计量经济学演示教学作者庞皓第二章简单线性回归模型课件

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1、 计量经济学第 二 章简单线性回归模型简单线性回归模型 从从2004中国国际旅游交易会上获悉，到中国国际旅游交易会上获悉，到2020年，中国旅年，中国旅游业总收入将超过游业总收入将超过3000亿美元，相当于国内生产总值的亿美元，相当于国内生产总值的8%至至11%。（资料来源：国际金融报。（资料来源：国际金融报2004年年11月月25日日第二版）第二版）是什么决定性的因素能使中国旅游业总收入到是什么决定性的因素能使中国旅游业总收入到2020年达到年达到3000亿美元？亿美元？旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？怎样具体测定旅游业发展

2、与这种决定性因素的数量关系怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系?引子引子:中国旅游业总收入将超过中国旅游业总收入将超过30003000亿美元吗？亿美元吗？第二章第二章 简单线性回归模型简单线性回归模型 本章主要讨论本章主要讨论:回归分析与回归函数回归分析与回归函数 简单线性回归模型参数的估计简单线性回归模型参数的估计 拟合优度的度量拟合优度的度量 回归系数的区间估计和假设检验回归系数的区间估计和假设检验 回归模型预测回归模型预测第一节 回归分析与回归方程 本节基本内容本节基本内容:回归与相关回归与相关 总体回归函数总体回归函数 随机扰动项随机扰动项 样本回归函数样本回归函数 1.经

3、济变量间的相互关系经济变量间的相互关系 确定性的函数关系确定性的函数关系 不确定性的统计关系不确定性的统计关系相关关系相关关系 (为随机变量为随机变量)没有关系没有关系 一、回归与相关一、回归与相关 （对统计学的回顾）（对统计学的回顾）()Yf X()Yf X2.2.相关关系相关关系 相关关系的描述相关关系的描述 相关关系最直观的描述方式相关关系最直观的描述方式坐标图坐标图（散布图）散布图）YX相关关系的类型相关关系的类型 从涉及的变量数量看从涉及的变量数量看 简单相关简单相关 多重相关（复相关）多重相关（复相关）从变量相关关系的表现形式看从变量相关关系的表现形式看 线性相关线性相关散布图接近

4、一条直线散布图接近一条直线 非线性相关非线性相关散布图接近一条曲线散布图接近一条曲线 从变量相关关系变化的方向看从变量相关关系变化的方向看 正相关正相关变量同方向变化，同增同减变量同方向变化，同增同减 负相关负相关变量反方向变化，一增一减变量反方向变化，一增一减 不相关不相关 3.3.相关程度的度量相关程度的度量相关系数相关系数 总体线性相关系数总体线性相关系数：其中：其中：X 的方差；的方差；Y的方差的方差 X和和Y的协方差的协方差样本线性相关系数样本线性相关系数：其中：其中：和和 分别是变量分别是变量 和和 的样本观测值的样本观测值 和和 分别是变量分别是变量 和和 样本值的平均值样本值的

5、平均值Cov(,)Var()Var()X YXYVar()XVar()YCov(,)X Y_22()()()()iiXYiiXX YYXXYY_YiXiYXXYXY 和和 都是相互对称的随机变量都是相互对称的随机变量 线性线性相关系数只反映变量间的线性相关程度，不相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非能说明非 线性相关关系线性相关关系 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由 于抽样波动，样本相关系数是个随机变量，其统于抽样波动，样本相关系数是个随机变量，其统 计显著性有待检验计显著性有待检验 相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果相关

6、系数只能反映线性相关程度，不能确定因果 关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线 计量经济学关心：计量经济学关心：变量间的因果关系及隐藏在随变量间的因果关系及隐藏在随机性后面的统计规律性，这有赖于回归分析方法机性后面的统计规律性，这有赖于回归分析方法 使用相关系数时应注意使用相关系数时应注意XY4.4.回归分析回归分析回归的回归的古典意义古典意义：高尔顿遗传学的回归概念高尔顿遗传学的回归概念 (父母身高与子女身高的关系父母身高与子女身高的关系)回归的回归的现代意义现代意义：一个应变量对若干解释变量一个应变量对若干解释变量 依存关系依存关系 的研究的研究回归的

7、回归的目的（实质）目的（实质）：由固定的解释变量去由固定的解释变量去 估计应变量的平均值估计应变量的平均值 的的条件分布条件分布 当解释变量当解释变量 取某固定值时（条件），取某固定值时（条件），的值不的值不确定，确定，的不同取值形成一定的分布，即的不同取值形成一定的分布，即 的条的条件分布。件分布。的的条件期望条件期望 对于对于 的每一个取值，的每一个取值，对对 所形成的分布确所形成的分布确 定其期望或均值，称定其期望或均值，称 为为 的条件期望或条的条件期望或条 件均值件均值 注意几个概念注意几个概念iXXYYYYYYYXYXE()iY X iXYX回归线回归线:对于每一个对于每一个 的取

8、值，的取值，都有都有 的条件期望的条件期望 与之对应，与之对应，代表这些代表这些 的条件期的条件期 望的点的轨迹所形成望的点的轨迹所形成 的直线或曲线，称为的直线或曲线，称为 回归线。回归线。回归线与回归函数回归线与回归函数XYYE()iY X 回归函数：回归函数：应变量应变量 的条件期望的条件期望 随解随解释变量释变量 的的变化而有规律的变化，如果把的的变化而有规律的变化，如果把 的条件期望的条件期望 表现为表现为 的某种函数的某种函数 这个函数称为回归函数。这个函数称为回归函数。回归函数分为：回归函数分为：总体回归函数和样本回归函数总体回归函数和样本回归函数举例：假如已知举例：假如已知10

