◇广义线性模型散度参数的相等性检验

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1、第 4期 1 9 9 9年 l 2月 华东师范大学学报(自然科学版)N o 4 J o u r n a l D f E a s t C h i n a 璺 竖 !2 ：广义线性模型散度参数 的相等性检验 一l 陈颖 (华东 师范 大学 统计 周纪芗 系上 海2 0 0 0 6 2)f 2 提要广 义线 性 模 型 的应用 已越来越 广，但在 实 际应 用 中经 常 碰到这 样 问 题：何 时应 该拟 台 均值 和离 差的联 台模 型?何对 只需拟 合单 一 的均 值模 型?对 此，可用 散度 参数的 相等 性检 验 来 作 为判断的 依 据。在坎 文中，作者 给出 了几个 有关散 度参数 相等

2、性 检验 的统计 量 以及 柑应 的分 布。最后 还 给出 了一个 检验 的具体 倒子。关 键词广 义线 性模 型 均值 和离 差的 联舍 模型 散 度 参数 帔设 检 验 田 口方 法 中 国 分 类 号O 2 12 6 相 桎 1 引 言 广义线性模型(GL M)是经典线性模型 的 自然推广，它在许多领域均有广 泛的应用 其 一般形式 可表示为 g()=z (1)Yi)：i ,22，,-，,；其 中：1 Y(i=1，2，)为相互独立的服扶单 参数指数族 分布的随机变量。2 是 y 的均值，(H)是 的方差(i=1 2，n)3 x=(z )是已知的设计矩 阵，口=(口 一，)是待估参数。4

3、g()是一严格单调的可微函数，称为联系函数(L i n k f u n c t i o n)。5 v(-)是一非负函数，称之为方差函数(V a r i a n c e u n c t io n)。6 p称 为散 度参数 由于 GLM 包含 许多 有实用价值的模型 以及它所具 有的众多优 良性质，使 得 GLM 的应 用越来越广，成为解决实际问题的有效方法。1 9 8 3 年 Mc C u l l a g h 和 N e l d e r 出版了专著 1 一书，系统阐述了GL M 的理论和方法。1 9 8 9年又出版了(广义线性模型 第二 版。其 中第 十 章 提 出 了均 值 和 离 差 的 联

4、 合 模 型(J o i n t Mo d e l l i n g o f t h e Me a n a n d Di s p e r s i o n)，其形式为 g()：本文 于 1 9 9 7年 l 0月 收到。第一 作者：男，l 9 6 6年生 硕 士，讲 师。维普资讯 http:/ 8 华 东师 范大学 学报(自然科 学版)1 9 9 9芷，(Y)=p。V()E(d )=0。(2)h(。)=“=I i=l，2，(d )=r (o )j=l，2，P =1，2，。，q 其 中：1 d。；d (Y ，)是一度量离差(d i s p e r s i o n)的统计量。常有两种取法：(1)d =

5、r j=(Y 一 。)V(，)(2)d ：，5=。2 l(。，Y )一2 l(，)(d e v ia n c e r e s id u a 1)。这里(，Y )是 对数 似然函数(表示 成均值 的 函数)，即：(；Y)：l o g f(；f(Y；是 y 的密度 函数 或概率分布。2 h()是离差模型的联系函数 3 V0(-)是 离差模型的方差 函数：4 i 通常(但 不一定)是 的一个 子集(详见 2)其余的符号与模型(1)中的含义相 同，其中散度 参数 口 (i=1，2，)不全相等。此联台模 型为参数设计中 田口方 法的数据分析提供 了有力 的工具。J A Ne l d e r a n d

6、Y L E E(1 9 9 1)E 3：，J E n g e l(1 9 9 1)，J o h n M Gr e g o(1 9 9 3)。等都对 GL M 的联 合模型在 田 E 1 方法 中的应用进行 了研究，但对何 时需拟台 联合模 型(2)，何 时只需拟台 均值模 型(1)，这 一问题，他 们均未 交待，在书 2 中也没有提及，以往，人们只是对模型(1)和(2)的拟台结果 简单加 以比较，进行定性分析，而没有一个 比较严密的定量的判 断方法。对此 问题，由GL M 的知识 可知，实 际上 就是 判断散度参数(=1，2，I1)是否全相 等 的问题，若 0 (i=1，2，I 1)全相等，则

