大变形问题的有限元分析ppt课件

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1、第三章第三章 大变形问题的有限元分析大变形问题的有限元分析目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元方法。方法。特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。内容：内容：l 引言引言l 大变形问题的应变描述大变形问题的应变描述l 大变形分析中的应力描述及本构关系大变形分析中的应力描述及本构关系l 大变形问题有限元方程的建立大变形问题有限元方程的建立l 大变形分析中的载荷处理大变形分析中的载荷处理l 小结小结引言引言几何非线性问题：位移与应变成非线性微分意义上关系。几何非线性问题：位移

2、与应变成非线性微分意义上关系。物理现象：将位移转动和物理现象：将位移转动和/或应变较大的问题统称为大变形或应变较大的问题统称为大变形问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移转动小应变问题及大位移大应变问题两大类。转动小应变问题及大位移大应变问题两大类。研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题，研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题，大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考论的预测值更好

3、。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。几何线性问题：几何线性问题：位移与应变成线性位移与应变成线性微分关系；微分关系；研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。大变形问题的应变描述大变形问题的应变描述(1/4)(1/

4、4)问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。初始构型初始构型0时刻）时刻）(a)(b)(c)IXixiy现时构型现时构型t 时辰）时辰）当前构型（当前构型（时辰）时辰）tt 连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和

5、术语。理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。大变形问题的分析方法：增量法。大变形问题的应变描述大变形问题的应变描述(2/4)(2/4)描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学表示为表示为,12KLK LL KM KM Luuuu现时现时UpdatedGreen应变张量：以现时构型为参考构应变张量：以现时构型

6、为参考构型所定义的应变，数学表示为型所定义的应变，数学表示为,12klk ll km km luuuu留意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。留意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。大变形问题的应变描述大变形问题的应变描述(3/4)(3/4)应变增量：应变增量：Green应变增量：应变增量：现时现时UpdatedGreen应变增量：应变增量：,1122IJKJK JK IKIK IK JK IK JIJIJuuuuuue 线性部分线性部分非线性部分非线性部分*1122jikkijjiijijijuuuuxxxxe 线性部分线性部分非线性部分非线性部分*m

7、nIJmnIJxxXX二者之间满足张二者之间满足张量变换关系！量变换关系！大变形问题的应变描述大变形问题的应变描述(4/4)(4/4)应变增量：（续）对于大变形小应变情形应变增量：（续）对于大变形小应变情形 Green应变增量退化成：应变增量退化成：现时现时UpdatedGreen应变增量退化成：应变增量退化成：,1212IJKJK JK IKIK IKKKJIJuuuuuuIJIJe 线性部分线性部分非线性部分是高阶小量非线性部分是高阶小量*1212kkijjiijjiuuuxxuxx*ijije 线性部分线性部分非线性部分是高阶小量非线性部分是高阶小量*12jiIJijijjiuuXX 对

8、于小变形情形对于小变形情形大变形问题的应力描述大变形问题的应力描述(1/2)(1/2)应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意微元体所在的构型。意微元体所在的构型。Euler应力：应力：与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用应力，用 表示。表示。Euler应力代表物

9、体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型，应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型，因此，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。因此，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。Kirchhoff应力：应力：通过初时构型上的微元体定义的应力称为通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用应力，用 表示；表示；通过现时构型的微元体定义的应力称为现时通过现时构型的微元体定义的应力称为现时UpdatedKirchhoff 应力，应力，用用 表示。表示。S*S大变形问题的应力描述大变形问题的应力描述(2/2)(2/2)Kirchhoff、现时、现时Kirc

10、hhoff及及Euler应力增量间的关系：应力增量间的关系：根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系*ijijijSS现时现时Kirchhoff应力应力Euler应力应力现时现时Kirchhoff应力增量应力增量时辰时辰t 时辰时辰tt*1jiijklNKLxxSSXXD*11jiijijklklNklyySxxD123123,NiJx xxxDXXXX*1123123,Nijy yyyDx x xx特点：以现时构型为参考。特点：以现时构型为参考。大变形分析中的本构关系大变形分析中的本构关系(1/5)(1/5)本构关系的客观性要求：需要选取合适的

11、应力应变共轭对本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力应变共轭对描述材料的本构关系。描述材料的本构关系。弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。本构关系有三种形式本构关系有三种形式ijijklklAijklAijijW12ijijklklWA，为常数为常数线弹性材料线弹性材料(elasticity)超弹性材料超弹性材料(hyperelasticity)ijklijklAtt次弹性材料次弹性材料(hypoelasticity)21 2ijkliljmijlmAG （大变形分析中）（大变形分析中）大变形分析中的本构关系大变形分析中的本构关系(2/5)(2/5