9、0个家庭构成的总体。个家庭构成的总体。回归线与回归函数回归线与回归函数YXXE()()iiYXfXYE()iY XE()iY X每每 月月 家家 庭庭 可可 支支 配配 收收 入入 X X100015002000250030003500400045005000550082096211081329163218422037227524642824888102412011365172618742110238825893038932112112641410178619062225242627903150每每960121013101432183510682319248828563201月月1259134

10、01520188520662321258729003288家家132414001615194321852365265030213399庭庭1448165020372210239827893064消消1489171220782289248728533142费费1538177821792313251329343274支支160018412298239825383110出出17021886231624232567 Y1900238724532610201224982487271025892586900115014001650190021502400265029003150E()iY X例例:100个

11、家庭构成的总体个家庭构成的总体 (单位单位:元元)1.1.总体回归函数的概念总体回归函数的概念 前提：前提：假如已知所研究的经济现象的总体应变假如已知所研究的经济现象的总体应变量量 和解释变量和解释变量 的每个观测值的每个观测值,可以计算出总体可以计算出总体应变量应变量 的条件均值的条件均值 ，并将其表现为解释并将其表现为解释变量变量 的某种函数的某种函数 这个函数称为总体回归函数（这个函数称为总体回归函数（PRF）二、总体回归函数二、总体回归函数（PRFPRF）E()()iiY X=f XYYXXE()iY X iuiXXY)(iXYEiY （1）条件均值条件均值表现形式表现形式 假如假如

12、的条件均值的条件均值 是解是解 释变量释变量 的线性函数，可表示为：的线性函数，可表示为：（2）个别值个别值表现形式表现形式 对于一定的对于一定的 ，的各个别值的各个别值 分布分布 在在 的周围，若令各个的周围，若令各个 与条件与条件 均值均值 的偏差为的偏差为 ,显然显然 是随机变量是随机变量,则有则有 或或 2.2.总体回归函数的表现形式总体回归函数的表现形式iXE()iY X12E()()iiiiY Xf XXiYE()iY XiYE()iY Xiuiu12E()iiiiiiuYY XYX12iiiYXuYYX实际的经济研究中总体回归函数通常是实际的经济研究中总体回归函数通常是未知未知的

13、，的，只能根据经济理论和实践经验去只能根据经济理论和实践经验去设定设定。“计量计量”的目的就是寻求的目的就是寻求PRFPRF。总体回归函数中总体回归函数中 与与 的关系可是的关系可是线性线性的，也可是的，也可是非线性非线性的。的。对线性回归模型的对线性回归模型的“线性线性”有两种解释有两种解释 就变量而言就变量而言是线性的是线性的 的条件均值是的条件均值是 的线性函数的线性函数 就参数而言就参数而言是线性的是线性的 的条件均值是参数的条件均值是参数 的线性函数的线性函数 3.3.如何理解总体回归函数如何理解总体回归函数YXYYX计量经济学中计量经济学中:线性回归模型主要指就参数而言是线性回归模

14、型主要指就参数而言是“线性线性”,因为只要对参数而言是线性的因为只要对参数而言是线性的,都可以用类似的方法都可以用类似的方法估计其参数。估计其参数。12E()iiiY XX212E()iiiY XX12E()iiiY XX“线性线性”的判断的判断三、随机扰动项三、随机扰动项概念概念:各个各个 值与条件均值值与条件均值 的偏差的偏差 代表代表 排除在模型以外的所有排除在模型以外的所有 因素对因素对 的影响。的影响。性质：性质：是期望为是期望为0有一定分布的随机变量有一定分布的随机变量 重要性：重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济方随机扰动项的性质决定着计量经济方法的选择法的选择uiYiuYXi

15、XuE()iY XYiu 未知未知影响因素的代表影响因素的代表 无法取得数据无法取得数据的已知影响因素的代表的已知影响因素的代表 众多细小影响因素众多细小影响因素的综合代表的综合代表 模型的模型的设定误差设定误差 变量的变量的观测误差观测误差 变量内在变量内在随机性随机性引入随机扰动项的原因引入随机扰动项的原因四、样本回归函数四、样本回归函数（SRFSRF）样本回归线样本回归线：对于对于 的一定值，取得的一定值，取得 的样本观测值，可计算其条的样本观测值，可计算其条件均值，样本观测值条件均值的轨迹称为样本回归线。件均值，样本观测值条件均值的轨迹称为样本回归线。样本回归函数：样本回归函数：如果把

16、应变量如果把应变量 的样本条件均值表示为解释变量的样本条件均值表示为解释变量 的某的某种函数，这个函数称为样本回归函数（种函数，这个函数称为样本回归函数（SRF）。）。XYYYXSRF 的特点的特点每次抽样都能获得一个样本，就可以拟合一条每次抽样都能获得一个样本，就可以拟合一条样本回样本回 归线，所以样本回归线随抽样波动而变归线，所以样本回归线随抽样波动而变化，可以有许多条化，可以有许多条（SRF不唯一）。不唯一）。SRF2SRF1YX样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归函数的函数形式一致。函数的函数形式一致。样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知

17、样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知总体回归线的近似表现。总体回归线的近似表现。12iiYX 样本回归函数如果为线性函数，可表示为样本回归函数如果为线性函数，可表示为 其中：其中：是与是与 相对应的相对应的 的样本条件均值的样本条件均值 和和 分别是样本回归函数的参数分别是样本回归函数的参数 应变量应变量 的实际观测值的实际观测值 不完全等于样本条件不完全等于样本条件均值，二者之差用均值，二者之差用 表示表示,称为称为剩余项剩余项或或残差项残差项：或者或者 样本回归函数的表现形式样本回归函数的表现形式21iiiYXeiiieYYieiXiYiY12ieYY 对样本回归的理解对样本回归的理解

