高等数学第八节函数的连续性

《高等数学第八节函数的连续性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第八节函数的连续性（54页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第八节 函数的连续性一、一、连续函数的概念二、函数的间断点三、三、连续函数的四则运算四、反函数的连续性五、复合函数的连续性六.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式1、连续性概念的增量形式在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的初值 u1 的差 u2 u1,称为变量 u 在 u1处的增量,记为 u=u2u1.u 是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分.设函数 f(x)在 U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.=f(x0+x)f(x0)y=f(x)f(x0)xyOx0 xxyy=f(

2、x)此时,x=x0+x,相应地,函数在点 x0 点处有增量 y0lim0yx)(0 xxx则称 f(x)在点 x0 处连续.设 f(x)在 U(x0)内有定义.若自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零.设 f(x)在 U(x0)内有定义,若)()(lim0 0 xfxfxx则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.2、函数连续性的定义(极限形式)函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.是整个邻域函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(lim )2

3、(0；存在axfxx)(,(0有极限时xfxx 函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?0lim20 xx 函数 y=x2 在点 x=0 处连续.又且0020 xxxy y=x 2 在 U(0)内有定义,例1解3.函数的左、右连续性设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义.若 )()(lim 00 xfxfxx则称 f(x)在 x0 点处右连续.设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义.若则称 f(x)在 x0 点处左连续.其中,为任意常数.)()(lim 00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 函数在点 x0 连续,等价于

4、它在点 x0 既 左连续又右连续.讨论 y=|x|,x()在点 x=0 处0|lim0 xx0|00 xxxy y=|x|在点 x=0 处连续.xyy=|x|O的连续性.例2解讨论函数 f(x)=x2,x 1,在 x=1 处的连续性.1lim)(lim211xxfxx2)1(lim)(lim11xxfxx,1)1(12xxf 函数 f(x)在点 x=1 处不连续.故函数 f(x)在点 x=1 处是左连续的.x+1,x 1,但由于)1(1)(lim1fxfx例3解4.函数在区间上的连续性设函数 f(x)在开区间(a,b)内有定义.若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开

5、区间(a,b)内连续,记为f(x)C(a,b).若 f(x)C(a,b),且 f(x)在 x=a 处右连续,在端点 x=b 处左连续,则称函数f(x)在闭区间 a,b 上连续,记为f(x)C(a,b).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性一般地,如果函数 f(x)在区间 I上连续,则记为 f(x)C(I).连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.处满足任一点在其定义域内出：基本初等函数在本章第五节中我们指0 xxf 00limxfxfxx现在有了连续性的概念,可把此结论表述为:基本初等函数在其定义域内每点处均连续.即,基本初等函数在其定义域内是连续的.二

6、、函数的间断点 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(lim )2(0；存在axfxx)(,(0有极限时xfxx(1)f(x)在 x0 处无定义.)(lim (2)0不存在axfxx若函数 在 点满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 在点 处间断,点 称为函数 f(x)的一个间断点：xf0 x xf0 x0 x 0,lim30 xfaaxfxx但(1)f(x)在 x0 处无定义,但 f(x)在)(U0 x内有定义

7、.(2)中至少有一个不存在.)(lim )(lim00 xfxfxxxx与(3)存在,但不相等.)(lim )(lim00 xfxfxxxx与(4)但 a f(x0).,)(lim)(lim00axfxfxxxx2.函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(1)第一类间断点若 x0 为函数 f(x)的一个间断点,且f(x)的第一类间断点.,)(lim)(lim00存在与xfxfxxxx则称 x0 为函数讨论函数 f(x)=x+1 x 0sinx x 00 21x在 x=0 处的连续性.yxO121)(xfy y=sinxyx+1 由图可知,函数在 点 x0 处

8、间断.例4 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx故 x=0 是 f(x)的第一类间断点.将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.)0 )(处有定义在xxf1)1(lim0 xx0sinlim0 xx解讨论.1 11)(2处的连续性在xxxxf函数在 x=1 无定义,2)1(lim11lim 121xxxxx而故 x=1 为函数的第一类间断点.x=1 为函数的间断点.yxO11P(1,2)y x+1 进一步分析该间断点的特点.例5解补充定义211lim|211xxyxx则函数 f*(x)在 x=1 连续.f*(x)=1

