运动定律与力学中的守恒定律课件

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1、第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学一、牛顿第一定律一、牛顿第一定律 惯性参考系惯性参考系 1 1、牛顿第一定律、牛顿第一定律（Newton first law）(2).定义了定义了惯性参考系惯性参考系 (1).包含两个重要概念：包含两个重要概念：惯性惯性和和力力 固有特性固有特性2.1 2.1 牛顿运动定律牛顿运动定律惯性定律惯性定律第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学2、惯性参照系惯性参照系 惯性参照系惯性参照系牛顿定律严格成立的参照系。牛顿定律严格成立的参照系。太阳系是一个惯性系太阳系是一个惯性系。

2、注意注意 牛顿第一定律只在牛顿第一定律只在惯性参照系惯性参照系里才成立。里才成立。第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学问问题题a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律时单摆和小球的状态符合牛顿定律结论结论：牛顿定律成立的参照系，称为惯性系。相对惯性系作牛顿定律成立的参照系，称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。加速运动的参照系是非惯性系。a0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿律？时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿律？3、惯性系与非惯性系、惯性系与非惯性系第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学二、牛顿二、牛顿第二定律第二定律（Newton second

3、 law）amF2、迭加性：、迭加性：iNiNFFFFF121特点特点：瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性 1、瞬时性：、瞬时性：aF、之间一一对应之间一一对应第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学3、矢量性：具体运算时应写成分量式、矢量性：具体运算时应写成分量式dtdvmmaFyyy dtdvmmaFxxx dtdvmmaFzzz 直角坐标系中：直角坐标系中：dtdvmF 2vmFn 自然坐标系中：自然坐标系中：第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学4、定量的量度了惯性定量的量度了惯性 ABBAaamm惯性质量惯性

4、质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量引力质量引力质量：0221GFrrmm式中式中21mm、被称为引力质量被称为引力质量经典力学中经典力学中不区分不区分引力质量和惯性质量引力质量和惯性质量第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学三、第三定律三、第三定律（Newton third law）21FF作用力与反作用力作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。它们之间一一对应。、它们总是成对出现。它们之间一一对应。2、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。3、它们一定是属于同一性质的力。、它们一定是属于同

5、一性质的力。第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例：质量为例：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力的小球，在水中受的浮力为常力F，当，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=-kv(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间与时间t的关系为的关系为fFmgax)1(mktekFmgv式中式中t为从沉降开始计算的时间为从沉降开始计算的时间证明：取坐标，作受力图。证明：取坐标，作受力图。dtdvmmaFkvmg根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有四、牛顿定律的应用四、牛顿定律的应用第2章 运

6、动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学初始条件：初始条件：t=0 时时 v=0dtdvmmaFkvmgtvdtmFkvmgdv00)(tvdtFkvmgFkvmgdkm00)()(mktFkvmgv0)ln()1(mktekFmgv第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例题例题 质量为16 kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx6 N，fy7t N，当t0时，xy0，vx2 m/s，vy0.求当t2 s时质点的(1)位矢；(2)速度。第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学一、一、在变速直线运动参考系中的惯性力在变速直线运动参考系中的惯性

7、力samF aamF amam aamamFss地地samF惯惯令令：2.2 2.2 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学三、三、科里奥利力科里奥利力*kf 相相umf*k2在转动的非惯性系，还须引入科里奥利力，在转动的非惯性系，还须引入科里奥利力，才可沿用牛顿定律的形式才可沿用牛顿定律的形式地球是个匀角速转动的参考系，但由于自转角速地球是个匀角速转动的参考系，但由于自转角速度很小，地球上运动的物体往往察觉不到科里奥度很小，地球上运动的物体往往察觉不到科里奥利力的存在。利力的存在。二、二、在匀角速转动的非惯性系中的惯性力：在匀角速转动的非惯性系中

8、的惯性力：-惯性离心力惯性离心力第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学物理学大厦物理学大厦的基石的基石三大三大守恒定律守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动能转换与守恒定律动能转换与守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点的动量定理一、质点的动量定理amF由可得：可得：dtpdF pptpppddtF0000ppI 作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量质点的动量定理质点的动量定理2.3 2.3 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学xxttxmvmvdtF1221 yyttym

