111角的概念的推广

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1、1、角的概念、角的概念初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几何图形何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是范围是0,360)，这种定义称为这种定义称为静态定义静态定义，其弊端在于，其弊端在于“狭隘狭隘”.锐角锐角直角直角钝角钝角平角平角周角周角 问题：问题：7207200 0是一个怎么样的角？是一个怎么样的角？生活中很多实例会不在该范围。生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体体操运动员转体720，跳水运动

2、员向内、，跳水运动员向内、向外转体向外转体1080；经过经过1小时，时针、分针、秒针各转了多小时，时针、分针、秒针各转了多少度？少度？这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围0,360)，而且，而且方向不同，有方向不同，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角任意角，想想用什么办法才能推广到想想用什么办法才能推广到任意角任意角？关键是用关键是用运动的观点运动的观点来看待角的变化。来看待角的变化。2角的概念的推广角的概念的推广“旋转旋转”形成角形成角 一条射线由原来的位置一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点，绕着它的端点O按按逆时针方向旋转逆时针方向旋转到另一位置到另一位置OB，就形成

3、角，就形成角 旋转开始时的射线旋转开始时的射线OA叫做角叫做角的的始边始边，旋转，旋转终止的射线终止的射线OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端点端点O叫做叫做角角的的顶点顶点ABo顶顶点点始边始边终边终边 逆时针逆时针 顺时针顺时针正角：按正角：按逆时针逆时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：按负角：按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：射线零角：射线不作不作旋转时形成的角旋转时形成的角任任意意角角记法：角记法：角 或或 ，可简记为，可简记为 “正角正角”与与“负角负角”、“0角角”如图，以如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150，=660，角的概念扩展的

4、意义：角的概念扩展的意义：用用“旋转旋转”定义角之后，定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大了了 角有正负之分角有正负之分;如：如：=210,=150,=660.角可以任意大角可以任意大;实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2周（周（360 2=720）3周（周（360 3=1080）还有零角还有零角,一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转.xyo2.2.象限角的定义象限角的定义1)将角的顶点与原点重合将角的顶点与原点重合2)始边重合于始边重合于X轴的轴的非负非负半轴半轴终边终边落在落在第几象限第几象限就是就是第几象限角第几象限角始边始边终边终边 终边终边 终边终边 终边终边 坐标

5、轴上的角坐标轴上的角：如果角的终边落在了坐标轴上，就如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。认为这个角不属于任何象限。例如：角的终边落在例如：角的终边落在X轴或轴或Y轴上。轴上。轴线角的定义轴线角的定义:终边落在坐标轴上的角终边落在坐标轴上的角叫做叫做轴线角轴线角.口答：口答：说出以下角各属于第几象限：说出以下角各属于第几象限：(1).1400-23003400450问：问：观察第观察第(2)题各角有何特点？题各角有何特点？能否把能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？题这些角用一个集合表示出来呢？是不是任意一个角都与是不是任意一个角都与0到到360内的某一内的某一角终边相同

6、呢？角终边相同呢？(2).3003900-330075004终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390，750 ,330 角，它们角，它们 的终边都与的终边都与30 角的终边相同角的终边相同.BAOy yx xBAOy yx xBAOy yx x探究：探究：终边相同的角都可以表终边相同的角都可以表示成一个示成一个0 到到360 的角与的角与k(kZ)个周角的和个周角的和：390=30+360(k=1)750 =30 +2360 (k=2)330=30360 (k=1)30=30+0360 (k=0)1770=305360 (k=5)结论：结论：所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同

7、在内可以构在内可以构成一个成一个集合集合：|=+k360(kZ)即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都可终边相同的角，都可以表示成以表示成角角 与整数个周角的和与整数个周角的和注意以下四点：注意以下四点：kZ；是任意角；是任意角；k360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k36030,应应看成看成k360+(30)；终边相同的角不一定相等，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍.例例1.在在0到到360范围内，找出与下列各角终边相范围内，找出与下列各角终边相