18、 如果能够获得如果能够获得 和和 的数值，显然的数值，显然:和和 是对总体回归函数参数是对总体回归函数参数 和和 的估计的估计 是对总体条件期望是对总体条件期望 的估计的估计 在概念上类似总体回归函数中的在概念上类似总体回归函数中的 ，可，可 视为对视为对 的估计。的估计。ieiYiuE()iY X12iiiYXe122112iuiY 样本回归函数与总体回归函数的关系 SRF PRF A iuieiY()iiE Y XiYYiXX1 回归分析的目的回归分析的目的用样本回归函数用样本回归函数SRF去估计总体回归函数去估计总体回归函数PRF。由于样本对总体总是存在代表性误差，由于样本对总体总是存在

19、代表性误差，SRF 总会过总会过 高或过低估计高或过低估计PRF。要解决的问题：要解决的问题：寻求一种规则和方法，使得到的寻求一种规则和方法，使得到的SRF的参数的参数 和和 尽可能尽可能“接近接近”总体回归函数中的参数总体回归函数中的参数 和和 。这样的这样的“规则和方法规则和方法”有多种，最常用的是最小二有多种，最常用的是最小二乘法乘法212 第二节第二节 简单线性回归模型的最小二乘估计简单线性回归模型的最小二乘估计 本节基本内容本节基本内容:简单线性回归的基本假定简单线性回归的基本假定 普通最小二乘法普通最小二乘法 OLSOLS回归线的性质回归线的性质 参数估计式的统计性质参数估计式的统

20、计性质 一、简单线性回归的基本假定一、简单线性回归的基本假定 1.为什么要作基本假定？为什么要作基本假定？模型中有随机扰动，估计的参数是随机变量，模型中有随机扰动，估计的参数是随机变量，只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定 所估计参数的分布性质，也才可能进行假设所估计参数的分布性质，也才可能进行假设 检验和区间估计检验和区间估计 只有具备一定的假定条件，所作出的估计才只有具备一定的假定条件，所作出的估计才 具有较好的统计性质。具有较好的统计性质。（1 1）对模型和变量的假定对模型和变量的假定如如假定解释变量假定解释变量 是非随机的，或者虽然是随机的，但与

21、扰动是非随机的，或者虽然是随机的，但与扰动项项 是不相关的是不相关的假定解释变量假定解释变量 在重复抽样中为固定值在重复抽样中为固定值假定变量和模型无设定误差假定变量和模型无设定误差2、基本假定的内容、基本假定的内容12iiiYXuXuX又称高斯假定、古典假定又称高斯假定、古典假定假定假定1 1：零均值假定零均值假定 在给定在给定 的条件下的条件下，的条件期望为零的条件期望为零假定假定2 2：同方差假定同方差假定 在给定在给定 的条件下，的条件下，的条件方差为某个常数的条件方差为某个常数iuiu（2）对随机扰动项）对随机扰动项 的假定的假定uiuXXE()0iiu X2iu22Var()EE(

22、)iiiiiu Xuu X 假定假定3 3：无自相关假定无自相关假定 随机扰动项随机扰动项 的逐次值互不相关的逐次值互不相关 假定假定4 4：随机扰动随机扰动 与解释变量与解释变量 不相关不相关iuiuX(,)()()ijiijjCov u uE uE uuE u()0()ijE uuij(,)()()0iiiiiiCov u XE uE uXE X 假定假定5 5：对随机扰动项分布的正态性假定对随机扰动项分布的正态性假定 即假定即假定 服从均值为零、方差为服从均值为零、方差为 的正态分布的正态分布 （说明：正态性假定不影响对参数的点估计，但对（说明：正态性假定不影响对参数的点估计，但对确定所

23、估计参数的分布性质是需要的。且根据中心确定所估计参数的分布性质是需要的。且根据中心极限定理，当样本容量趋于无穷大时，极限定理，当样本容量趋于无穷大时，的分布会的分布会趋近于正态分布。所以正态性假定是合理的）趋近于正态分布。所以正态性假定是合理的）iu2(0,)iuNiu2iu的分布性质的分布性质 由于由于 的分布性质决定了的分布性质决定了 的分布性质。的分布性质。对对 的一些假定可以等价地表示为对的一些假定可以等价地表示为对 的假定：的假定：假定假定1：零均值假定：零均值假定 假定假定2：同方差假定：同方差假定 假定假定3：无自相关假定：无自相关假定 假定假定5：正态性假定：正态性假定iYCo

24、v(,)0()ijY YijiiiuXY21iuiuiY12E()iiiY XX2Var()iY X212(,)iiYNXYOLS的基本思想的基本思想二、普通最小二乘法二、普通最小二乘法（rdinaryLeastSquares）12iYiYiYieie2ie2212min()min()iiieYX 正规方程和估计式正规方程和估计式用克莱姆法则求解得观测值形式的用克莱姆法则求解得观测值形式的OLS估计式：估计式：2122()iiiiiiiXYXX YnXX取偏导数为取偏导数为0，得正规方程，得正规方程222()iiiiiinX YXYnXX 12iiYnX212iiiiX YXX 为表达得更简洁

25、，或者用离差形式为表达得更简洁，或者用离差形式OLS估计式估计式：注意注意其中：其中：而且样本回归函数可写为而且样本回归函数可写为22_2)()(iiiiiixyxXXYYXXXY2_1XXxiiYYyii用离差表现的用离差表现的OLSOLS估计式估计式iiixy 三、OLSOLS回归线的性质回归线的性质可以证明可以证明：回归线通过样本均值回归线通过样本均值估计值估计值 的均值等于实的均值等于实 际观测值际观测值 的均值的均值 XYXYiYiY12YXiYYn 剩余项剩余项 的均值为零的均值为零应变量估计值应变量估计值 与剩余项与剩余项 不不相关相关 解释变量解释变量 与剩余项与剩余项 不相关

