回顾与思考 (2)

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1、第四章 因式分解回顾与思考 1、举例说明什么是分解因式。2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、试着画出本章的知识结构图。知识回顾把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。分解因式方法提公因式法运用公式法整式乘法互为逆运算如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。平方差公式完全平方公式)(22bababa222)(2bababa知识点一：对分解因式概念的理解例

2、1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（）。A.B.C.D.)11(1)()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyyBA选项没有化成几个整式的积的形式;B选项运用完全平方公式;C选项属于整式乘法;D选项没有化成几个整式的积的形式.总结归纳知识点二：利用提公因式法分解因式例例2.把下列各式分解因式把下列各式分解因式 解：原式解：原式 解：原式解：原式mnmnnm189272223)1(2)1(4bbb)23(9nmmn：原式解)122()1(21)1(2)1(2)1(2)1(422223bbbbbbbbb公因式既可以是单项式，也可以是多项式，需要整体把握。例例3.把

3、下列各式分解因式把下列各式分解因式 解：原式解：原式 解：原式解：原式 解：原式解：原式 解：原式解：原式22)()(nmnm知识点三：利用公式法分解因式4932 xx25)(10)(2yxyxabba8)2(2mnnmnmnmnmnm422)()()()(2)23(x2)5(yx22222)2(44844bababaabbaba可以先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。小试牛刀小试牛刀22216)4(aa44222yxyx2222)2()2()44)(44(aaaaaa 练一练：把下列各式分解因式练一练：把下列各式分解因式 解：原式解：原式 解：原式解：原式222222244)()

4、()()2(yxyxyxyxyx连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。知识点四：综合运用多种方法分解因式xx43)1()1(2)1(2222yyxyx)1(4)(2babaxzzyx449222)2)(2()4(2xxxxx222)1)(1)(1()12)(1(xyyxxy22)2(4)(4)(bababa)32)(32()3()2(9)44(22222yzxyzxyzxyxzzx 例例4.把下列各式分解因式把下列各式分解因式 解：原式解：原式 解：原式解：原式 解：原式解：原式 解：原式解：原式先观察是否

5、有公因式，若有公因式提出后看是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。知识点五：运用分解因式进行计算和求值222)119899(1001)199(100)199299(1002222220021998199923995439994)20001999)(20001999(420001999)22000)(22000(1999222100101)2()2(1001002)12()2(例例5.利用分解因式计算利用分解因式计算 解：原式解：原式 解：原式解：原式 解：原式解：原式 例例6.6.已知已知 ，求，求 的值。的值。解：解：

6、0232 xxxxx46223002)23(22xxxx1 yx222121yxyx21121)(21)2(212222yxyxyxxxx46223 例例7.7.已知已知 ，求，求 的值。的值。解：解：222121yxyx0232 xxxxx46223 例例8.8.计算下列各式：计算下列各式：你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：请你利用你找到的简便方法计算下式：._)411)(311)(211)(3(_;)311)(211)(2(_;211)1(222222).11).(1011)(911).(411)(

7、311)(211(222222n433285nn21知识点六：分解因式的实际应用例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小圆（1）用代数式表示剩余部分的面积；（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积(2)当R=7.5，r=1.25时，S=R2 4r2 =(R+2r)(R 2r)=(7.5+21.25)(7.5 21.25)=105=50解：(1)S=R2 4r2 能力提升1.正方形正方形的周长比正方形的周长比正方形的周长长的周长长96cm，它们的面积，它们的面积相差相差960cm2.求这两个正方形的边长。求这两个正方形的边长。9609644

8、22yxyx 活学活用解：设正方形正方形的边长为的边长为x cm,x cm,正方形正方形的边长为的边长为y cm;y cm;列方程得：列方程得：化简得：化简得：整理得：整理得：解得：解得：960)(24yxyxyx4024yxyx832yx答：两个正方形的边长分别为答：两个正方形的边长分别为32cm,8cm.2.当当x取何值时，取何值时，x2+2x+1取得最小值？取得最小值？3.当当k取何值时，取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方式？是一个完全平方式？2.解：解：x2+2x+1=(x+1)2 当当x=-1时，时，x2+2x+1取得最小值取得最小值0。3.解：解：100 x2-

9、kxy+49y2 =(10 x)2-kxy+(7y)2 所以所以k=2107=140例10.利用分解因式说明：能被120整除。127525 提示：底数不同，且指数不全为偶数，若考虑使用平方差公式则需要 转化底数。11666767127251204565)55)(55(55127525 解：永攀高峰：可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。124812486365)12)(12()12)(12)(12)(12()12)(12)(12()12)(12(12246612241212242424答：这两个数分别为65和63。解：反复利用平方差公式进行分解因式，分解过程中需注意题目中的条件要求，分解因式“适可而止”。作业 完成书上习题