8、同的角，并判断它是哪个象限的角同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)120；(2)640；(3)95012.解：解：120=360+240，240的角与的角与120的角终边相同，的角终边相同，它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280，280的角与的角与640的角终边相同，的角终边相同，它是第四象限角它是第四象限角 95012=3360+12948，12948的角与的角与95012的角终边相同，的角终边相同，它是第三象限角它是第三象限角例例2.写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来：(1)60；(2

9、)21；(3)36314.解：解：(1)S=|=k360+60,kZ,S中在中在360720间的角是间的角是 1360+60=280；0360+60=60；1360+60=420(2)S=|=k36021,kZ S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21；136021=339；236021=699(3)S=|=k360+36314,kZ S中在中在360720间的角是间的角是 2360+36314=35646；1360+36314=314；0360+36314=36314例例3.3.写出终边落在写出终边落在y轴上的角的集合轴上的角的集合。解：终边落在轴解：终边落在轴正正半轴上的

10、角的集合为半轴上的角的集合为S1=|=900+K3600,KZZ =|=900+2K1800,KZ=|=900+1800 的的偶偶数倍数倍终边落在轴终边落在轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S2=|=2700+K3600,KZ=|=900+1800+2K1800,KZ=|=900+（2K+1）1800，KZ=|=900+1800 的的奇奇数倍数倍S=S1S2所以终边落在所以终边落在轴轴上的角的集合为上的角的集合为=|=900+1800 的的偶偶数倍数倍|=900+1800 的的奇奇数倍数倍=|=900+1800 的整数倍的整数倍=|=900+K1800，KZZ例例4.写出终边落在第一象

11、限角的集合写出终边落在第一象限角的集合9036()0 k|k 360答：例例5.写出终边落在第四象限的角的集合。写出终边落在第四象限的角的集合。27036036)0(k|+k 360答：90360 k|+k 360也可写成也可写成练习练习.已知是第二象限角，则是（）已知是第二象限角，则是（）2A第一、三象限角第一、三象限角B第二、四象限角第二、四象限角C第一、二象限角第一、二象限角D第三、四象限角第三、四象限角A例例6.已知已知 角是第三象限角，则角是第三象限角，则2 ，各各是第几象限角？是第几象限角？2 例例7写出终边在直线轴上的角的集合写出终边在直线轴上的角的集合S，并，并把把S中适合不等

12、式的元素写出来中适合不等式的元素写出来。yx360720答：答：|45180,kk Z 315,135,45,225,405,585,课堂练习 2.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为后的角度数为_3.集合集合 中，各角的终中，各角的终 边都在（边都在（）30ZkkM，90 xyxxyy A轴正半轴上轴正半轴上 B轴正半轴上轴正半轴上 C轴或轴上轴或轴上 D轴正半轴或轴正半轴上轴正半轴或轴正半轴上1.请用集合表示下列各角请用集合表示下列各角;090间的角间的角 第一象限角第一象限角 锐角锐角 小于小于90角角4已知角的顶点与坐标系原点重合，始边已知角

13、的顶点与坐标系原点重合，始边落在落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？出它们是哪个象限的角？(1)420，(2)75，(3)855，(4)510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角；(2)第四象限角，第四象限角，(3)第二象限角，第二象限角，(4)第三象限角第三象限角.5、已知、已知,角的终边相同，那么角的终边相同，那么的终边的终边在（在（）A x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A6、终边与坐标轴重合的角的集合是（、终边与坐标轴重合的角

14、的集合是（）A|=k360(kZ)B|=k180(kZ)C|=k90(kZ)D|=k180+90(kZ)C7、已知角、已知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是()A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角C8、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180是（是（）A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角C9.分别写出：分别写出：终边落在终边落在x轴负半轴上的角的集合；轴负半轴上的角的集合；终边落在终边落在y轴上的角的集合；轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；合；终边落在终边落在第第四象限角平分线上的角的集合四象限角平分线上的角的集合030045XYO10终边落在阴影部分（包括边界）的角的终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合集合XYO030030角与角的终边的对称关系：角与角的终边的对称关系：01.360 xkkZ与 终边关于 轴对称，则，02.(21)180kkZ与 的终边关于y轴对称，则03.(21)180kkZ与 的终边关于原点对称，则04.180kkZ 与 的终边在一条直线上，则，演讲完毕，谢谢观看！