高二奥赛辅导第一讲集合一.高二数学课件

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1、高中数学奥赛辅导讲座高中数学奥赛辅导讲座-第一讲第一讲山东滕州一中山东滕州一中 王洪涛王洪涛集合是一种基本数学语言、一种基本数学工集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言合语言(术语与符号术语与符号)来表示各种数学名词，主来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用动使用集合

2、工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程迹及其关系、表示方程(组组)或不等式或不等式(组组)的解、的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。质进行组合计数等。知识系统及其结构：补集并集交集集合的运算相等包含集合间的关系无限集有限集集合分类描述法列举法集合表示法虚数集无理数集负整数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集常用集合集合RQNNZQRC*基本概念：1、集合：一定范围内、确定的、互异的研究对象，作为一个整体称为集合，简称集各个对象叫做集的元素

3、元素有四个属性：确定性、互异性、无序性、任意性。2、无限集：含无限多个元素的集称无限集.3、有限集：含有限个元集的集称为有限集 4、列举法：对有限集，可把它所有的元素写在一个大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。5、描述法：把集合中所有元素的共同属性写在大括号内，这种方法叫描述法.6、空集：一般地，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作 显然对任一非空集合A,A。7、元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于不属于集合A，记作a A，（或a A）8、常用集合的字母表示：自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集分别用大写字母N、Z

4、、Q、R、C表示有时还用Q表示正有理数集，用R表示负实数集，等等 9、子集：若集A的元素都是集B的元素，就称A为B的子集，记作A B显然A A。10、真子集：对于两个集合A与B，如果A B，并且A B，就说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）。空集是任何非空集合的真子集12、集合相等：对于集合A，B，如果A B，同时 B A，那么AB13、交集：对任意两个集合A与B，所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB ABx|xA且xB11、集合的子集个数：集合集合A有有n个元素，集个元素，集A的子的子集共有集共有2n个，真子集有个，真子集有2n-1个，非空真子集

5、有个，非空真子集有2n-2个个.14、并集：由所有属于集A的元素或属于集B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作ABABx|xA或xB15、全集：如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集全集，全集通常用表示U表示16、补集：一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集补集（或余集余集），记作 A 即 Axx S，且x ASCSC17、集合的包含关系有传递性：A B，B CA C ；A B，B CA C如韦恩图所示。18、运算的性质：对任意集合A与B，总有AAAAAAAABBAABBAA AI，A

6、A 交、并、补运算有德摩根律：(AB)A B ，(AB)=A B19、形如2n(nZ)的整数叫做偶数，形如2n1(nZ)的整数叫做奇数，奇数偶数Z，奇数偶数 若IR，则 Q 无理数称无理数集SCSCSCSCSCSCSCSCSC一一.集合里的元素是什么集合里的元素是什么 集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集、集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于、不全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于、不属于、包含、包含于

7、、真包含、真包含于、相等、不相等、属于、包含、包含于、真包含、真包含于、相等、不相等、相交、相并、互补相交、相并、互补(、N、N、Z、Q、R、CsA、I、)等，这些新概念新关系，多而等，这些新概念新关系，多而抽象。在这千头万绪中，应该抓住抽象。在这千头万绪中，应该抓住“元素元素”这个关键，因为这个关键，因为集合是由元素确定的，集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空子、全、补、交、并、空”等集合等集合也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即“确定性确定性”，“互异性互异性”、“无序性无序性”也就是元素的性质。集合的分类也就是元素的性质。集合的分类

8、(有限集与无限集有限集与无限集)与表示方法与表示方法(列举法与描述法列举法与描述法)也是通过元也是通过元素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。确定集合里的元素是什么。、例设集合例设集合A（3，2）。已知）。已知x、yN，xy,x3+19y=y3+19x,判断判断a=与集合与集合A的关系的关系)(log21yx)(log21yx 分析：解决本题的关键在于由已知条件确定分析：解决本题的关键在于由已知条件确定x+y的取值范围，的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定从而利用对数函数的单调性确定a的范围。的范围。

9、解：因为解：因为x3-y3=19(x-y),且且x、yN，xy,所以所以x2+xx2+xy+y2=193x2由此及由此及xN得得x=3,从而从而y=2.所以所以3a,25log)23(log2121即即aA。例设例设Ax x=a2+b2,a、bZ，x1，x2A，求证：求证：x1x2A。分析：分析：A中的元素是什么？是自然数，即由两个整中的元素是什么？是自然数，即由两个整数数a、b的平方和构成的自然数，亦即从的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25，n2，中任取两个中任取两个(相同或不相同相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个数加起来得到的一个和数，本题要证明的

10、是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(x)2+(y)2，xyZ例设例设Ax x=a2+b2,a、bZ，x1，x2A，求证：求证：x1x2A。证明：设证明：设x1a2+b2，x2=c2+d2，a、b、c、dZ则则x1x2(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-bcad+a2d2 (ac+bd)2+(bc-ad)2又又a、b、c、dZ，故，故ac+bd、bc-adZ，从而从而x1x2A例以某些整数为元素的集合例以某些

