向量与空间解析几何

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1、110.4 空间曲面空间曲面与与一个平面一个平面具有具有一一对应一一对应的关系的关系.,0:DCzByAx三三元元一一次次方方程程一般地一般地,若一个三元方程若一个三元方程:F(x,y,z)=0 与一个曲面与一个曲面 具有如下关系具有如下关系:(1)曲面曲面 上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程:F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程坐标满足方程:F(x,y,z)=0 的点都在的点都在曲面曲面 上上;则称方程则称方程:F(x,y,z)=0 为为曲面曲面 的方程的方程,而而曲面曲面 称为称为方程方程:F(x,y,z)=0 的图形。的图形。2例例1.求与定点求与定点M0(x0,y0,

2、z0)的距离等于定长的距离等于定长R的动的动点点M的轨迹的轨迹.解解:设动点设动点M的坐标为的坐标为(x,y,z),|0RMM 由题设知：由题设知：,)()()(202020Rzzyyxx 即即.)()()(2202020Rzzyyxx 即即.,),(0000的的球球面面半半径径为为处处轨轨迹迹是是一一个个球球心心在在点点RyyxM,)()()(2202020Rzzyyxx .称为球面的标准方程称为球面的标准方程3例例2.设设 p0,求到定点求到定点M(0,0,p)和平面和平面 z=p 距离距离解解:动点动点M(x,y,z)到定点到定点M0(0,0,p)的距离为的距离为:,)()0()0(22

3、2pzyx|,|:),(pzpzzyxM 的的距距离离为为到到平平面面而而点点|,|)()0()0(:222pzpzyx 故故有有.4:22pzyx 化简得化简得相等的动点的轨迹方程。相等的动点的轨迹方程。是一个是一个旋转抛物面旋转抛物面.410.4.1 三种特殊曲面三种特殊曲面定义定义 给定空间曲线给定空间曲线 C 绕某条定直线绕某条定直线 L 旋转一周旋转一周而形成的曲面而形成的曲面 称为称为旋转曲面旋转曲面,定直线定直线 L 称为称为该该旋转曲面旋转曲面 的的中心轴中心轴,曲线曲线 C 称为该称为该旋转曲面旋转曲面 的一条母线的一条母线。A.旋转曲面旋转曲面5设设曲线曲线 C:f(y,z

4、)=0 是是yOz坐标面上的一条曲线坐标面上的一条曲线,在曲面在曲面 上任取一点上任取一点M(x,y,z),则此点必是则此点必是曲线曲线 C上某点上某点M0(x0,y0,z0)绕绕 z轴旋转而得轴旋转而得,0),(|,|,:000220 zyfyyxzz而而故故有有,0),(:22 zyxf即即有有求曲线求曲线 C绕绕 z 轴轴旋转而成的旋转曲面旋转而成的旋转曲面 的方程的方程.6 例例3.解解:轴轴旋旋转转绕绕坐坐标标面面上上的的椭椭圆圆求求zbzayyOz12222 :,1222222得得代替代替以以中中椭圆方程椭圆方程yyxbzay 1:22222 bzayx旋旋转转椭椭球球面面方方程程

5、.程程而而成成的的旋旋转转椭椭球球面面的的方方7类似地类似地,轴轴旋旋转转绕绕面面上上的的双双曲曲线线zbzayyOz12222 122222 bzayx而成的是而成的是单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面,其方程为其方程为:8注意注意:旋转是双叶旋转双曲面旋转是双叶旋转双曲面,其方程为其方程为:轴轴绕绕面上的双曲线面上的双曲线同样是同样是ybzayyOz12222 122222 bzxay9例例2中的轨迹方程为中的轨迹方程为:可以看作是由可以看作是由yOz坐标面坐标面上的抛物线上的抛物线:.422pzyx pzy42,42pzx 绕绕 z轴旋转而成的旋转曲面的方程轴旋转而成的旋转曲面的方程,称为称为

6、旋转抛物面旋转抛物面.注意注意:此旋转抛物面也可以看作是由此旋转抛物面也可以看作是由 xOz 坐标面坐标面上的抛物线上的抛物线 绕绕 z轴旋转而得轴旋转而得.10 B.柱面柱面定义定义 动直线动直线 L 沿定曲线沿定曲线C 移动移动,并始终保持与一固定并始终保持与一固定的方向的方向 l 平行平行,动直线动直线 L 所形成的轨迹称为所形成的轨迹称为柱面柱面,动直动直线线 L 称为称为柱面的母线柱面的母线.曲线曲线C 称为称为柱面的准线柱面的准线。设柱面设柱面 是以是以xOy坐标面上曲线坐标面上曲线C：F(x,y)=0 为准线为准线,母线平行母线平行 z轴轴,柱面柱面 的方程应的是怎样的的方程应的

7、是怎样的?11设点设点M(x,y,z)为为柱面柱面 上的任一点上的任一点,故点故点M的坐标满足的坐标满足:F(x,y)=0,即为即为柱面柱面 的方程的方程.过点过点M的母线与准线的交点为的母线与准线的交点为M0(x0,y0,z0),故有故有:x=x0,y=y0,z=0,且且 F(x0,y0)=0,12圆柱面圆柱面椭圆柱面椭圆柱面,222ayx ,12222 byax,22pzx .,222222azyazx ,12222 byax抛物柱面抛物柱面 双曲柱面双曲柱面xozypyx22 抛物柱面抛物柱面xozyxy 平面平面13作业作业 P15014;15(1)(2);21(1),(2);23;P

