专题9《费马点》

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1、中考几何压轴题（几何模型 30 讲）最新讲义专题9费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫 做费马距离.若三角形的内角均小于120,那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分 费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120，则此钝角的顶点就 是到三个顶点距离之和最小的点.若三角形有一个内角大于等于120，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在 ABC中，ZBAC120，求证：点人为厶ABC的费马点 证明：如图，在 ABC内有一点P延长BA至C，使得AC=AC，作ZCAP= ZCAP, 并且使得AP=AP，连结PP则厶APCAPC，PC=PC因为 ZB

2、AC120所以 ZPAP=ZCACBC=AB+AC所以点人为厶ABC的费马点2若三角形的内角均小于120，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.BC如图，在厶ABC中三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在 ABC内的交点为0,求证：点0为4ABC的费马点 证明：在厶ABC内部任意取一点0,；连接0A、OB、0C将厶A0C绕着点A逆时针旋转60，得到 AO，D连接00,则0，D=0C所以 A00,为等边三角形，00，=A0所以 0A+0C+0B=00，+0B+0，D则当点B、0、0，、D四点共

3、线时，0A+0B+0C最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在厶ABC内的 交点即为点0如图，在ABC中，若ZBAC、ZABC、ZACB均小于120, 0为费马点，则有ZAOB二ZB0C=ZC0A=120，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6, 0）,点B的坐 标为（6，0），点C的坐标为（6，4方），延长AC至点D使得CD=AC，过点 DE作DE/AB，交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点，点P从直线尸占x +用与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动

4、速度的2倍，试确定点G的位置，使点P 按照上述要求到达A所用的时间最短解.壮=GM GA _ 2GA + GM2vv2v当2GA+GM最小时，时间最短如图，假设在OM上存在一点G,则BG=AGMG+2AG=MG+AG+BG把厶MGB绕点B顺时针旋转60，得到AM，Gz B,连结GGMM，GG，B、AMM，B都为等边三角形则 GG，=G，B=GB又.M，G，=MGMG+AG+BG=M，G，+GG，+AG点A、M，为定点 AM，与OM的交点为G,此时MG+AG+BG最小 点 G的坐标为（0, 2朽）例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路 系统使得每两个城市之间都有公

5、路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则 应当如何修建？解：如图，将ABP绕点N逆时针旋转60，得到EBM；同样，将DCQ绕点C 顺时针旋转60,得到 FCN,连结AE、DF，则厶ABE.ADCF均为等边三角形, 连结PM、QN，则厶BPM,ACQN均为等边三角形所以当点E, M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为 线段EF的长，如图，此时点P, Q在EF上，1=2=3=4=30.F进阶训练1. 如图，在 ABC 中，ABC=60 , AB=5, BC=3, P 是 ABC 内一点,求PA+PB+PC的最小值，并确定当PA+PB+PC取得最小值时，APC的度数.答案：PA

6、+PB+PC的最小值为7,此时 APC=120【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60 ，得到ABP，连结PP, AC.过点A作AE BC，交CB的延长线于点E.解Rt A EC求AC的长，所 得即为PA+PB+PC的最小值.2. 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD 上 任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结AM，CM，EN.(1) 当M在何处时，AM+CM的值最小？(2) 当M在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由；(3) 当AM+BM+CM的最小值为扁1时，求正方形的边长.答案：(1)当点M落在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为AC的长；(2)连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时.AM+BM+CM的值最小，最 小值为CE的长.(3)正方形的边长为审2.【提示】(3)过点E作EF BC，交CB的延长线于点F,解Rt EFC即可.