11、整数为元素的集合P具有下列性质：具有下列性质：P中的元素有正数，有负数；中的元素有正数，有负数；P中的元素有奇数中的元素有奇数,有偶数；有偶数；1P；若若x，yP,则则xyP试判断实数试判断实数0和和2与集合与集合P的关系。的关系。解：由解：由若若x，yP,则则xyP可知，若可知，若xP，则，则kxP P (kN N)(1)由由可设可设x，yP，且，且x0，y0，则，则yx|y|x (|y|N)故故xy,yxP,由由,0(yx)+xyP。(2)2 P。若。若2P，则，则P中的负数全为偶数，中的负数全为偶数，不然的话，当（不然的话，当（2k+1）P（kN N）时，）时，1（2k-1）2kP，与，

12、与矛盾。矛盾。于是，由于是，由知知P中必有正奇数。设中必有正奇数。设我们取适当正整数我们取适当正整数q，使，使则负奇数。前后矛盾。则负奇数。前后矛盾。),(12,2NnmPnm12|2|nmqPnqm)12(2说明：本题的证明中根据说明：本题的证明中根据A中元素的结构特点使用中元素的结构特点使用了配方法和了配方法和“零零”变换变换(02abcd-2abcd)。命题。命题的结论说明集合的结论说明集合A对于其中元素的对于其中元素的“”运算是封闭运算是封闭的。类似的有：的。类似的有：自然数集合自然数集合N对于对于“”、“”运算是封闭的运算是封闭的整数集合整数集合Z对于对于“”、“”、“”运算是封运算

13、是封闭的闭的有理数集合有理数集合Q对于对于“”、“”、“”、“”运算是封闭的运算是封闭的(除数不能是零除数不能是零)实数集合对于实数集合对于“”、“”、“”、“”四四则运算是封闭的则运算是封闭的复数集合对于复数集合对于“”、“”、“”、“”、乘方、开方运算都是封闭的。乘方、开方运算都是封闭的。二、二、集合中待定元素的确定集合中待定元素的确定例例4已知集合已知集合Mx，xy，lg(xy)，S0,|x|,y，且，且MS,则则(x1/y)(x21/y2)(x20041/y2004)的值等的值等于于()分析：解题的关键在于求出分析：解题的关键在于求出x和和y的值，而的值，而x和和y分别是集合分别是集合

14、M与与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、子、全、补、交、异、空、等空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集数集)，还会用到它们的简单性质：还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之积相等

15、；相等两集合的元素之积相等；对于本题，还会用到对数、绝对值的基本性质。对于本题，还会用到对数、绝对值的基本性质。再由两集合相等知再由两集合相等知|1111|xxxxxx或当当x1时，时，M1,1，0，S0,1，1，这与同一个集合中元，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故素的互异性矛盾，故x1不满足题目要求；不满足题目要求；当当x1时，时，M1,1，0，S0,1，1，MS，从，从而而x1满足题目要求，此时满足题目要求，此时y1，于是，于是x2K11/y2K12(K0,1，2，)，x2K+1/y2K2(K1,2，1002)故所求代数式的值为故所求代数式的值为0解：由解：由MS知，两集合元素完全相同

16、。这样，知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元中必有一个元素为素为0，又由对数的性质知，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以和负数没有对数，所以xy0，故，故x，y均不为零，所以只能有均不为零，所以只能有lg(xy)0，从而，从而xy1Mx，1，0，S0，x ，1/x例例5.设设Ax x2+ax+b=0Bx x2+cx+15=0若若AB3,5，AB3，求，求a,b,c。分析：由方程的根的定义及一元二次方程的根与系数的关系分析：由方程的根的定义及一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理韦达定理)，结合，结合、的的 概念入手，可以寻得解题的突破口。概念入手，可以寻得解题的突破口。解：由解：

17、由AB3 知知3B,由韦达定理知由韦达定理知851533222cxxcx此时，此时，B3,5AB,又由又由AB3知知5 A；而；而(AB)A (AB)，故，故A3，即二次方程即二次方程x2ax+b0有二等根有二等根x1x23，根据韦达定理，有根据韦达定理，有x1x26a，x1x29b,所以，所以，a6，b9，c8例例6.设设A是数集，满足若是数集，满足若aA，则，则 A，且，且1 A.若若2A，则，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素中至少还有几个元素？求出这几个元素.A能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论.若若aA，证明：，证明：

18、1 A.a11a1解：解：2A 1A A 2A A中至少还有两个元素：中至少还有两个元素：1和和如果如果A为单元素集合，则为单元素集合，则a即即a2a10该方程无实数解，故在实数范围内，该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集不可能是单元素集但该方程有两个虚数解：但该方程有两个虚数解：a i2121a112321故在复数范围内，故在复数范围内，A A可以是单元素集，可以是单元素集，A A i i或或 i i 23212321aA aA A A AA，即即1 1 AAa11a1111a1三有限集元素的个数三有限集元素的个数(容斥原理)请看以下问题：请看以下问题：开运动会时，高一某班共有