26、不相关 ie0neeiCov(,)0iiY eiYieieiXCov(,)0iiX e 参数估计式的统计性质参数估计式的统计性质(一一)参数估计式的评价标准参数估计式的评价标准 1.无偏性无偏性前提：前提：重复抽样中估计方法固定、样本数不变、经 重复抽样的观测值，可得一系列参数估计值参数估计值参数估计值 的分布称为的分布称为 的抽样分布，密度函的抽样分布，密度函数记为数记为 如果如果 ，称，称 是参数是参数 的无偏估计式，否的无偏估计式，否则称则称 是有偏的，其偏倚为是有偏的，其偏倚为 （见图（见图1.2）()fE()E()*()f图 1.2*()E()f估计值偏倚偏倚 概 率 密 度前提：前

27、提：样本相同、用不同的方法估计参数，样本相同、用不同的方法估计参数，可以找到若干个不同的估计式可以找到若干个不同的估计式 目标：目标：努力寻求其抽样分布具有最小方差的努力寻求其抽样分布具有最小方差的 估计式估计式 最小方差准则，或称最佳最小方差准则，或称最佳 性准则性准则（见图（见图1.31.3）既是无偏的同时又具有最小方差的估计式，称为既是无偏的同时又具有最小方差的估计式，称为 最佳无偏估计式。最佳无偏估计式。2.最小方差性最小方差性 概 率 密 度 图 1.3*()f()f估计值 4.4.渐近性质渐近性质（大样本性质）（大样本性质）nP)lim(思想思想:当样本容量较小时，有时很难找到最佳

28、无偏估计，需要考当样本容量较小时，有时很难找到最佳无偏估计，需要考虑样本扩大后的性质虑样本扩大后的性质一致性：一致性：当样本容量当样本容量 n 趋于无穷大时，如果估计式趋于无穷大时，如果估计式 依概率收敛于总体依概率收敛于总体参数的真实值，就称这个估计式参数的真实值，就称这个估计式 是是 的一致估计式。即的一致估计式。即 或或 渐近有效性：渐近有效性：当样本容量当样本容量 n 趋于无穷大时，在所有的一致估趋于无穷大时，在所有的一致估计式中，具有最小的渐近方差。计式中，具有最小的渐近方差。(见图1.4)1)(limP 概 率 密 度 估计值 图 1.4100()f80()f40()f20()f（

29、二）（二）OLS估计式的统计性质估计式的统计性质 由由OLS估计式可以看出估计式可以看出 由可观测的样本值由可观测的样本值 和和 唯一表示。唯一表示。因存在抽样波动，因存在抽样波动，OLS估计估计 是随机变量是随机变量 OLS估计式是点估计式估计式是点估计式 iYiX2122()iiiiiiiXYXX YnXX222()iiiiiinX YXYnXXkk1.线性特征线性特征 是是 的线性函数的线性函数 2.无偏特性无偏特性 （证明见教材P37）3.最小方差特性最小方差特性 （证明见教材P68附录21）在所有的线性无偏估计中，在所有的线性无偏估计中，OLS估计估计 具有最小方差具有最小方差结论：

30、在古典假定条件下结论：在古典假定条件下,OLS,OLS估计式是最佳线性无估计式是最佳线性无 偏估计式（偏估计式（BLUEBLUE）kOLSOLS估计式的统计性质估计式的统计性质高斯定理高斯定理kkE)(iiiiiiiiykxyxXXYYXX222)()(2iiixkxkY第三节第三节 拟合优度的度量拟合优度的度量本节基本内容本节基本内容:什么是拟合优度什么是拟合优度 总变差的分解总变差的分解 可决系数可决系数 一、一、什么是拟合优度?概念概念：样本回归线是对样本数据样本回归线是对样本数据的一种拟合，不同估计方的一种拟合，不同估计方法可拟合出不同的回归线，法可拟合出不同的回归线，拟合的回归线与样

31、本观测拟合的回归线与样本观测值总有偏离。值总有偏离。样本回归线对样本观测数据拟合的优劣程度样本回归线对样本观测数据拟合的优劣程度 拟合优度拟合优度拟合优度的度量建立在对总变差分解的基础上拟合优度的度量建立在对总变差分解的基础上XY二、总变差的分解二、总变差的分解 分析分析Y Y 的观测值、估计值与平均值的关系的观测值、估计值与平均值的关系将上式两边平方加总，可证得将上式两边平方加总，可证得 （TSSTSS）（ESSESS）（RSSRSS）)()(iiiiYYYYYY222)()()(iiiiYYYYYY 总变差总变差 （TSSTSS）：应变量）：应变量Y Y的观测值与其平均的观测值与其平均值的

32、离差平方和（总平方和）值的离差平方和（总平方和）解释了的变差解释了的变差 （ESSESS）：应变量）：应变量Y Y的估计值与的估计值与其平均值的离差平方和（回归平方和）其平均值的离差平方和（回归平方和）剩余平方和剩余平方和 （RSSRSS）：应变量观测值与估计）：应变量观测值与估计值之差的平方和（未解释的平方和）值之差的平方和（未解释的平方和）2iy2iy2ieiY 总变差i(Y-Y)SRFi(Y-Y)来自回归ie来自残差iXY变差分解的图示变差分解的图示YX 三、可决系数三、可决系数 以TSS同除总变差等式两边：或 定义：定义：回归平方和（解释了的变差回归平方和（解释了的变差ESS）在总变在

33、总变 差（差（TSS）中所占的比重称为可决系数，用中所占的比重称为可决系数，用 表表示示:或 222iyyrTSSRSSTSSESSTSSTSS2iy2r2iy2221iiyer22221iiiyeyy作用：作用：可决系数越大，说明在总变差中由模型作出可决系数越大，说明在总变差中由模型作出了解释的部分占的比重越大，模型拟合优度越好。了解释的部分占的比重越大，模型拟合优度越好。反之可决系数小，说明模型对样本观测值的拟合反之可决系数小，说明模型对样本观测值的拟合程度越差。程度越差。特点：特点：可决系数取值范围：可决系数取值范围：随抽样波动，样本可决系数随抽样波动，样本可决系数 是随抽样是随抽样 而