7、 只需 拟台模型(1)，否则需拟台模型(2)：用 统计 语言来表 示，即对如下假设进行检验：H0：0】0 2 0 =0；H1：0，(i=i，2，一，I 1)不全相等。当拒绝 1 4 o 时，需拟台联合模型(2)，否则 只需拟台模型(1)。为 了解决 这一检验问题，我们先给 出如下定理。2 有 关定 理 引理 设 x 为常数 e(i=1 n 十 6 ；J 1 x。i i=1，2，；J=1，2，m，其 中 a ，b (i=1，2，)一，m)为独立同分布的随机 变量，且分布连续。令=l X 一。1=b 1一 。1 这 里 =2 x ，：毒 ，以 尺 记 在 j x ：1，2，：中的秩，则。6【=1

8、时，对(1，2，)的任一置换(“，2，P(尺 1】，尺 1 2,o o o,尺 l ，尺 2【，尺 )：(l，2，f )=维普资讯 http:/ 第 4期 胨颖 等：广 义 线性 模型 散度参 数 的相 等性 检验 9 证 明 见参 考文献 1 2。定 理 设(1)y (=l，2，；：1，2，)互 相独 立，且 y ()，()(=1，2 ，”)具有相 同的类 型，即对 i，i z,存在常数 n，6 0，使 Fi,(A)。i 量 )(2)E(Y)=，(Y )=O i V()，：1，；，=1，。其 中 V()为已知的非负 函数 则 有：Y u：+o i V()u (3)其中 ，i=1，2，；=l，

9、m 为独立 同分布的随机变量，且 E()=0，()l，=1，2，”j=1，2，一，(：)令 一 zu。，【4)z。=z 2 =i ；i =1 t 5 ig z =砉 ，勺=1，”。i R,j 为 Z o 在 z flJ：1 I2，；=1，2，m 中的秩。那 么 当。I=。2=。=。成 立，且 F()为连续型分布时，维随机向量(R R1 2 一 Rl ，R 2【j ，R)服从 引理 中所给出的分布。证 明 定 义 则 Y u o i V(i：1，-一，：1，一，H Y。=+【。fV()且 E()=E1 (y )一 。V()r 1，2，l，2，。，”z O ：-未，因为(z)(=l，2，)具有 相

10、同的类 型，所，对任意的 1 1 i 2 ，有 常数 b 0，使 P )市 维普资讯 http:/ l 0 华东师 范大 学学 报(自然 科学 版)1 9 9 9年：E(y 一 )，(y )=E(yI)一 n p vO,)b f Y l lj。一y-i 1 P e P 1 而 f =P，+E o v(n )：P l=P yI、+。I，V()=P e i J z (1)时拒绝 Ho 此法的优点是，所用 的分布是常用的 分布，无需另造 f临界 值表，缺点是，样本容 量需 要较 大 当样本容 量较大时，此法也可用 于()为连续型 时的检验 4 示 例 交流 电路 中电流(单位是安培)的大小受一些不定

11、 因素的影响，是 一 随机 变量，现 在 4种 维普资讯 http:/ 华 东师 范大学 学报(自拣 科学版)L 9 9 9年(=4)不 同的条件 下对 电流分别进行 3次(m=3)独立观测，得 43 个观测值(i：1，2，7 1；J=1，2，)见表 1，若方差 函数为 V(，)=-o -o ，!，这里“，为第 个条件下的电流均值，那 么在用广义线性模型拟台时，是应拟台联台模型(2)还是应拟合模型(1)?对此，即需检验：H0：。l=p 2=0 ：口；Hl：(i=1，n)不全相等 这 里=4，=3。若设 y。的分 布属于 某一连续型 的单参数 指数族。于 是，可用第 3节 中的统计 量 丁【：(

12、一R)来检验，按如下步骤 计算：计 肿，川 -，z，(2)计算 z l：u一 _ I，其 中 i=z ，=l，”；J=l，”z。(3)计算 z 在 z u ：=l，2，；j l，2，中的秩 Ru，、|，(4)计 算统 计量丁 1=1 -(、一R)的值 以上各步的计算结果 见表 1 裹 l Ta b 1 对于给定的显著性水平。=0 1，查附录的临界值表，得：Cl=6 5 2 7 7 8 丁l=7 2 5 CI 所以，在显著性水平 n=0 1 的条件下，拒绝 H0，认为 O i(=1，2，4)不全相等，于是，需 拟台联台模型(2)。维普资讯 http:/ 第 4期 陈颖 等：广义 线性 模型 赦度