9、112xxx2 x=1 即定义分析211lim 21xxx由于这种间断点称为可去间断点.处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存 补充定义f*(x)=)(lim0 xfxx,x=x0 ,)(0 xxxf 跳跃型间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等、补充定义(2)第二类间断点 凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.这算定义吗？即左右极限至少有一个不存在的点即左右极限至少有一个不存在的点.讨论函数.0 1)(处的连续性在xxxfxyOxy1在 x=0 无定义,xxf1)(x=0为函

10、数的间断点,1lim)(lim 00 xxfxx又故 x=0为函数的第二类间断点.xxf1)()(lim 0 xfx所以称它为无穷间断点.由于例6解.0 1sin)(处的连续性在讨论函数xxxf在 x=0 处无定义,xxf1sin)(.0 为函数的间断点x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x=0 为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例7解O11xy 1sinxy .1sin)(0 的振荡型间断点为称xxfx 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡,)(lim0axfxx,)(lim0bx

11、gxx则baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的极限存在、函数时设当)()(,0 xgxfxx 三、初等函数的连续性1、连续函数的四则运算 设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,)()(lim00 xfxfxx则),2 ,1()()(lim00nxfxfiixx即,)()(lim00 xgxgxx )()()()(lim 000 xgxfxgxfxx 有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个

12、 在点 x0 处连续的函数.即 )()()()()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx)()()()(lim 000 xgxfxgxfxx(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即)()()()()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx0)()()()(lim)(lim)()(lim 000000 xgxgxfxgxfxgxfxxxxxx(3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续函数.即Oxy y =f 1(x)的图形只是 y=f(x)的图形绕直线 y=x 翻转 18

13、0 而成,故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x=f 1(y)与 y=f(x)的图形相同,连续性保持.从而,单调性、)(1yfx)(xfy)(1xfy设函数 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数)(1yfx在相应的区间 I*=y|y=f(x),xI 上严格单调增加(减少)且连续.(反函数连续性定理)xy2211O增加单调)1 ,1 (arcsinCxy22xy11O增加单调)2 ,2 (sinCxy例8设函数 u=(x)在点 x0 处连续,且u0=(x0),函数 y=f(u)在 u0 处连续.若复合函数 y=f(x)在 U(x0)内则 y=f(x)在 x0 点处连续

14、.有定义,这个条件有必要吗？(复合函数连续性定理)3、复合函数的连续性如果 y=f(u)在 u0 处连续,则 ,当|u u0|时,有|f(u)f(u0)|再假设 u=(x),且在 x0 处连续,即.lim00uuxx,)()(lim00 xxxx亦即证明证明:|u u0|=|(x)(x0)|故 对上面的 ,当|x x0|时,有则 ,当|x x0|时,|u u0|=|(x)(x0)|且有（假设可以构成复合函数）|f(u)f(u0)|f(x)f(x0)|,uy 尽管u=cos x 1 是在定义域内的定义域是一个孤立点集D=x|x=2k,kZ 1cos xy1cosxy从而,函数在其定义域内的但由它

15、们构成的复合函数连续的函数,每一点均不连续.例9在上述定理 的条件下,)(lim()(lim00 xfxfxxxx 在上述定理 的条件下,极限符号可与连续函数 符号交换顺序.推论推论1设函数 u=(x)的极限存在：函数 y=f(u)在点 u=a 处连续.复合函数 f(x)当 x x0 时的极限存在,且，axxx)(lim00U x)()(lim()(lim00afxfxfxxxx若复合函数 f(x)在内有定义,则xxxxee202sinlimsin0lim10 e求xxe2sin0lim例10解利用复合函数的连续性推论求极限利用复合函数的连续性推论求极限求xxxsinlnlim0y=ln u

16、在其定义域内连续,0 sin处无定义在点xxxu,1sinlim 0 xxx但故xxxsinlnlim001ln sinlim ln0 xxx（y=ln u 在 u=1 处连续）例11解4.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.注意两者的区别！利用初等函数和反函数连续性求极限求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12ln(12 连续性给极限运算带来很大方便.例12解xxxarcsinlim0求xxxx1021lim求例14例13故f(x)在 内连续.例例1515 讨论函数1(2)1 e,2()sin(),2xxf xxx 的连续性.解解 f(x)在(,2)内f(x)=1e1/(x 2)为初等函数,在2,+)内f(x)=sin(/x)也为初等函数,(,2)(2,)在分段点x=2处,有1(2)22lim()lim(1 e)1(2)xxxf xf 22lim()limsin()1(2)xxf xxf 因此,f(x)在x=2处既左连续又右连续,从而f(x)在x=2处连续.综上所述,f(x)在其定义域(,+)内连续.