34、变动的随机变量而变动的随机变量 可决系数是非负的统计可决系数是非负的统计可决系数的作用和特点可决系数的作用和特点102 r2r可决系数与相关系数的关系可决系数与相关系数的关系（1）联系）联系 数值上，可决系数等于应变量与解释变量之间数值上，可决系数等于应变量与解释变量之间简单相关系数的平方简单相关系数的平方:222222222222222()()()()iiiiiiiiiiiiiyxx yxRyyxyx yrxy可决系数与相关系数的关系可决系数与相关系数的关系可决系数可决系数相关系数相关系数就模型而言就模型而言就两个变量而言就两个变量而言说明解释变量对应变量说明解释变量对应变量的解释程度的解释

35、程度度量两个变量线性依存度量两个变量线性依存程度。程度。度量不对称的因果关系度量不对称的因果关系度量不含因果关系的对度量不含因果关系的对称相关关系称相关关系取值：取值：0,1取值：取值：1,1（2）区别）区别运用可决系数时应注意运用可决系数时应注意 可决系数只是说明列入模型的所有解释变量对可决系数只是说明列入模型的所有解释变量对 因变量的联合的影响程度，不说明模型中每个因变量的联合的影响程度，不说明模型中每个 解释变量的影响程度（在多元中）解释变量的影响程度（在多元中）回归的主要目的如果是经济结构分析，不能只回归的主要目的如果是经济结构分析，不能只 追求高的可决系数，而是要得到总体回归系数追求

36、高的可决系数，而是要得到总体回归系数 可信的估计量，可决系数高并不表示每个回归可信的估计量，可决系数高并不表示每个回归 系数都可信任系数都可信任 如果建模的目的只是为了预测因变量值，不是如果建模的目的只是为了预测因变量值，不是 为了正确估计回归系数，一般可考虑有较高的为了正确估计回归系数，一般可考虑有较高的 可决系数可决系数 第四节第四节 回归系数的区间估计和假设检验回归系数的区间估计和假设检验 本节基本内容：本节基本内容：OLSOLS估计的分布性质估计的分布性质 回归系数的区间估计回归系数的区间估计 回归系数的假设检验回归系数的假设检验问题的提出问题的提出 为什么要作区间估计？为什么要作区间

37、估计？OLSOLS估计只是通过样本得到的点估计，不一定等于估计只是通过样本得到的点估计，不一定等于真实参数，还需要找到真实参数的可能范围，并真实参数，还需要找到真实参数的可能范围，并说明其可靠性说明其可靠性为什么要作假设检验？为什么要作假设检验？OLS 估计只是用样本估计的结果，是否可靠？估计只是用样本估计的结果，是否可靠？是否抽样的偶然结果？还有待统计检验。是否抽样的偶然结果？还有待统计检验。区间估计和假设检验都是建立在确定参数估计值区间估计和假设检验都是建立在确定参数估计值概率分布性质的基础上。概率分布性质的基础上。一、一、OLSOLS估计的分布性质估计的分布性质 基本思想基本思想 是随机

38、变量，必须确定其分布性质才可能是随机变量，必须确定其分布性质才可能进行区间估计和假设检验进行区间估计和假设检验 是服从正态分布的随机变量是服从正态分布的随机变量,决定了决定了 也也是服从正态分布的随机变量，是服从正态分布的随机变量，是是 的线性的线性函数，决定了函数，决定了 也是服从正态分布的随机变量，也是服从正态分布的随机变量，只要确定只要确定 的期望和方差，即可确定的期望和方差，即可确定 的分布性质的分布性质 iYkkkiukkiYiY 的期望：的期望：(无偏估计）无偏估计）的方差和标准误差的方差和标准误差 (标准误差是方差的算术平方根标准误差是方差的算术平方根)注意：注意：以上各式中以上

39、各式中 未知，其余均是样本观测值未知，其余均是样本观测值 的期望和方差的期望和方差2212Var()iiXNx2E()kk222Var()ix22SE()ix212SE()iiXNx 可以证明（见教材可以证明（见教材P70附录附录2.2)的无偏估计为的无偏估计为 (n-2为自由度为自由度,即可自由变化的样本观测值个数即可自由变化的样本观测值个数)2对随机扰动项方差对随机扰动项方差 的估计的估计2222ien在在 已知时已知时将将 作标准化变换作标准化变换2)1,0()(22111111NxnXSEzii)1,0()(2222222NxSEzi （1）当样本为大样本时，用估计的参数标准误差对）当

40、样本为大样本时，用估计的参数标准误差对 作标准化变换，所得作标准化变换，所得Z 统计量仍可视为标准正统计量仍可视为标准正 态变量（根据中心极限定理）态变量（根据中心极限定理）（2）当样本为小样本时，可用）当样本为小样本时，可用 代替代替 ，去估去估 计参数的标准误差，用估计的参数标准误差对计参数的标准误差，用估计的参数标准误差对 作标准化变换，所得的作标准化变换，所得的 t 统计量不再服从正态分布统计量不再服从正态分布（这时分母也是随机变量），而是服从（这时分母也是随机变量），而是服从 t 分布：分布：2(2)()kkktt nSE22当当 未知时未知时 二、回归系数的区间估计二、回归系数的区

41、间估计概念：概念：对参数作出的点估计是随机变量，虽然是无偏估对参数作出的点估计是随机变量，虽然是无偏估计，但还不能说明估计的可靠性和精确性，需要找计，但还不能说明估计的可靠性和精确性，需要找到包含真实参数的一个范围，并确定这个范围包含到包含真实参数的一个范围，并确定这个范围包含参数真实值的可靠程度。参数真实值的可靠程度。在确定参数估计式概率分布性质的基础上，可找到在确定参数估计式概率分布性质的基础上，可找到两个正数两个正数和和（），使得区间），使得区间 包含真实包含真实 的概率为的概率为 ，即，即 这样的区间称为所估计参数的置信区间。这样的区间称为所估计参数的置信区间。k1),(kk1)(kk