9、vmvdtF1221 zzttzmvmvdtF1221 分量表示式分量表示式二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理第第i个质点受到的合外力为个质点受到的合外力为11njijifF外对第对第i个质点个质点运用动量定理有：运用动量定理有：121121iiiittnjijivmvmdtfF外 niiiniiittninjijttniivmvmdtfdtF111211112121外外第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学因为：因为：0111 ninjijf niiiniiittniivmvmdtF1112121外外三、动量守恒定律三、动量守恒定律01112 niiiniiivmvm则

10、则有有若若外外0iF 一个一个孤立孤立的力学系统（系统不受外力作用）或的力学系统（系统不受外力作用）或合合外力为零的外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。即：系统，系统内各质点间动量可以交换。即：动量守恒定律动量守恒定律。第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学xvo l0vumM 例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、l0v人逆车运动方向从车头经人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。到达车尾。求：求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；2、车的运动路程；车的运动路程；3、若人以变速率运动，

11、若人以变速率运动，上述结论如何？上述结论如何？解：以人和车为研究解：以人和车为研究系统，取地面为参照系统，取地面为参照系。水平方向系统动系。水平方向系统动量守恒。量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumMvvmM 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学vo l0vumMxtlmMmvumMmvv001、2、lmMmtvttlmMmvvts00)(3、umMmvv0lmMmtvdtmMmuvvdtstt0000)(第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例二、质量为例二、质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的的速率飞来，被板推挡后，又以速率飞来，

12、被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为夹角分别为45o和和30o，求：求：（1）乒乓乒乓球得到的冲量；球得到的冲量；（2）若撞击时间为若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小求板施于球的平均冲力的大小和方向和方向。45o 30o nv2v1解：取挡板和球为研究对象，由于解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为挡板对球的冲力为 则有则有：F12vmvmdtFI 第2章 运动定律与力学中的守恒定律

13、力学基础大学物理学45o 30o nv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：取坐标系，将上式投影，有：tFmvmvdtFIxxx)45cos(30cos12tFmvmvdtFIyyy45sin30sin122.5g m/s20 m/s10 0.01s21m vvtN14.6 N7.0 N1.622yxyxFFFFFsNjijIiIIyx007.0061.0 为平均冲力为平均冲力与与x方向的夹角方向的夹角。6.54 1148.0tanxyFF第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学此题也可用矢量法解此题也可用矢量法解45o 30o nv2v1Oxy105cos2212222212v

14、vmvmvmtFI Ns1014.62 N14.6tIF 105sinsin2tFmv 51.86 0.7866sin86.64551.86 v2v1v1tFx第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学 例2.7一根长为l，质量均匀分布的链条平直放在光滑桌面上，开始时链条静止地搭在桌边，其中一端下垂，下垂部分长度为a，释放后链条开始下落，求链条下落到任意位置处的速度。1222()gvxal第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例三例三.一质量均匀分布的软绳铅直悬挂，一质量均匀分布的软绳铅直悬挂，绳的下端刚好触到水平桌面。释放软绳的下端刚好触到水平桌面。释放软绳，绳将

15、落在桌面上。试证明：在绳绳，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。的三倍。ox证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设t时刻已有时刻已有x长的柔绳落至桌面，长的柔绳落至桌面，随后的随后的dt时间内将有质量为时间内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：dtdtdxdxdtdpx第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理

16、，桌面对柔绳的冲力为：2vdtdtdxdxdtdpF柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF即：即：LMgxFgxvvLMvF/2 2 222而而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学一、功与功率一、功与功率1 1、功、功力的空间积累力的空间积累 21rrrdFdAA kFjFiFFzyx kdzjdyidxrd dsFrdFdA cos 微分形式微分形式直角坐标系中直角坐标系中 xxzzzyyyxbazyxzdFydFdxFdzFdyFdxFA0002.

