多元函数微分学课件

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1、多元函数微分学 8.1.1 多元函数的概念多元函数的概念当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续多元函数微分学例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 多元函数微分学 二元函数二元函数 的

2、图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.多元函数微分学二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.多元函数微分学xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222

3、azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:多元函数微分学 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点，是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx8.1.2 平面点集的有关概念平面点集的有关概念 多元函数微分学（2）内点）内点.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点

4、是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE EP.为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集（3）开集）开集多元函数微分学的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来

5、，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD （4）边界点和边界）边界点和边界（5）连通性）连通性多元函数微分学连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo（6）区域）区域多元函数微分学0|),(yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一

6、一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 41|),(22 yxyx（7）有界点集与无界点集）有界点集与无界点集多元函数微分学8.1.3 多元函数的极限多元函数的极限多元函数微分学说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似多元函数微分学例例2 2 求极限求极限 解解2222001sin)(limyxyxyx 01sin)(lim222200

7、 yxyxyx多元函数微分学例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 多元函数微分学例例4 4 求极限求极限 .1sin1sin)(lim00yxyxyx 解解.0 yxyxyx1sin1sin)(lim00 多元函数微分学例例5 5 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300l

8、imyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在多元函数微分学（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：多元函数微分学n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数

9、的形式有多元函数微分学 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.8.1.4 多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义多元函数微分学例例6 6 讨论函数讨论函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解故函数在故函数在(0,0

10、)处连续处连续.222222)0,0(),()0,0(),(lim),(limyxyyyxxxyxfyxyx 0 多元函数微分学例例7 7 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续多元函数微分学闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一

11、次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元函数微分学多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在

12、其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域多元函数微分学例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 多元函数微分学多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小结小结多元函数的定义多元函数的定义多元函数微分学 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx

13、时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 A，能能否否断断定定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题多元函数微分学思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41多元函数微分学一、一、填空题填空题:1 1、若若yxxyyxyxftan),(22 ,则则),(tytxf=_.2 2、若若xyyxyxf2),(22 ,则则 )3,2

14、(f_;),1(xyf_.3 3、若若)0()(22 yyyxxyf,则则)(xf_.4 4、若若22),(yxxyyxf ,则则),(yxf_.函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_.练练 习习 题题多元函数微分学 6 6、函函数数yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.7 7、函函数数xyzarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.8 8、函函数数xyxyz2222 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二、二、求下

15、列各极限求下列各极限:1 1、xyxyyx42lim00 ；2 2、xxyyxsinlim00；3 3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx .多元函数微分学三三、证证明明：0lim2200 yxxyyx.四四、证证明明极极限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 .多元函数微分学一一、1 1、),(2yxft；2 2、1213,),(yxf；3 3、xx21；4 4、yyx 112；5 5、xyyxyx4,10),(222 ；6 6、yxyxyx 2,0,0),(；7 7、xyxxyx ,0),(xyxxyx ,0),(；8 8、02),(2 xyyx.二二、1 1、41；2 2、0 0；3 3、.练习题答案练习题答案