42、kP01 一般情况下一般情况下,总体方差总体方差 未知，用无偏估计未知，用无偏估计 去代替去代替，由于样本容量较小，统计量，由于样本容量较小，统计量 t 不再服不再服从正态分布，而服从从正态分布，而服从 t 分布。可用分布。可用 t 分布去建立分布去建立参数估计的置信区间。参数估计的置信区间。回归系数区间估计的方法回归系数区间估计的方法22*222(2)()tt nSE 选定选定，查，查 t 分布表得显著性水平为分布表得显著性水平为 ，自，自 由度为由度为 的临界值的临界值，则有，则有即 22n1)(22222tSEtP1)()(2222222SEtSEtP三、回归系数的假设检验1.1.假设检

43、验的基本思想假设检验的基本思想为什么要作假设检验？为什么要作假设检验？所估计的回归系数所估计的回归系数 、和方差和方差 都是通过都是通过 样本估计的，都是随抽样而变动的随机变量，样本估计的，都是随抽样而变动的随机变量，它们是否可靠？是否抽样的偶然结果呢？还需它们是否可靠？是否抽样的偶然结果呢？还需 要加以检验。要加以检验。212 对回归系数假设检验的方式对回归系数假设检验的方式计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。零来进行显著性检验的。目的：目的：对简单线性回归，判断解释变量对简单线性回归，判断解释变量 是否是被是否是被解

44、释变量解释变量 的显著影响因素。在一元线性模型中，的显著影响因素。在一元线性模型中，就是要判断就是要判断 是否对是否对 具有显著的线性影响。这具有显著的线性影响。这就需要进行变量的显著性检验。就需要进行变量的显著性检验。XYXY一般情况下，总体方差一般情况下，总体方差 未知，只能用未知，只能用 去去代替，可利用代替，可利用 t 分布作分布作 t 检验检验给定给定 ,查查t分布表得分布表得如果如果 或者或者 则拒绝原假则拒绝原假设设 ,而接受备择假设而接受备择假设如果如果 则接受原假设则接受原假设*2(2)ttn*2(2)ttn*2 2-t(n-2)t t(n-2)2t(n-2)22*22222

45、(2)()()tt nSESE02H:012H:002H:02.回归系数的检验方法回归系数的检验方法 P用用 P P 值判断参数的显著性值判断参数的显著性假设检验的假设检验的 p p 值：值：p 值是基于值是基于既定的样本数据既定的样本数据所计算的统计量，是拒绝所计算的统计量，是拒绝原假设的最低显著性水平。原假设的最低显著性水平。统计分析软件中通常都给出了检验的统计分析软件中通常都给出了检验的 p p 值值统计量 t由样本计算的统计量为:相对于显著性水平 的临界值:或t2t2t2t*t*t*t注意：注意：t检验是比较检验是比较 和和P值检验是比较值检验是比较 和和 p*t2t 与 相对应 与

46、P 相对应*t2t 用用 P 值判断参数的显著性值判断参数的显著性假设检验的假设检验的 p p 值：值：p p 值是根据既定的样本数据所计算的统计量，值是根据既定的样本数据所计算的统计量，拒绝原假设的最小显著性水平。拒绝原假设的最小显著性水平。统计分析软件中通常都给出了检验的统计分析软件中通常都给出了检验的 p p 值。值。方法：方法：将给定的显著性水平将给定的显著性水平 与与 值比较：值比较：若若 值，则在显著性水平值，则在显著性水平 下拒绝原假设下拒绝原假设 ，即认为，即认为 对对 有显著影响有显著影响 若若 值，则在显著性水平值，则在显著性水平 下接受原假设下接受原假设 ，即认为，即认为

47、 对对 没有显著影响没有显著影响规则：规则：当当 时，时，值越小，越能拒绝原值越小，越能拒绝原 假设假设0Hp p0Hk:=0用用 P 值判断参数的显著性的方法值判断参数的显著性的方法0Hk:=0ppXXYY 本节主要内容：本节主要内容：回归分析结果的报告回归分析结果的报告 被解释变量平均值预测被解释变量平均值预测 被解释变量个别值预测被解释变量个别值预测第五节第五节 回归模型预测回归模型预测一、回归分析结果的报告一、回归分析结果的报告经过模型的估计、检验，得到一系列重要的数经过模型的估计、检验，得到一系列重要的数据，为了简明、清晰、规范地表述这些数据，计据，为了简明、清晰、规范地表述这些数据

48、，计量经济学通常采用了以下规范化的方式：量经济学通常采用了以下规范化的方式：例如：回归结果为例如：回归结果为 (24.5902)352.000.5300iiYX(76.5826)(0.0216)(4.5963)t 20.98698rdf标准误差标准误差SEt 统计量统计量可决系数和自由度可决系数和自由度 二、被解释变量平均值预测二、被解释变量平均值预测1.1.基本思想基本思想运用计量经济模型作预测：运用计量经济模型作预测：指利用所估计的样本回归函数，用解释变量的已知值或预测值，对预测期预测期或样本以外或样本以外的被解释变量数值作出定量的估计。计量经济预测是一种条件预测条件预测：条件：条件：模型

49、设定的关系设定的关系式不变不变 所估计的参数不变参数不变 解释变量解释变量在预测期的取值已作出预测取值已作出预测对应变量的预测分为平均值预测和个别值预测对应变量的预测分为平均值预测和个别值预测对应变量的预测又分为点预测和区间预测对应变量的预测又分为点预测和区间预测预测值、平均值、个别值的相互关系预测值、平均值、个别值的相互关系 是真实平均值的点估计是真实平均值的点估计,也是对个别值的点估计也是对个别值的点估计个别值真实平均值点预测值SRFFFE(YX)FuFYFYFeFXXFYPRFY2.2.Y Y 平均值的点预测平均值的点预测 将解释变量预测值直接代入估计的方程将解释变量预测值直接代入估计的