17、4 2.4 功和能功和能 机械能守恒定律机械能守恒定律riFiAB 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例1 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 2.质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xyXYO23125.2yx42 64 xy第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学做做功功与与路路径径有有关关)(42Nji yF JdydxxdyydxdyFdxFAyyxx

18、yxyxyx8104242491322121212211.)(,XYO23125.2yx42 64 xyJdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx252146214249132221212211.)()(,bazyxBAdzFdyFdxFrdFA第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例2、质量为质量为2kg的质点在力的质点在力i tF12(SI)的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）解：（一维运动可以用标量）vdttrdFA122000032

19、120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttA7299363124303302第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学2、功率、功率 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功瞬时功率等与力与物体速度的标积瞬时功率等与力与物体速度的标积单位：瓦特单位：瓦特 WrdFdAvFdtrdFP tAP平均功率：dtdAtAPt0lim瞬时功率：第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学二、保守力的功二、保守力的功1 1、保守力、保守力某些力对质点做功的大小只某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关与质点的始末位置有关，而而与路径无关与路径无关。这种力称为。

20、这种力称为保守力保守力。典型的保守力：典型的保守力：重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是耗散力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：典型的耗散力：摩擦力摩擦力0 rdFA第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学2、重力的功重力的功m在重力作用下由在重力作用下由a运动到运动到b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点.baGrdgmA可见，可见，重力是保守力重力是保守力。XYZOab gmrd bazzmgdz ba)kdzjdyidx(k)mg(bamgzmgz 初态量初态量末态量末态量第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学3、弹力的功弹力的

21、功kxF可见，可见，弹性力是保守力弹性力是保守力。XOab 弹簧振子弹簧振子222121bakxkx 初态量初态量末态量末态量)(222121abxxkxkxkxdxAba 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学4、引力的功引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时两个质点之间在引力作用下相对运动时，以，以M所在处为原点所在处为原点,M指向指向m的方向为矢径的正方向。的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。受的引力方向与矢径方向相反。可见可见万有引力是保守力万有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab rdrrdrrdr cos barrbarrGMmdrrGM

22、mrdfAba1112第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例4、一对作用力和反作用力的功一对作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m1、m2组成一个封闭系统组成一个封闭系统在在dt 时间内时间内2211rdfrdfdA1111rdfrm 2112rrr )()(122122rrdfrdrdfdA21ff 212rdfdA2222rdfrm 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学三、动能定理三、动能定理 iiiikikvmEE221ni,2,1 质点的动能质点的动能质点系统的动能质点系统的动能定轴转动的刚体定轴转动的刚体222222

23、21212121 JdmrdmrdmvEk221 JEk刚体的转动动能刚体的转动动能221mvEk 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学AB rifi 质点的动能定理质点的动能定理 合外力对质点所合外力对质点所做的功做的功等于质点等于质点动能的增量动能的增量。功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度过程量过程量状态量状态量1221222212121212121KKvvEEmvmvmvdrdfA )(物体受外力作用物体受外力作用运动状态变化运动状态变化动能变化动能变化末态动能末态动能初态动能初态动能动能是动能是相对量相对量第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理

24、学四、四、势能势能 在保守力作用下，质点从在保守力作用下，质点从A运运动到动到B，做功与路径无关，只与两，做功与路径无关，只与两点位置有关。点位置有关。引入一个引入一个只与位置有关的函只与位置有关的函数数，其差值为其差值为保守力所做的功。保守力所做的功。ABPBPAABEEA 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学)()(bafrMmGrMmGA00 222121baskxkxA baGmgzmgzA pppbaEEErdFAba 保保保保保守力保守力做正功做正功等于相应势能的等于相应势能的减少减少；保守力保守力做负功做负功等于相应势能的等于相应势能的增加增加。第2章 运动定律

25、与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学注意：注意：1、计算势能必须规定、计算势能必须规定零势能零势能参考点。势能是相对量。参考点。势能是相对量。2、势能函数的形式势能函数的形式与保守力的性质密切相关，一种保与保守力的性质密切相关，一种保守力的函数可引进一种相关的势能函数。守力的函数可引进一种相关的势能函数。3、势能属于以保守力形式相互作用的物体、势能属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有系统所共有。4、一对、一对保守力的功保守力的功等于相关等于相关势能增量的负值势能增量的负值。保守力。保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。

26、增加。第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学对对i质点运用动能定理：质点运用动能定理：212221212121iiiiiijiivmvmrdfrdF 外外2112211211212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外对所有质点求和可得：对所有质点求和可得：注意：注意：不能先求合力，再求合力的功；不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。只能先求每个力的功，再对这些功求和。六、质点系的动能定理与功能原理六、质点系的动能定理与功能原理第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学12KKEEAAA内保内非外211221121