19、开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，名同学参加比赛，有有15人参加游泳比赛，有人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有人参加田径比赛，有14人人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解决这个问题需要我们研究集合元素的个数解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题问题(请读者参

20、阅高中教材请读者参阅高中教材数学数学第一册第一册(上上)P23P23阅读材料阅读材料“集合元素的个数集合元素的个数”。)为此我们把有限集合为此我们把有限集合A的元素个数记作的元素个数记作card(A)或或n(A)或或|A|可以证明：可以证明：(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)；(2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)如下图所示：如下图所示：由图由图131，有，有card(AB)=+=(+)+(+)-card(A)+card(B)-card(AB)又由图又由图

21、132，有，有card(ABC)=+(+)+(+)+(+)-(+)-(+)-(+)+card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)现在我们可以来回答刚才的问题：现在我们可以来回答刚才的问题：“开运动会时，高一某班共开运动会时，高一某班共有有28名同学参加比赛，有名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有人参加游泳比赛，有8人参加田径人参加田径比赛，有比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3

22、人，没有人同时参人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？参加游泳一项比赛的有多少人？”了了设设A参加游泳比赛的同学参加游泳比赛的同学，B参加田径比赛的同学参加田径比赛的同学，C参加球类比赛的同学参加球类比赛的同学则则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(ABC)=28且且card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0由公式由公式得得281581433card(BC)+0即即card(BC)=3所以同时参加田径和球类比赛的共有所以

23、同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳人，而只参加游泳比赛的人有比赛的人有15339(人人)例例7计算不超过计算不超过120的合数的个数的合数的个数 分析分析1：用：用“筛法筛法”找出不超过找出不超过120的质数的质数(素数素数)，计算，计算它们的个数，从它们的个数，从120中去掉质数，再去掉中去掉质数，再去掉“1”，剩下的，剩下的即是合数。即是合数。解法解法1：120以内：以内：既不是素数又不是合数的数有一个，即既不是素数又不是合数的数有一个，即“1”；素数有素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、7

24、9、83、89、97、101、103、107、109、113、共、共30个。个。所以不超过所以不超过120的合数有的合数有12013089(个个)(附：筛法：从小到大按顺序写出附：筛法：从小到大按顺序写出1120的所有自然数：的所有自然数：先划掉先划掉1，保留，保留2，然后划掉，然后划掉2的所有倍数的所有倍数4,6，120等；保留等；保留3，再划掉所有再划掉所有3的倍数的倍数6,9117、120等；保留等；保留5，再划掉，再划掉5的所有的所有倍数倍数10,15，120；保留；保留7，再划掉，再划掉7的所有倍数，的所有倍数，这样，上这样，上面数表中剩下的数就是面数表中剩下的数就是120以内的所有

25、素数，这种方法是最古以内的所有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做老的寻找素数的方法，叫做“埃斯托拉埃斯托拉筛法筛法”)分析分析22受解法受解法1 1的启发，如果能找出的启发，如果能找出1n1n中质数的个数中质数的个数m m，则，则n n1 1m m就是不就是不超过超过n n的合数的个数。由初等数论中定理：的合数的个数。由初等数论中定理：a是大于是大于1 1的整数。如果所有不大于的整数。如果所有不大于 的质数都不能整除的质数都不能整除a，那么，那么a是质数。是质数。因为因为12012112012111112 2，1111，所以，所以不超过不超过120120的合数必是的合数必是2 2或或

26、3 3或或5 5或或7 7的倍数，的倍数，所以只要分别计算出不超过所以只要分别计算出不超过120120的的2 2、3 3、5 5、7 7的倍数，再利用的倍数，再利用“容斥原理容斥原理”即可。即可。a120解法解法2：设：设S1a 13120,2 a；S2b 1b120,3 b；S3c 13120,5 c；S4=d 1d120,7 d，则有：，则有：card(S1)120/2=60，card(S2)120/340，card(S3)120/524，card(S4)120/717 card(S1S2)120/2320,card(S1S3)120/2512，card(S1S4)120/278,card

27、(S2S3)120/358，card(S2S4)120/375,card(S3S4)120/573，card(S1S2S3)120/2354,card(S1S2S4)120/2372，card(S1S3S4)120/2571，card(S2S3S4)120/3571，card(S1S2S3S4)120/23570card(S1S2S3S4)card(S1)card(S2)card(S3)card(S4)card(S1S2)card(S1S3)card(S1S4)card(S2S3)card(S2S4)card(S3S4)card(S1S2S3)card(S1S2S4)card(S1S3S4)card(S2S3S4)card(S1S2S3S4)(60402417)-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0141-568932，3，5，7是质数是质数93489即不超过即不超过120的合数共有的合数共有89个。个。