12、)弹性材料弹性材料 若若Kirchhoff应力与应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这应变之间存在一一对应关系，则称这类材料为弹性材料类材料为弹性材料 IJKLSFIJIJKLKLSA不依赖于构型变化不依赖于构型变化弹性本构关系多用于大位移转动小应变的情形。弹性本构关系多用于大位移转动小应变的情形。特殊情形特殊情形大变形分析中的本构关系大变形分析中的本构关系(3/5)(3/5)超弹性材料超弹性材料 假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构关系，这类材料称为超弹性材料。关系，这类材料称为超弹性材料。KLWW(不

13、限于这种形式）不限于这种形式）总之，对于一般的大变形总之，对于一般的大变形问题，在连续介质力学中问题，在连续介质力学中常用超弹性来表征材料的常用超弹性来表征材料的本构关系。本构关系。012IJIJKLKLWA例如例如0KLIJIJWS20MNIJKLIJKLIJKLKLWSA一阶近似一阶近似初始构型时材料初始构型时材料的密度常数的密度常数增量形式增量形式 坐标变换坐标变换现时现时Kirchhoff应力应力或增量形式或增量形式 Case-1Case-2*ijWW不能简化！不能简化！一阶近似一阶近似*klijijWS现时构型时材料的密现时构型时材料的密度随变形变化。度随变形变化。相相比比较较大变形

14、分析中的本构关系大变形分析中的本构关系(4/5)(4/5)次弹性材料次弹性材料若应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但若应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但本构关系描述时要求本构关系描述时要求“率为与刚体转动无关的客观时间导数。率为与刚体转动无关的客观时间导数。同乘以时间增量同乘以时间增量增量形式增量形式 Case-2IJIJKLKLSAtCase-1*JijijklklSA D可以证明，这两个率都与转动无关可以证明，这两个率都与转动无关*JijijikkjjkkiSSSSJaumann应力率应力率*12jiijijjivvDexx现时现时Gree

15、n应变的线性部分应变的线性部分 可以证明，这两个率都与转动无关可以证明，这两个率都与转动无关*12jiijjivvxx旋转率旋转率大变形分析中的本构关系大变形分析中的本构关系(5/5)(5/5)三种本构关系间的关系三种本构关系间的关系对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试才能得以确定。实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试才能得以确定。次次弹弹性

16、性材材料料弹性弹性材料材料超弹性超弹性材料材料大变形问题有限元方程的建立大变形问题有限元方程的建立 (1/6)(1/6)与塑性力学有限元方法的异同与塑性力学有限元方法的异同区别：塑性力学的本构关系随加载变化，而大变形问题的构型随加载变化。区别：塑性力学的本构关系随加载变化，而大变形问题的构型随加载变化。TL？UL?本节讨论本节讨论 类似：都采用增量方法，都不显含时间。类似：都采用增量方法，都不显含时间。导致分析方法、应力应变描述、本构关系、控制方程的变化。导致分析方法、应力应变描述、本构关系、控制方程的变化。构型对应构型对应 构型相关，本节讨论构型相关，本节讨论。客观性描述客观性描述 大变形问

17、题有限元方程的建立大变形问题有限元方程的建立 (2/6)(2/6)TL法有限元方程的建立法有限元方程的建立特点：始终以初始特点：始终以初始0时刻构型做为应力与应变描述的参考构型，因此，采用时刻构型做为应力与应变描述的参考构型，因此，采用Kirchhoff应力增量和应力增量和Green应变增量）。应变增量）。t 时辰时辰:TL法：法：Total Lagrangian Description（TLD）虚功方程：虚功方程：优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。000eTTTTttttttttVSSubdVutdSuP 时辰

18、时辰:tt 000tttttttttttttteTTTTttVSSubdVutdSuP 两式相减，两式相减，得增量型虚得增量型虚功方程：功方程：000TTTVTTTeeSTeSSubeSubdVuttdSuPP 大变形问题有限元方程的建立大变形问题有限元方程的建立 (3/6)(3/6)TL法有限元方程的建立续）法有限元方程的建立续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到刚度矩阵刚度矩阵形式较复杂，因问题的类型而不同。形式较复杂，因问题的类型而不同。ttIJIJK SUF S 载荷向量载荷向量TL法的求解步骤法的求

19、解步骤:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量间隔内的位移增量 ；tttIUStep 2：利用几何关系，计算：利用几何关系，计算Green应变增量应变增量 ；IJStep 3：利用本构关系，计算：利用本构关系，计算Kirchhoff应力增量应力增量 ；IJSStep 4：更新当前时刻：更新当前时刻 ；更新当前应力；更新当前应力 ；计算当前刚度矩阵和载荷向量。计算当前刚度矩阵和载荷向量。ttt IJIJIJSSS Step 5：转到：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。，进入下一个时间间隔计算。大变形问题有限元方程的建立大变形问题有限元方程的建立 (4/6)

