一元多项式和高次方程课堂PPT

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1、1一元多项式和高次方程2一元多项式项数与次数，零多项式没有确定的零多项式：系数都是零零次多项式单独的一个非零数次多项式系数、整系数一元类似的：实系数、有理数次多项式：系数都是复复系数一元是确定的自然数，这里以写成次多项式的一般形式可为元的一元一般地，以:.00012211annanaxaxaxaxanxnnnnnnn3多项式的四则运算加法的分配律。律、结合律以及乘法对并且加乘运算满足交换是一元多项式，相减）、相乘的结果仍一元多项式相加（包括 整除。能被是零多项式时，就是当是零多项式。的次数，或者的次数小于其中时，就有下列等式：及余式得商式（不是零多项式），除以除式能整除，当被除式是总一个一元多

2、项式，并不一个一元多项式除以另xgxfxrxrxgxrxrxqxgxfxrxqxgxf,4综合除法式项式除以一个一元一次综合除法：一个一元多:012233bxaxaxaxa除以先用一般的除法计算5bbbaaaabbaaabaaa3210321323;,数分别是商式中各项的系数及余得到余数。以此类推，最后系数就得到第二个数，加上被除式中下一项的再这个数乘以式中第一项的系数，把其中第一个数就是被除b做综合除法。用这种算式进行除法叫6 .1243563;2152452)2(;11428123423423xxxxxxxxxxxxxxrxqxgxf）（）（的形式：列各式，并把结果写成例：用综合除法计算下

3、7余数定理 剩余定理、裴蜀定理此定理又叫余式定理、所得的余数等于除以余数定理：多项式.bfbxxf .,bfrrbqbbbfbxrxqbxxfrxqbxxf由此即得余数代入等式的两边，得用则有，余数为所得的商式为除以证明：设多项式8 .6,81512)2(.1,3)1(353fxxxxfxxfxxf求设所得的余数除以求设例：9因式定理 .0bfbxxf的充要条件是有一个因式因式定理：多项式 .00)2(.0,01bfbxxfbxxfbxxfbxxfbf，根据余数定理，有余数等于所得的除以，则有一个因式必要性：设有一个因式，因此所得的余数也等于除以则根据余数定理，）充分性：设证明：（10.axa

4、xnnn都有因式为任何正整数时，例：求证 .,0,axaxaaafaxxfnnnnnn有因式根据因式定理，那么设 整除？被能为何值时，多项式例：11183345xmxxxxxfm .17011831,0111mmfxxfxxf，由此可得即充要条件是，根据因式定理，有因式整除，就是能被11利用综合除法、因式定理来分解因式 .,*,2,112121212121两两不等复数且其中）（，分解形式：就具有唯一确定的因式幂表示后，用把其中相同的因式的积一次因式个有且仅有次多项式任何一个复系数一元定理有下面的定理：次多项式的因式分解，关于复系数一元mmmkmkknixxxnkkkNkkkxxxxxxaxfx

5、fnixxnxfnnm12 .53,22415243296.,2,1*322xxxxxxxxxkxfmixxii重一次因式重一次因式，重一次因式有多项式；重一次因式有例如：多项式重一次因式的叫做多项式）中的把分解结果（13 .,1的因式也是的因式，那么他们的积次多项式一元都是复系数的推论：如果定理xfbxaxxfnbabxax .,2,1,2,1*的因式是由此可见，且一定等于某个，一定等于某个所以是唯一确定的，的分解结果证明：因为xfxxxxjimjmixbxaxfjiji14 .,的因式形式，或者确定它没有这种是互质的整数）的因式（其中的形如理，就能较快地求出它那么进一步运用下列定是整系数多

6、项式，但是，如果因式，没有一般的方法要求出它的一次次多项式一元对于一个任意的复系数qppqxxfxfn.,200111的约数一定是末项系数的约数，一定是首项，那么是互质的整数其中有因式如果整系数多项式定理aqapqppqxaxaxaxaxfnnnnn15.,.0,0,:10211110111nnnnnnnnnnnpaqpaqapqapapqapqapqapqfpqxxf得右边，并将两边都乘以把第二项起的各项移到即所以有因式因为证明.,.的约数一定是由此可知，的约数从而也不是的约数，是的任何一个质因数都不互质，所以但因能整除也是一个整数，即，所以等式的右边是一个整数nnnnnnapqqpqpqa