50、方程这样计算的这样计算的 是一个点估计值是一个点估计值 12FFYXFY 3.Y Y 平均值的区间预测平均值的区间预测基本思想：基本思想：u由于存在抽样波动，预测的平均值由于存在抽样波动，预测的平均值 不一定等于不一定等于真实平均值真实平均值 ，还需要对，还需要对 作区作区间估计。间估计。u为对为对Y 作区间预测，必须确定平均值预测值的抽作区间预测，必须确定平均值预测值的抽 样分布，样分布，必须找出与必须找出与 和和 都有关的都有关的统计量统计量E()FFY XE()FFY XFYE()FFY XFY222()1()FFiXXVar Ynx 具体作法具体作法 （从 的分布分析）已知 可以证明

51、服从正态分布，将其标准化,12()()FFFFE YE YXX22()1()FFiXXSE Ynx当未知未知时，只得用代替，这时有2)2(22neiFYFY22()(2)()1FFFFiYE YXtt nXXnx显然这样的显然这样的 t 统计量与统计量与 和和 都有关。都有关。给定显著性水平给定显著性水平，查，查t分布表，得自由度分布表，得自由度n2的临的临界值界值 则有则有Y平均值的置信度为平均值的置信度为 的预测区间为的预测区间为)2(2nt1)()()(22FFFFFFYSEtYXYEYSEtYp)(1,)(1222222iFFiFFxXXntYxXXntY1构建平均值的预测区间构建平均

52、值的预测区间FY)(FFXYE1)()(22tYSEXYEYttPFFFF三、应变量个别值预测三、应变量个别值预测基本思想：基本思想：既是对既是对 平均值的点预测，也是对平均值的点预测，也是对 个别值个别值的点预测的点预测由于存在随机扰动由于存在随机扰动 的影响，的影响，的平均值并不的平均值并不等于等于 的个别值的个别值为了对为了对 的个别值的个别值 作区间预测，需要寻找与作区间预测，需要寻找与预测值预测值 和个别值和个别值 有关的统计量，并要明有关的统计量，并要明确其概率分布确其概率分布FYiuFYFYFYFYYYYYY 具体作法：具体作法：已知剩余项已知剩余项 是与预测值是与预测值 及个别

53、值及个别值 都有关的变量都有关的变量,并且已知并且已知 服从正态分布，且可证服从正态分布，且可证明明 当用当用 代替代替 时，对时，对 标准化的变量标准化的变量 t 为为)2()(11()(22ntxXXnYYeSEeEetiFFFFFF）FFFYYeFYFYFe0)(FeE2Fe22221()()()1FFFFiXXVar eE YYnx)2(22nei构建个别值的预测区间构建个别值的预测区间给定显著性水平给定显著性水平 ，查，查 t 分布表得自由度为分布表得自由度为的临界值的临界值 ，则有，则有 因此，一元回归时因此，一元回归时 的个别值的置信度为的个别值的置信度为 的的预测区间上下限为预

54、测区间上下限为 222()1 1FFFiXXYYtnx)2(2nt22()()1FFFFFP YtSE eYYtSE e 2n1Y 应变量应变量Y 区间预测的特点区间预测的特点1、平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是 受抽样波动影响受抽样波动影响 个别值的预测值与真实个别值的差异个别值的预测值与真实个别值的差异,不仅受抽不仅受抽 样波动影响，而且还受随机扰动项的影响样波动影响，而且还受随机扰动项的影响YY222)(1iFFFxXXntYY222()1 1FFFiXXYYtnx2、平均值和个别值预测区间都不是常数，是随平均值和个别值预测区间都不是常数，

55、是随 的变化而变化的的变化而变化的3、预测区间上下限与样本容量有关，当样本容、预测区间上下限与样本容量有关，当样本容 量量 时个别值的预测误差只决定于随机时个别值的预测误差只决定于随机 扰动的方差扰动的方差FXn SRF各种预测值的关系各种预测值的关系Y的个别值的置信区间FXY均值的置信区间X时，置信区间最小当XXFXY第六节第六节 案例分析案例分析提出问题：提出问题：改革开放以来随着中国经济的快速发展，改革开放以来随着中国经济的快速发展，居民的消费水平也不断增长。但全国各地区经济发展居民的消费水平也不断增长。但全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。为了分析什速度不同，居民消费

56、水平也有明显差异。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。立相应的计量经济模型去研究。研究范围：研究范围：全国各省市全国各省市2002年城市居民家庭平均年城市居民家庭平均每人每年消费截面数据模型。每人每年消费截面数据模型。理论分析：理论分析：影响各地区城市居民人均消费支出的因影响各地区城市居民人均消费支出的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入。从理

57、论上说可支配收入越高，居素应是居民收入。从理论上说可支配收入越高，居民消费越多，但边际消费倾向大于民消费越多，但边际消费倾向大于0，小于，小于1。建立模型：建立模型：其中：其中：Y城市居民家庭平均每人每年消费支出城市居民家庭平均每人每年消费支出(元元)X城市居民人均年可支配收入城市居民人均年可支配收入(元元)i12iY=+X+u数据：数据：从从2002年年中国统计年鉴中国统计年鉴中得到中得到地地 区区城市居民家庭平均每人每年消费支出城市居民家庭平均每人每年消费支出(元元)Y城市居民人均年可支配收入城市居民人均年可支配收入(元元)X北京北京天津天津河北河北山西山西内蒙古内蒙古辽宁辽宁吉林吉林黑龙

58、江黑龙江上海上海江苏江苏浙江浙江安徽安徽福建福建江西江西山东山东河南河南湖北湖北10284.607191.965069.284710.964859.885342.644973.884462.0810464.006042.608713.084736.526631.684549.325596.324504.685608.9212463.929337.566679.685234.356051.066524.526260.166100.5613249.808177.6411715.606032.409189.366334.647614.366245.406788.52（接上页数据表）（接上页数据表）地

59、地 区区城市居民家庭平均每人城市居民家庭平均每人每年消费支出每年消费支出(元元)Y城市居民人均年可支配城市居民人均年可支配收入收入(元元)X湖南湖南广东广东广西广西海南海南重庆重庆四川四川贵州贵州云南云南西藏西藏陕西陕西甘肃甘肃青海青海宁夏宁夏新疆新疆5574.728988.485413.445459.646360.245413.084598.285827.926952.445278.045064.245042.526104.925636.406958.5611137.207315.326822.727238.046610.805944.087240.568079.126330.846151.