20、(4/6)UL法有限元方程的建立法有限元方程的建立特点：总以特点：总以t 时辰即现时构型为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因时辰即现时构型为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因此，采用现时此，采用现时Kirchhoff应力增量和现时应力增量和现时Green应变增量）。应变增量）。UL法：法：Updated Lagrangian Description（ULD）仿照仿照TL法的推导，可得虚功方程：法的推导，可得虚功方程：优点：可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。优点：可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。TL法的增量型虚功方程：法的增量型虚功方程：

21、000TTTVTTTeeSTeSSubeSubdVuttdSuPP *0TTTVTTTNNeeSTeSubeubdVuttdSuPP大变形问题有限元方程的建立大变形问题有限元方程的建立 (5/6)(5/6)UL法有限元方程的建立续）法有限元方程的建立续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到;ttttKUF ttIJIJK SUF S UL法的求解步骤及与法的求解步骤及与TL法的比较法的比较:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量间隔内的位移增量 ；tttIUStep 2：利用几何

22、关系，计算现时：利用几何关系，计算现时Green应变增量应变增量 ；Step 3：利用本构关系，计算现时：利用本构关系，计算现时Kirchhoff应力增量应力增量 ；Step 4：更新当前时刻：更新当前时刻 ；更新当前应力；更新当前应力,根据根据 计算计算 ，并，并且使得且使得 ；更新当前构型；更新当前构型 ；计算当前刚度矩阵与；计算当前刚度矩阵与载荷向量。载荷向量。ttt Step 5：转到：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。，进入下一个时间间隔计算。*ij*ijS*tijklSttijijtttijijij iiixUx大变形问题有限元方程的建立大变形问题有限元方程的建立 (6/6

23、)(6/6)小结小结 大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是在增量意义上通过拟线性化，进而加以求解。在增量意义上通过拟线性化，进而加以求解。但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当进行迭代或按优化问题处理，这点与接触问题类似。进行迭代或按优化问题处理，这点与接触问题类似。所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。大变形分析中的载荷处理大变形分

24、析中的载荷处理 (1/4)(1/4)00TTTTeeVSubub dVutt dSuPP 载荷目前还没有考虑载荷目前还没有考虑重要区别重要区别TL法的载荷项：法的载荷项：UL法的载荷项：法的载荷项：TTTTNNeeVSubub dVutt dSuPP 体积力体积力表面力表面力大变形分析中的载荷处理大变形分析中的载荷处理 (2/4)(2/4)体积力的处理体积力的处理准绳：物体的重力在变形过程中保持不变。准绳：物体的重力在变形过程中保持不变。(0)()(0)()NNbdVbdV (0)(0)()()(0)(1)NNNbbdVbbdV ()(0)()1NNbbD ()(0)(0)()()*(1)1N

25、NNNbbbbDD 全量全量增量增量*(1)1ND()(0)()1NNbbD在在TL法中，原来的计算法中，原来的计算方法是正确的；在方法是正确的；在UL法法中，需要按本节的方法计中，需要按本节的方法计算，可以看出，其差别不算，可以看出，其差别不能被忽略。能被忽略。区别之处区别之处大变形分析中的载荷处理大变形分析中的载荷处理 (3/4)(3/4)表面力的处理表面力的处理 表面力的处理较为复杂，不但与构型变化有关，还与表面表面力的处理较为复杂，不但与构型变化有关，还与表面力的施加方式有关。以常见的集中力和均布力为例。力的施加方式有关。以常见的集中力和均布力为例。1 1集中力集中力 第一种情形：集中

26、力的方向在整个变形过程中保持不变；第一种情形：集中力的方向在整个变形过程中保持不变；第二种情形：集中力的方向与所作用表面的夹角不变。第二种情形：集中力的方向与所作用表面的夹角不变。()(0)NPP()(0)NPP 全量全量增量增量可按表面分布力的特殊情形加以处理，详见下面的分析。可按表面分布力的特殊情形加以处理，详见下面的分析。大变形分析中的载荷处理大变形分析中的载荷处理 (4/4)(4/4)表面力的处理续）表面力的处理续）大变形分析中一般分布载荷随变形的变化，是一个复杂的大变形分析中一般分布载荷随变形的变化，是一个复杂的问题，很难进行定量研究。这里对均匀表面分布力随大变形的问题，很难进行定量