27、1212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。质点系的动能定理质点系的动能定理PPPEEEA )(12内内保保)()(1212PPKKEEEEAA 内内非非外外12EEAA 内内非非外外外力对系统和系统非保守内力做功之和等于外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。系统机械能的增量。0 内内非非外外AA第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学外力对系统和系统非保守内力做功之和等于

28、外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。系统机械能的增量。七、机械能守恒定律七、机械能守恒定律0 内内非非外外若若AA0 内内非非外外若若AA0 内内非非外外若若AA系统的机械能增加系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能减少系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变:时时当当外外0 A0 内内非非若若A系统的机械能增加系统的机械能增加0 内内非非若若A系统的机械能减少系统的机械能减少0 内内非非若若A系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例 一个质量为一个质量为、半径为、半径为的定滑的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细

29、绳，轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一质量为的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体由静止下落高度由静止下落高度时时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvJmgh 取滑轮、物体、地球为系统取滑轮、物体、地球为系统第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学一、角动量一、角动量 力矩力矩OL dvm 质点相对质点相对O点的矢径点的矢径 与质点与质点的动量的动量 的矢积定义为该时的矢积定

30、义为该时刻质点相对于刻质点相对于O点的点的角动量角动量，用用 表示。表示。rvmLvmrL sinrmvL 2.5 2.5 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律1 1、角动量、角动量第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学直角坐标系中角直角坐标系中角动量的分量表示动量的分量表示yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL 2 2、力矩、力矩FrM sinFrM 单位：牛单位：牛米（米（N m）OMrp 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学力矩的分量式力矩的分量式:yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 对轴的力矩对轴的力矩（2）力）力

31、 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线（即共线（即 ）Fr0 sin有心力：有心力：物体所受的力始终指向（或背离）某一物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点固定点力心力心力矩为零的情况力矩为零的情况:（1）力）力 等于零；等于零；F第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学二、质点的角动量定理及其守恒定律二、质点的角动量定理及其守恒定律dtLdM 1221LLdtMtt 外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。0 M 12LL 常矢量 J 1 1、质点角动量定理、质点角动量定理第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物

32、理学三、质点系的角动量定理三、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理、质点系对固定点的角动量定理对由对由n个质点组成的质点系中第个质点组成的质点系中第i个质点，有：个质点，有：)()(11iiinjjiiivmrdtdfFr 外外质点质点i i受力受力对对i求和有：求和有：)(11111iiinininjjiiniivmrdtdfrFr 外外因内力成对出现因内力成对出现故该项为零故该项为零第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学)(11iiiniiniivmrdtdFr 外外得：得：作用于质点系的作用于质点系的外力矩的矢量和外力矩的矢量和等于等于质点质点系角动量的增量系

33、角动量的增量质点系对固定点的质点系对固定点的角角动量定理动量定理第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学一、力对转轴的力矩一、力对转轴的力矩FrMz Z2frPO转动平面转动平面1ff(2)ZfrPdOzM转动平面转动平面(1)方向如图方向如图任意方向的力任意方向的力对转轴的力矩对转轴的力矩 sinrFMz rFMz FFsin2.6 2.6 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学如果有几个外力矩作用在刚体上如果有几个外力矩作用在刚体上 rdFdMrdFdMM积分得积分得 力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作力矩的大小等于力在作用

34、点的切向分量与力的作用点到转轴用点到转轴Z Z的距离的乘积。的距离的乘积。rFMz 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学二、刚体定轴转动的转动定理二、刚体定轴转动的转动定理JdtdJMniiz1刚体定轴转动的转动定理刚体定轴转动的转动定理 刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。成反比。刚体转动定理可由牛顿第二定律直接导出刚体转动定理可由牛顿第二定律直接导出dmddafF 和和 为合外力和合内力为合外力和合内力Fdfd第2章 运动定律与力学中

35、的守恒定律 力学基础大学物理学dmadfdFdmadfdFnnndmrrdfrdF2 将切向分量式两边同将切向分量式两边同乘以乘以r，变换得，变换得 转动平面转动平面ZMdf dFO rdFddm dFn转动定律转动定律 z分解为作用在质量元分解为作用在质量元dm上的上的切向力切向力和和法向力法向力：MrdFrdfrdF对等式左边积分得到外力矩对等式左边积分得到外力矩0rdf其中，其中，第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学角加速度对所有质量元都相等角加速度对所有质量元都相等于是有于是有JdtdJM所以所以Jdmrdmrmm)(22其中其中mdmrJ2写成矢量形式写成矢量形式d

