《状态方程的列写》PPT课件

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1、2023-1-1611 1 基本概念基本概念一一 割集割集 连通图连通图G G的一个割集是一个支路集合，把这些支路移去的一个割集是一个支路集合，把这些支路移去将使将使G G分离为两部分，但若少移去其中一条支路，图仍将是分离为两部分，但若少移去其中一条支路，图仍将是连通的。连通的。7-9 状态方程的列写状态方程的列写(1)(1)定义定义fedcba(a,d,e,f)是割集是割集?(a,b，c，d,e)是割集是割集?bcef2023-1-162(2)判断判断、确定割集的方法、确定割集的方法闭合面法闭合面法fedcbafedcba对一个割集，其所有支路电流的代数和为零。对一个割集，其所有支路电流的代

2、数和为零。2023-1-163(3)独立割集独立割集对应于一组线性独立的对应于一组线性独立的KCL方程的割集方程的割集(4)确定独立割集的方法借助于确定独立割集的方法借助于“树树”的方法的方法1)对连通图任选一棵树对连通图任选一棵树2)由一条树支和若干连支构成一个单树支割集由一条树支和若干连支构成一个单树支割集3)单树支割集构成一组独立割集单树支割集构成一组独立割集4)独立割集数树支数独立割集数树支数fedcba2023-1-164二二.状态变量状态变量 x状态：状态：选定电路中一组选定电路中一组最少数量最少数量的变量的变量 X=x1,x2,xnT ，如果当如果当 t=t0 时这组变量时这组变

3、量X(t0)和和 t t0 后的输入后的输入e(t)为已知，为已知，就可以确定就可以确定t0及及t0以后任何时刻电路的响应。以后任何时刻电路的响应。X(t0)e(t)t t0 称这一组称这一组最少数目最少数目的变量为状态变量。的变量为状态变量。Y(t)t t0某给定时刻电路必须具备的最少量信息，它们某给定时刻电路必须具备的最少量信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就可完全确定和从该时刻开始的任意输入一起就可完全确定之后该电路在任何时刻的性状。之后该电路在任何时刻的性状。状态变量：状态变量：电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态。

4、的值组成了该时刻的状态。2023-1-165)30sin(20)(0)0(3)0(o tteiVuLC 已知已知输出输出:uL,iC,uR,iR 选状态变量选状态变量 uC，iL解解 由由V10)0(0)0(V3)0(eiuLCuL(0)=7ViCiRuR(0)=3V例例12 RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2023-1-166推广至任一时刻推广至任一时刻 t1)()()(111tetituLCuL(t1)=e(t1)-uC(t1)uR(t1)=uC(t1)iC(t1)=iL(t1)-uC(t1)/R iR(t1)=uC(t1)/R 可由可由 可见当可见当 t=t1 时时

5、 uC，iL 和和 t t1 后的输入后的输入e(t)为已为已知，知，就可以确定就可以确定t1及及t1以后任何时刻系统的响应。以后任何时刻系统的响应。问题问题:t1时刻的状态变量要求出来。时刻的状态变量要求出来。2023-1-167三三.状态方程状态方程求解状态变量的方程，即对状态变量列出的一求解状态变量的方程，即对状态变量列出的一阶微分方程阶微分方程设设 uC ,iL 为状态变量为状态变量RuituCiCLCC ddCLLutetiLu )(dd列微分方程列微分方程RCe(t)+-uCiL+-LiC+-uL改写改写LCCiCuRCtu11dd )(11ddteLuLtiCL 2023-1-1

6、68矩阵形式矩阵形式)(100111ddddteLiuLCRCtituLCLC x=x1 x2 xnT T21nxxxx 式中式中 uBxAx 一般形式一般形式n nn rLCCiCuRCtu11dd )(11ddteLuLtiCL 特点特点(1)联列一阶微分方程组联列一阶微分方程组(2)左端为状态变量的一阶导数左端为状态变量的一阶导数(3)右端仅含状态变量和输入量右端仅含状态变量和输入量n 1r 12023-1-169四四.输出方程输出方程)(00010/1011/101teiuRRiuiuLCRRCL 特点特点 (1)代数方程代数方程 (2)用状态变量和输入量表示输出量用状态变量和输入量表

