2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第44讲 排序不等式

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1、第四讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a1，a2，an；b1，b2，bn如果a1a2an；b1b2bn那么a1bna2bn1anb1（反序和）a1a2an（乱序和）a1b1a2b2anbn（同序和），其中i1，i2，in是1，2，n的一个排列该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值切比雪夫不等式：设有两个有序数组a1a2an；b1b2bn则(a1bna2bn1anb1)(a1b1a2b2anbn)，其中等号仅当a1a2an或b1b2bn时取得琴生不等式又称凸函数不等式，

2、它建立在凸函数的基础上x1x2M(1)PQ定义设连续函数f(x)的定义域是a，b(开区间(a，b)或(，)上均可)，如果对于区间a，b内的任意两点x1，x2有f()f(x1)f(x2)，则称f(x)为a，b上的下凸函数如图()定理一若f(x)是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x1，x2，xn，恒有f()f(x1)f(x2)f(xn)x1x2M(2)PQ定义设连续函数f(x)的定义域是a，b(开区间(a，b)或(，)上均可)，如果对于区间a，b内的任意两点x1，x2有f()f(x1)f(x2)，则称f(x)为a，b上的下凸函数如图(2)定理二：若是上凸函数，则对其定义域中的任意个点恒有，容易

3、验证分别是上的下凸函数。分别是上的上凸函数。定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。幂平均：设是任意个正数，我们称为这一组数的次幂平均，记为（），简记作。由定义容易得到，可以证明。幂平均不等式：设是任意个正数。如果，那么一定有，等号只有当个数全相等时才能成立。例如时，显然是的递增函数。我们将在本节的附录里对排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分别给出证明。由于幂平均不等式数学背景深，难度大，这里不再证明，有兴趣的读者可以参阅史济怀先生著平均。A类例题例1 求证证法一：证法二：在上是下凸函数。据琴生不等式，因此说明：如原题改为求证，则证法二仍可，证法一则不灵。例2 中求的最大值。解：

4、考察函数，对任意，所以。因此是上凸函数。据琴生不等式，当且仅当时取得最大值。链接：用琴生不等式可以轻而易举得得到一系列三角不等式，例如中， ，。例3 若，求的最小值。解：由于是下凸函数（读者自行证明）。据琴生不等式，即，也就是，当且仅当时达到最小值。说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。情景再现1. 中，求的最大值。2. ，若，证明是下凸的；若，证明是上凸的。3. 用函数的凸函数性质证明平均值不等式：对（）有B类例题例4 设都是正数，且，试证证明：据幂平均不等式，因此有，也就是。例5 1）若不等式对所有正实数都成立，则的最小值是_。 （第十三届希望杯.高二）2）设都是正数，试证3

5、）设，且，试证当时有1）解：据幂平均不等式，因此，故的最小值是。2）证明： （1），又因此得 （2）， （1）与（2）相乘得，也就是。仿此，一般地设；都是正数，且，则有。3）证明：由幂平均不等式，这样便有 （1），由于，由柯西不等式（或平均值不等式）易知，于是得 （2），由不等式（1）（2）得。我们注意到许多不等式就是该不等式的特例。例如，设都是正数，且，那么。设都是正数，且，那么。例6 已知非负实数满足，证明。 （2003-2003匈牙利数学奥林匹克）分析：我们想起这样的一道题。已知为非负实数，求的最大值和最小值。这道题的几何意义是点在单位圆的一段弧上，求点纵、横坐标之和的最值。对比我们做过

6、的题和要做的题，发现其本质是一样的，只不过问题由平民推到了空间，过去的圆变成了现在的球因而解法完全类似。证明：由已知，配方可得（这表明点在以为球心，半径为的球面上），据幂平均不等式，当且仅当时取等号。又为非负实数，所以，相加得，解此不等式得，当且仅当时等号成立。综上便有。例7 设，且，求证 （1994年国家数学集训队9人测验试题）证明：因为，所以，利用切比雪夫不等式，有，也即。因此。说明：排序不等式与切比雪夫不等式有共同之处，它们都有已经排序的两组实数；都涉及到反序和及同序和。不同的是在排序不等式中没有每组数的算术平均，而在切比雪夫不等式中却有，。正因为有共性，因此它们是相通的，又由于有差异，

7、作为数学工具，它们又有不同的功能和作用。在使用时，我们必须把握住问题的结构特点，选择最佳的切入点和突破口。例8 设的三内角所对的边分别为，其周长为1，求证：。分析：由问题的对称性，不妨设，三角形中大边对大角，于是有（这种形式是题目所需要的）。这样既不改变问题的实质，又增加了已知条件：两组有序实数，及。这就为应用排序原理创设了很好的情境。证法一：用排序原理。不妨设，于是有。由排序不等式（同序和大于或等于反序和），也就是，同理， ，相加得，不等式两边同加，并注意到，就得证法二：比较法，因此。说明：利用排序原理证明其他不等式时，必须制造出两个合适的有序数组。情景再现4. 1）设都是正数，试证 2）设