36、tdJJMamF 刚体绕定轴刚体绕定轴Z的的转动惯量转动惯量(moment of inertia)第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学国际单位制中转动惯量的单位为千克国际单位制中转动惯量的单位为千克米米2 2（kgm2）3、转动惯量的计算转动惯量的计算与转动惯量有关的与转动惯量有关的因素因素：刚体的质量、转轴的位置、刚体的形状刚体的质量、转轴的位置、刚体的形状2iirmJ 单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质点系的转动惯量质点系的转动惯量niiirmJ12)(质量连续分布的质量连续分布的刚体的转动惯量刚体的转动惯量dmrJm2第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学

37、物理学dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中、分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布刚体刚体对转轴对转轴的转动惯量等于每个的转动惯量等于每个质元质量质元质量与这一与这一质元质元到转轴的距离到转轴的距离平方的乘积之总和。平方的乘积之总和。面分布面分布第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解:dmrJ2J是可加的，

38、所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。（不计厚度）结果相同。ROdm222mRdmRdmR 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdIJR403212可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRJlR

39、mlrdr 2第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例3、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dxdmrJC2dmrJA23202/mLdxxL 122222/mLdxxLL 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学前例中前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：。可见：22223141121

40、2mLmLmLLmJJCA推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚，刚体对其转动惯量为体对其转动惯量为J，则有：则有：JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。3/2mLJA12/2mLJC平行轴定理平行轴定理第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学 右图所示刚体对经过棒右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？(棒长为棒长为L、球、球半径为半径为R）2131LmJLL252RmJoo2002002)(RLmJdmJJL222)(5231RLmRmLmJooLLmOm

41、?第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学刚体定轴转动的转动定理的应用刚体定轴转动的转动定理的应用例例、一个质量为、一个质量为、半径为的、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为另一端挂一质量为的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体由静止下由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角落高度时的速度和此时滑轮的角速度。速度。mg第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解方程得：mg

42、解：解：RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学转动动能与角动量的关系转动动能与角动量的关系JLEk2 2mpEk2 2 221 mvEk 1 1、转动动能、转动动能221222121)(2121 JrmrmEniiiiniik221 JEk 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时转动动能转动动能等于刚体的等于刚体的转动惯量转动惯量与与角速度角速度平方乘积的一半。平方乘积的一半。三、定轴转动的动能定理三、定轴转动的动能定理第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学2 2、力矩的功、力矩的功ZMdf dFO rdFddm d

43、Fn转动平面转动平面 z dMdrFdsFdAiiiiii 式中式中iiiFF cos iiirFM 对对i求和，得：求和，得：MddMdAi )(dMA 21力矩的功率为：力矩的功率为：MdtdMdtdAP 当输出功率一定时当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。力矩与角速度成反比。第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学3 3、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理ddJdtdddJJdtdJM2121dJdM当当=1时，时，=1 所以：所以：2122212121JJdM合外力矩对定轴转动刚体所做的功合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量等于刚体转动动能的

44、增量刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学例例2、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时角时的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，该质量元的重力对轴该质量元的重力对轴的元力矩为

45、的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldMcoscos 第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2cos331cos212 LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldMcoscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入dJdmgLcos2100cos21dJdmgL221sin21JmgLLgJmgLsin3sin dJMd231mLJ 第2

46、章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学012021 JJLLLddtMLLtt外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。角动量的增量。0 M 12LL 四、刚体组对轴的角动量守恒定律四、刚体组对轴的角动量守恒定律0 JJ外力对某轴的力矩之和为零，则外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒该物体对同一轴的角动量守恒对轴的角动对轴的角动量守恒定律量守恒定律第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：1 1、转动惯量保持不变转动惯量保持不变的刚体的刚体00,0则时，当JJM例：回转仪例：回转仪2 2、转动惯量可变转动惯量可变的物体的物体保持不变就增大，从而减小时，当就减小；增大时，当JJJ例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演员第2章 运动定律与力学中的守恒定律 力学基础大学物理学刚体刚体转动转动定定律的律的另一种形式另一种形式dtdJJM dtLddtJdM)(dtLdM 刚体刚体所受的外力矩等于刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。角动量对时间的变化率。