8、163A.5(2),(3);6(1);14C.锥面锥面定义定义 给定一条空间曲线给定一条空间曲线C 和不在曲线和不在曲线C上的一定点上的一定点O,当点当点M沿曲线沿曲线C运动时运动时,连接点连接点O和和M的直线所形成的的直线所形成的曲面称为曲面称为锥面锥面,并称点并称点O为为锥面的顶点锥面的顶点,曲线曲线C称为称为锥面的准线锥面的准线,直线直线OM称为称为锥面的母线锥面的母线.设锥面的顶点为坐标原点设锥面的顶点为坐标原点,其方程其方程:f(x,y,z)=0,有什么特点有什么特点?当点当点M(x,y,z)在锥面上在锥面上,M(x,y,z)O(0,0,0),即有即有:f(x,y,z)=0,则点则点

9、M(kx,ky,kz)必在直线必在直线OM上上,也即在锥面上也即在锥面上,故有故有:f(kx,ky,kz)=0.如果如果f(x,y,z)=f(kx,ky,kz),则则f(x,y,z)称为称为齐次函数齐次函数.故锥面方程必是齐次方程故锥面方程必是齐次方程.15例例4.试求以坐标原点试求以坐标原点O为顶点为顶点,平面平面 z=h(h0),上的圆上的圆解解:设设M(x,y,z)为锥面上任一异于原点为锥面上任一异于原点O的点的点,并设母线并设母线OM与准线的交点为与准线的交点为M0(x0,y0,z0),)0(:222 hhzRyxC,:22020hzRyx 则则有有,0 故存在实数故存在实数三点共线三

10、点共线由由MMO,0OMOM 使使,000hzzyyxx ，即即,:,00zyhyzxhxzh 得得从从 为准线的为准线的圆锥面圆锥面的方程的方程.16圆锥面的方程可写成圆锥面的方程可写成:以原点为顶点以原点为顶点,准线为准线为:)0(0),(hhzyxf.0),(zyhzxhf,tan:hR 若若记记.0tan2222 zyx的锥面方程为的锥面方程为:,)()(222Rzyhzxh 代代入入准准线线方方程程得得：.22222zhRyx 即即1710.4.2 二次曲面二次曲面定义定义 二次代数方程二次代数方程:,0222222222 DrzqypxcyzbxzaxyCzByAx,)()()(:

11、2202020Rzzyyxx 球球面面,1:2222 byax双双曲曲柱柱面面,4:22pzyx 旋转抛物面旋转抛物面的图形称为的图形称为二次曲面二次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.18A.椭球面椭球面要知道要知道:图形的范围图形的范围(有限有限),图形的对称性图形的对称性,与坐标轴的交点与坐标轴的交点(顶点顶点)用用截痕法截痕法考察椭球面的形状考察椭球面的形状:)0,0,0(,1222222 cbaczbyax)|(|,1,1222222222222chhzchbyaxhzczbyax 即即)|(|,1,1222222222222bhhybhczaxhyczbyax 即即都是椭圆都是椭圆19

12、20注意到注意到:中心在中心在M0(x0,y0,z0).,1)()()(220220220也是椭球面也是椭球面 czzbyyaxx,)()()(,2202020azzyyxxcba 若若,1)()()(,220220220 czzayyaxxba若若.是旋转椭球面是旋转椭球面.则则成成为为球球面面21 B.单叶双曲面单叶双曲面 注意注意:曲面的对称性曲面的对称性,曲面的无界性曲面的无界性,是是直纹面直纹面.),|(|,1,1:222222222222椭椭圆圆即即截截痕痕chhzchbyaxhzczbyax ,),|(|,1,1222222222222双双曲曲线线即即ahhxahczbyhxcz

13、byax .,0,12222222222是直线是直线即即 axczbyaxczbyax2223C.双叶双曲面双叶双曲面注意注意:双叶双曲面的对称性双叶双曲面的对称性,双叶双曲面的顶点双叶双曲面的顶点,曲面的无界性曲面的无界性,)0,(,1222222 cbaczbyax,)|(|,1,1222222222222椭椭圆圆即即axhxahczbyhxczbyax .,1,1222222222222双双曲曲线线即即 hzchbyaxhzczbyax截痕截痕：2425D.椭圆抛物面椭圆抛物面注意注意:曲面的对称性曲面的对称性,顶点顶点,曲面的无界性曲面的无界性,)0,0,(,22222 pbapzbyax,2,222222222椭椭圆圆即即 hzphbyaxhzpzbyax.,2,222222222抛抛物物线线即即 hxahpzbyhxpzbyax2627D.双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)注意注意:曲面的对称性曲面的对称性,顶点顶点,曲面的无界性曲面的无界性,)0,0,(,22222 pbapzbyax.,2,222222222抛抛物物线线即即 hxahpzbyhxpzbyax