7、示输出量一般形式一般形式y=Cx+DuRuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LuL=e(t)-uC(t)uR(t)=uC(t)iC(t)=iL(t)-uC(t)/R iR(t)=uC(t)/R 2023-1-1610五五.小结小结(1)状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于 独立的储能元件个数独立的储能元件个数(2)一般选择一般选择uC和和 iL为状态变量为状态变量(3)对单电容结点（割集）列写对单电容结点（割集）列写KCL方程方程(4)对单电感回路列写对单电感回路列写KVL方程方程(5)消去中间变量，并将方程整理为标准形式消去中间变

8、量，并将方程整理为标准形式注意：注意：状态变量的选择不唯一状态变量的选择不唯一2023-1-1611令令 x1=uC ,x2=duC/dt即即)(1011102121teLCxxRCLCxx 则则)(11dd1dddd22221teLCuLCtuRCtuxxtuxCCCC x1x2RCe(t)+-uCiL+-L)(dddd22teutuRLtuLCCCC 2023-1-16122 状态方程的列写状态方程的列写一一.直观法直观法选选 uC,i1 ,i2为状态变量为状态变量21CddiituC SCuRiiutiL 12111)(ddR1-+uSCuCiSiRR2i2L2L1 -+i1221212

9、2)()(ddRiiuRiiutiLSSC 含含duC/dt 电容节点列电容节点列KCL含含diL/dt电感回路列电感回路列KVL例例32023-1-1613 SSCCiuLRLLiiuLRRLRLLRLRLCCtititu21212122121211111211010011110dddddd21CddiituC SCuRiiutiL 12111)(dd2212122)()(ddRiiuRiiutiLSSC 2023-1-1614例例4L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+-u1 u22023-1-1615例例4L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+-u1 u2

10、选选 u1,u2,i3 ,i4为状态变量为状态变量4511ddiituC 5622ddiituC SuRiutiL 66233dd126644dduuRiutiLS 消去非状态量消去非状态量 i5 ,i6i5=(u2-u1)/R5i6=i4-i3代入上式，整理代入上式，整理2023-1-1616SuLLiiuuLRLRLLLRLRLCCCRCRCCRCRiiuu 4343214646443636322252511515432111001110111110112023-1-1617例例5+-e(t)2F+-uC3 2 4H3HiL2iL1uR1uR2+-2023-1-16181)电容节点列电容节

11、点列KCL,电感回路列电感回路列KVL3dd211RLCuitu 11dd3RLuti 22dd4RLuti 2)消去非状态量消去非状态量uR1，uR2例例5+-e(t)2F+-uC3 2 4H3HiL2iL1uR1uR2+-12212143LLRRRRCiiuueuuu 2023-1-1619)(1.02.01.03.03.01.04.04.02.02.03.01.02121teiiuiiuLLCLLC uR1=-0.6 uC-1.2 iL1+1.2 iL2+0.6 e(t)uR2=-0.4 uC+1.2 iL1-1.2 iL2+0.4 e(t)3dd211RLCuitu 11dd3RLut

12、i 22dd4RLuti=-0.2 uC+0.6 iL1+0.4 iL2+0.2 e(t).3iL1=-0.6 uC-1.2 iL1+1.2 iL2+0.6 e(t)2uC=iL1-0.2 uC-0.4 iL1+0.4 iL2+0.2 e(t).4iL2=-0.4 uC+1.2 iL1-1.2 iL2+0.4 e(t).2023-1-1620二二.列写状态方程的一般方法列写状态方程的一般方法1）选电感电流、电容电压为状态变量）选电感电流、电容电压为状态变量2）选一棵特有树，）选一棵特有树，其特点：其特点：所有电容支路和电压源支路皆为树支所有电容支路和电压源支路皆为树支 所有电感支路和电流源支路皆为连支所有电感支路和电流源支路皆为连支3）对单电容树支割集列写）对单电容树支割集列写KCL方程方程 对单电感连支回路列写对单电感连支回路列写KVL方程方程4）削去非状态变量，将状态方程整理为标准形式）削去非状态变量，将状态方程整理为标准形式2023-1-1621例例6C2+-u2is9i7+-+-L7C3C4us1L8R6R5u3u4i82023-1-1622例例6C2+-u2is9i7+-+-L7C3C4us1L8R6R5u3u4i8123456789