8、都是正数，试证5. 已知是正数，求证6. 假设是正数的某一排列，证明7. 设是三角形的三边长，求证8. 设，求证：例9 设为两两不等的正整数，求证：对任何正整数，下列不等式成立： （第20届IMO试题）证法一：用排序原理。对于任意给定的正整数，将按从小到大顺序排列为。因为，据排序原理得，即。又因为为两两不等的正整数，所以（），于是，故。证法二：用平均值不等式。据平均值不等式的变形形式，取，有，这样便有，而，故。证法三：用柯西不等式。据柯西不等式有，两边约去正因式即得。说明：这题证法很多，除了上述的证法之外还可用比较法、放缩法、增量法、构造法、数学归纳法来证得，读者不妨一试。例10 W.Jano

9、us猜测：设，则证法一：用排序原理。考察两组实数及，由对称性，不妨设，由此则得，由排序原理（顺序和不小于乱序和），移项后得证法二：代换法。令，则得，代入后原不等式化为证明 （*），由于，即，同理可证，三不等式相加便得。链接：由证法一很容易将W.Janous猜测推广：设（），记，则情景再现9. 设为正数，求证10. 已知都是正数，求证习题四A类1. 设都是正数（），且，求证2. 是给定的正整数（），求单位圆的内接边形面积的最大值。3. 设，满足，证明4. 设是正数，是正整数，证明B类5. 记的三边长为；，求证6. 已知都非负且，求的最大值。7. 设，又是的一个排列，求证： （第17届IMO试题）

10、8. 设是三角形的边长，求证：（第24届IMO试题）C类9. 设与是任意两组实数，它们满足条件：（1）（2） （3）（），为了使不等式成立，那么数的最小值是多少？ （1988年理科试验班复试试题）10. 平面上给定个不同的点，试证：一定可以画一个圆，使圆内恰有个点，而其余个点都在所画的圆外面。附录1. 排序不等式：给定两组实数；，如果；，那么（反序和）（乱序和）（同序和），其中是的一个排列。证明：对于任意，由此得。所以，我们可将中的第一项的因数与对调，和不会减少，同样可将第二项调为，依次类推即得，同样可以证明。排序不等式的证明反映了调整的思想，通过调整产生变化并逐渐接近结论同排序不等式可以证明

11、好些其他的重要不等式，例如切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。2. 切比雪夫不等式：设有两个有序数组；，则证明：由排序原理有，相加，即，同样可证3. 琴生不等式：若是上凸函数，则对其定义域中的任意个点，恒有证明：用数学归纳法。时，不等式显然成立。时，由上凸函数的定义不等式成立。假设时命题正确，即。当时，。这就是说当时，不等式也成立。因此当时不等式总成立。接下来我们再证明当时（）如果不等式成立，那么当时不等式也一定成立。设，令代入得，也就是，整理便得，这就是说当时不等式也一定成立。当时不等式成立（大踏步前进），然后又证明了时成立，必导致时成立（将前面空档回填），因此对任意正整数不等式都成立。

12、本节情景再现解答1. ，由幂平均不等式，而，因此有。此式说明函数在上是上凸函数。据琴生不等式，最大值为2. 设为任意实数，因此，故为下凸函数。时同理可证为上凸函数。3. 容易知道为正实数集上的上凸函数，为任意正实数。据琴生不等式，去对数即得，当时取等号。4. 1）参考例5中2），有，又，代入即得所证。 2）与1）证法相同5. 据幂平均不等式，而，因此，两边平方后即得。6. 不妨设，则，注意到是的一个排列，故由排序原理（反序和）（乱序和），即7. 不妨设，由排序原理先得，再得以上两不等式相加便得。8. 序列与有相同的次序；与有相反次序，而是的一个排序。所以，即 （1）。同样，即 （2），（1）+

13、（2）便得所证。本题用平均不等式也可证得。9. 不妨设，则，10. 三次用到排序原理。不妨设，则，故习题四解答1. 设，由此可得，由切比雪夫不等式，也就是2. 如图，容易证明当圆内接边形的所有顶点都在某一条直径的同侧时，边形面积不可能取得最大值。设边形顶点不在任何一条直径的同侧。令，（）。OA1A2A3An，由在上是上凸函数，据琴生不等式，当且仅当正边形时取得最大值。3. 由已知，即，再据幂平均不等式得，于是有，同理可得关于的同类不等式，五个不等式相加，即得所证。4. 由于,由幂平均不等式，得，该式表明在上是下凸函数。因此有5. 注意到是上的上凸函数，从而有，另外一个不等式两边平方后，成为一个

14、显然成立的式子。6. （）是上凸函数，据琴生不等式，因此有，对正整数再求的最大值。当时，的值分别为0，2，2。当时由不等式可知。综上所求的最大值当时应是。此时。当时最大值应是2，此时7. 由排序原理，得，即，但，所以，也就是8. 考察三组数；及；由对称性不妨设，由此则得，由比较法不难证得。由排序原理，也就是，移项即得，对的其他排序同理可证。9. 为方便起见，将集合划分为两个子集：，这里且。，这里且。容易推得，现在考察，由排序原理得，注意到，则。又，有。 （1），又由排序原理 （2），由（1）（2）得，即，因此的最小值为10. 设这个点为，作它们两两连结线段的垂直平分线，在平面上取不在上的一点，则到的距离两两不等，不失一般性，可设1）要使圆内没有点，只要以为圆心，取半径画圆即可。2）要使圆外没有点（点全在圆内或圆上），只要以为圆心，取半径画圆即可。3）要使圆内恰好有个点（）且其他点都在圆外，只要以为圆心，取半径画圆即可。本题虽没有直接援用排序不等式，但证题的关键是排序。