7、ppqa.,0112110的约数一定是可以证明成同理，把上面的等式写aqpapqaqaqpannnnnn16.,100111的约数一定是常系数那么，其中有因式的整系数多项式如果首项系数为推论aqZqqxaxaxaxxfnnn.2次多项式的因式是不是某整系数一元次式确定一个整系数一元一及其推论，可以较快地利用定理n.610123分解因式把例xxxxf.151322234分解因式把例xxxxxf1718一元n次方程的根的个数 .2.0,0001110111做复系数高次方程时，通常也叫当次方程叫做复系数一元，即次多项式，那么方程是复系数一元如果nnaxaxaxaxfnaaxaxaxaxfnnnnnn

8、nnn19 .0系之间有着极为密切的关的一次因式的根与多项式次方程复系数一元xfxfn .01bxxfbxxfn有一个一次因式多项式的充要条件是有一个根次方程一元定理 .0,2,1.00,1.,212121212121重根的叫做方程把重一次因式，则相应地的是多项式由于没有其他的根且的根，都是方程可知由定理两两不等复数且其中，解形式：具有唯一确定的因式分次多项式何一个复系数一元根据前面内容可知，任iiiimmmmkmkknkxfxkxfmixxxfxfxxxxxxnkkkNkkkxxxxxxaxfxfnm20.2个根）重根算作个根（中有且仅有次方程在复数集复系数一元定理kknCn.0792323

9、4中的解集在复数集求方程例Cxxxxxf.0300111的约数一定是的约数，一定是的根，那么次方程是整系数一元如果既约分数定理aqapaxaxaxanpqnnnnn.11可能是整数这个方程的有理数根只，那么次方程的首项系数是如果整系数一元推论n.2常数项的约数它一定是次方程有整数根，那么如果整系数一元推论n21.042025616223456中的解集复数集在求方程例Cxxxxxxxf .21,02iiCxf，中的解集为已知它在复数集可能小的自然数）并使最高次项系数取尽是求一个整系数方程，求最简整系数方程（就例22一元n次方程根与系数的关系.1*,0(0213124213212131211212

10、10111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaxxxaaxxxxxxxxxaaxxxxxxaaxxxxxxCaxaxaxan那么中的根是在复数集次方程如果一元韦达定理）定理23.,3303213132312132321aaxxxaaxxxxxxaaxxxn时，有例如，当24 进行整理，可知对是一个零多项式差的多项式，所得的的多项式减去等号右边现将等号左边相乘与代入上式后，把每一项因为的积：个一次因式与分解成，可以把由上节定理的根是证明：因为方程xFxFaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaxaxaxaanaxaxaxaxfxxxaxaxaxannnnnnnnnnn

11、nnnnnnnnnnnnnnn.,1.1,02121312112121210111011121011125 .01000.121013121221121021312121211即证，所以的系数都是根据零多项式的定义，nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxaaxxxxxxaaxxxaaxFxxxaaxxxxxxxaaxxxxaaxF26 .0,*,021210111的根是方程一定式，那么满足个数如果有次方程立，即对于任何一元这个定理的逆命题也成xfxxxxxxnaxaxaxaxfnnnnnnn27.201245223中的解集个方程在复数集系，求这次方程的根与系数的关利用一元重根，有已知方程例Cnxxx的三个根成等差数列？是什么数时，方程当且仅当例03623kxxxk28实系数方程虚根成对定理.240,04222aibacbxcbxaxacb为共轭虚数，即有一对虚数根，它们互程那么实系数一元二次方如果.0且它们的重数相等也是这个方程的根，并那么的根，次方程是实系数一元如果虚数定理面性质：次方程的虚数根，有下关于实系数一元biaxfnbian29.32039142162234iCxxxx中有一个是中的解集，已知它的根在复数集求方程例.0,1,0这三个数中的解集含有集已知它在复数程求次数最低的实系数方例iiCxf