)2、已知连续时间信号f(t)=e-3tu(t)，试求出该信号的拉普拉斯变换F(s)和傅立叶变换Fj)，用MATLAB绘出拉普拉斯变换曲面图F(s)|及幅频曲线F(jo)|，观察曲面图在虚轴上的剖面图，并将其与幅频曲线相比较，分析频域与复频域的对应关系。3、已知信号的拉普拉斯变换如下所示，试用MATLAB绘制曲面图，观察拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响。(1)F(s)=(s+1)(s+4)s(s+2)(s+3)2)4、试用MATLAB求下列信号的拉普拉斯逆变换1)s2+5s+4s3+5s2+6s2)F(s)二1s3+2s2+2s+1