27、研究。这里对均匀表面分布力随大变形的变化进行分析。变化进行分析。2表面分布力表面分布力 全量全量增量增量准绳：不同时刻，这类载荷的合力一般保持不变。（其它情形仿此进行）准绳：不同时刻，这类载荷的合力一般保持不变。（其它情形仿此进行）在在 t 时辰：时辰：()(0)()(0)NNeiieJJtndStn dS在在 时辰：时辰：tt ()()(0)(0)()(0)NNNeieiieJeJJttndSttn dS (0)()()NiJJiNxXn dSn dSD()(0)()NiJeieJNxXttD()(0)()NiJeieJNxXttD近似处理后近似处理后本章总结本章总结 (1/2)(1/2)由

28、于发生了不可忽略的较大变形，大变形问题的分析更加困难，所涉及由于发生了不可忽略的较大变形，大变形问题的分析更加困难，所涉及内容更加丰富。一般来说，相对于小变形问题，大变形分析具有以下特点：内容更加丰富。一般来说，相对于小变形问题，大变形分析具有以下特点：1应变定义发生了变化。大变形问题的最鲜明特征就是描述应变位应变定义发生了变化。大变形问题的最鲜明特征就是描述应变位移的几何关系发生了变化。在一些特殊问题中，大变形并没有产生移的几何关系发生了变化。在一些特殊问题中，大变形并没有产生较大的应变，这类问题可略去几何关系中的高阶部分，但必须采用较大的应变，这类问题可略去几何关系中的高阶部分，但必须采用

29、大变形分析方法。实际上，这种对几何关系简化处理，是经过对更大变形分析方法。实际上，这种对几何关系简化处理，是经过对更一般的几何非线性关系检验后而确立的。一般的几何非线性关系检验后而确立的。2构型发生了变化。由于具有较大的变形位移和构型发生了变化。由于具有较大的变形位移和/或应变），大变形或应变），大变形问题在不同时刻其构型差异较大，必须区别对待问题在不同时刻其构型差异较大，必须区别对待。3应力、应变描述发生了变化。由于不同时刻具有不同的构型，并且应力、应变描述发生了变化。由于不同时刻具有不同的构型，并且可以选取不同的参考构型，大变形问题中的应力描述、应变描述以可以选取不同的参考构型，大变形问题

30、中的应力描述、应变描述以及变分方程都发生了相应的变化。及变分方程都发生了相应的变化。小结小结 (2/2)(2/2)4求解方法发生了变化。以增量法为基础，大变形问题的求解方法分求解方法发生了变化。以增量法为基础，大变形问题的求解方法分为为Lagrange方法、方法、Euler方法以及方法以及Lagrange-Euler混合方法。混合方法。5其它相应的变化。由于具有较大的变形，即使对于弹性材料，本构关其它相应的变化。由于具有较大的变形，即使对于弹性材料，本构关系也需要做相应变化，以正确描述大变形情形下材料的本构规律；载系也需要做相应变化，以正确描述大变形情形下材料的本构规律；载荷的作用方式也必须考

31、虑构型的差异，以获得高精度的大变形问题的荷的作用方式也必须考虑构型的差异，以获得高精度的大变形问题的分析结果。分析结果。实际上，当物体发生大变形时，一般都会伴随材料的非线性弹性或实际上，当物体发生大变形时，一般都会伴随材料的非线性弹性或非弹性行为，因而必须同时考虑材料和几何两种非线性行为，综合运用非弹性行为，因而必须同时考虑材料和几何两种非线性行为，综合运用两种非线性问题的分析方法。另外，在很多情况下，大变形分析可用来两种非线性问题的分析方法。另外，在很多情况下，大变形分析可用来估算结构在失稳前所能承受的最大载荷，如结构屈曲问题等，这些仍是估算结构在失稳前所能承受的最大载荷，如结构屈曲问题等，

32、这些仍是许多学者目前研究的课题。许多学者目前研究的课题。思考题思考题举出大位移转动小应变和大应变问题这两类大变举出大位移转动小应变和大应变问题这两类大变形问题的典型实例。形问题的典型实例。根据定义，推导根据定义，推导Green应变增量和现时应变增量和现时Green应变增量应变增量的具体表达式。的具体表达式。解释下列应力变换的物理意义解释下列应力变换的物理意义仿照仿照TL法增量型变分方程，推导法增量型变分方程，推导UL法的增量型变分方程。法的增量型变分方程。为什么说大变形一般都引起材料性能的非线性行为？能否为什么说大变形一般都引起材料性能的非线性行为？能否利用公式加以说明？利用公式加以说明？*11jiijijklklNklyySxxD谢谢！谢谢！请提问、进行讨论！请提问、进行讨论！