60、446170.526067.446899.64估计参数估计参数具体操作：使用具体操作：使用EViews 软件包。估计结果：软件包。估计结果：假定模型中随机扰动满足基本假定，可用假定模型中随机扰动满足基本假定，可用OLS法。法。表示为表示为282.24340.758511iiYX(287.2649)(0.036928)(0.982520)t(20.54026)20.935685421.902329rFdf 1.可决系数：可决系数：模型整体上拟合好。模型整体上拟合好。2.系数显著性检验：系数显著性检验：给定给定 ，查，查 t 分布表，分布表，在自由度为在自由度为n-2=29时临界值为时临界值为 因

61、为因为 t=20.44023 说明说明“城镇人均可支配收入城镇人均可支配收入”对对“城镇人均消费支出城镇人均消费支出”有有显著显著 影响。影响。3.用用P值检验值检验 p=0.0000模型检验模型检验0.05=0.025(29)=2.045t=0.9356852r0.025(29)2.045t0.05=4.4.经济意义检验：经济意义检验：估计的解释变量的系数为估计的解释变量的系数为0758511，说明城镇，说明城镇居民人均可支配收入每增加居民人均可支配收入每增加1元，人均年消费元，人均年消费支出平均将增加支出平均将增加0758511元。这符合经济理论元。这符合经济理论对边际消费倾向的界定。对边

62、际消费倾向的界定。点预测：点预测：西部地区的城市居民人均年可支配收入第一步争西部地区的城市居民人均年可支配收入第一步争取达到取达到1000美元美元(按现有汇率即人民币按现有汇率即人民币8270元元)，代入估计的模型得代入估计的模型得第二步再争取达到第二步再争取达到1500美元美元(即人民币即人民币12405元元)，利用所估计的模型可预测这时城市居民可，利用所估计的模型可预测这时城市居民可能达到的人均年消费支出水平能达到的人均年消费支出水平f1282.24340.758511 82706555.132Y f2282.24340.758511 124059691.577Y 经济预测经济预测2FFF

63、 22i(X-X)1Y=Yt+nx平均值区间预测上下限平均值区间预测上下限：区间预测区间预测8270f1X时1569985.746555.13 2.045 413.159331 125176492.59f1Y6555.13 162.10212405时fX2123911845.729691.58 2.045 413.159331 125176492.59fY9691.58499.258270时,f1X 即是说即是说：平均值置信度平均值置信度95%的预测区间为（的预测区间为（6393.03，6717.23）元）元。12405时,f2X平均值置信度平均值置信度95%的预测区间为（的预测区间为（929

64、2.33，10090.83）元）元。个别值区间预测（略）个别值区间预测（略）第二章第二章 小小 结结1、变量间的关系：、变量间的关系：函数关系函数关系相关关系相关关系 相关系数相关系数对变量间线性相关程度的度量对变量间线性相关程度的度量2、现代意义的回归：、现代意义的回归：一个被解释变量对若干个一个被解释变量对若干个 解释变量依存关系的研究解释变量依存关系的研究 实质：实质：由固定的解释变量去估计被解释变量的由固定的解释变量去估计被解释变量的平均值平均值3、总体回归函数（、总体回归函数（PRF）：）：将总体被解释变量将总体被解释变量Y的条件均值表现为解释变量的条件均值表现为解释变量X 的某种函

65、数的某种函数 样本回归函数（样本回归函数（SRF）：）：将被解释变量将被解释变量Y 的样的样本条件均值表示为解释变量本条件均值表示为解释变量X 的某种函数。的某种函数。总体回归函数与样本回归函数的区别与联系总体回归函数与样本回归函数的区别与联系4、随机扰动项：、随机扰动项：被解释变量实际值与条件均值的被解释变量实际值与条件均值的偏差，代表排除在模型以外的所有因素对偏差，代表排除在模型以外的所有因素对Y的影的影响。响。5、简单线性回归的基本假定：、简单线性回归的基本假定：对模型和变量的假定对模型和变量的假定 对随机扰动项对随机扰动项u的假定的假定 零均值假定零均值假定:同方差假定同方差假定:无自

66、相关假定无自相关假定:随机扰动与解释变量不相关假定随机扰动与解释变量不相关假定:正态性假定正态性假定:),0(2Nui0)(iuE2)()(iiYVaruVar0)(),(jijiuuEuuCov0),(iiXuCoviiXYE21)(6、普通最小二乘法（、普通最小二乘法（OLS）估计参数的基本思估计参数的基本思想及估计式；想及估计式；2122()iiiiiiiXYXX YNXX222()iiiiiiNX YXYNXX2iiixyx12YX期望期望：方差：方差：标准差：标准差：OLS估计式是最佳线性无偏估计式。估计式是最佳线性无偏估计式。OLS 估计式的分布性质估计式的分布性质2212()iiXVarNx()kkE222()iVarx22()iSEx212()iiXSENx7 7、的无偏估计的无偏估计8 8、对回归系数区间估计的思想和方法、对回归系数区间估计的思想和方法2222nei2222222()()1PtSEtSE 9、拟合优度：、拟合优度：样本回归线对样本观测数据拟合样本回归线对样本观测数据拟合的优劣程度，的优劣程度，可决系数：可决系数：在总变差分解基础上确定的，模在总变差分解