13、 参数的 相等 性捡 验 1 3 附 录 1 统 计 量 丁，=骞(一 瓦)的 分 布 表(”=4，m：3)f1 C，P c1 C，P 4+2 5O 0 o 0 6l 6 7 5 0 0 0 0 0 87 72 7 3 7 63 8 8 9 0 041 81 8 2 8 5 2 7 78 0 01 8 4 4l 6 4 3 05 5 6 0 2 91 6 2 3 6 8 o5 5 6 0 0 8 50 00 7 6 9 4 4 4 0 0 3 93 5 06 8 5 83 3 3 0 01 7 9 2 21 4 6 94 4 4 0 2 5 33 1 2 6 9l 6 67 0 0 7 8踮

14、1 2 7 8 o5 5 6 0 0 3 82 4 6 8 8 69 4 4 4 0 01 66 2 3 4 4 7 5 0 0 0 0 2 4 74 6 8 6 9 72 2 2 0 07 4 5 45 5 7 8 61【1 0 0 33 31 l 7 8 7 5 0(0 0 0I 6 4 9 3 5 5 l 38 8 9 O 2 0 87 01 7 0 27 7 8 0 0 6 9 35 0 6 7 91 6 67 0 0 3 2为 2 2 8 8 05 5 6 0 0l 51 9 4 8 5 1 9 4 44 0 1 9 63 6 4 7 1 38 8 9 0 0 6 80 51 9 8

15、 02 7 7 8 0 0 2 99 3 51 8 91 6 6 7 0 01 3 7 fl】3 5 8 05 5 6 0 1 5 07 1 4 7 1 94 44 0 0 61 6 8 8 3 8 0 8 33 3 0 02 92 8 5 7 8 9 72 2 2 0 0l 21 4 2 9 5 8 61 11 0 1 3 9(1 2 6 7 2 5 0 0 0 05 9 87 0l 8 l 38 8 9 0 位 8 37 6 6 9 7 7 8 O 0l 1 7 5 3 2 6 47 2 2 2 01 0 2 72 7 7 3 611 1 0 0 5 36 36 4 S+2 5n 0 0

16、0 0 2 57I 4 3 9 l 38 8 9 0 0】08 4 4 2 6 5 2 7 7 8 0 0 9 7 2：7 4 I 6 6 7 0 0 5 1 4 9 3 5 8 3 0 5 5 6 0 0 2 3 3 7 6 6 9 2 5 0 0 0 0 0 0 8 3 7 6 6 2 6 5 8 3 0 0 9 6 49 3 5 7 4 72 2 2 0 n5 01 9 4 8 8 3 61 I】O 02l 0 3 9 0 9 ll 1 0 0 07 7 92 2I 6 6 9 4 44 0 1 91 8l 82 7 5 8 33 3 0 04 35 O6 5 8 4 72 2 2 0

17、0 2 05 l 9 3 6l 1 1 0 其 中，=去 喜 R ，i=l，2，。豆=i=l =1(n m+1)尸 =尸(Tl CI)注：表 中只列 出了 T1 分 布的一部分。2 T1 分 布表 的构造方 法。(1)据(尺l l，R1 2，RI ，R2 I，尺2 ，R)的分布律 尸(尺I I，RI R2 1，R)(i l l，i I 2，i )其 中(i l 1，i 1 2，i)是(1，2，可能取值。其 -=薹 _ l 2，m)的任一置换 计算 出 丁t=c t=喜 ，=吉()一 一(州)!砉(一 )的 所 有 (2)计算 出具有相 同的 Cl k 值的不 同置换(i I 1 I i l 2

18、，f )的个数 (可用计算 机来 帮 助统计 出)(3)得 T 的分布 律(4)计算 得 P(T I c t)=垒 南 维普资讯 http:/ l 4 华东 师范大 学 学报(自然 科学 版)l 9 9 9年 P，=P(T l c 1)=(1 【l 用同样 的的方法，也可构造 出 丁z二上 Z 2 j=I (瓦 一 )的分布表。参考文献 1 M c Cul l a g h PNe 1 d e r J A Gon e r a l i z e d 1 ine a r mod e l s Lo n d o n：Ch a pma n a n d Ha l 1，1 9 8 3 2 M c Cu l l

19、a g h P Ne t d e r J A Go n e r a i z e d 1 i n e a r mo d e l s S e c o n d E d i t io n L o n d o n：Ch a p ma n a n d Ha l 1 1 9 8 9 3 Ne l d c r J AY LE E Ge n e r a 1 i z e d hn e a r m0 d e k f o r t h e a n a 1 y s o f t a g a c h i t y p e e x p e r i me n t s Ap p 1 l e d S t o d c h a s t i

20、 c e l s a ndDa t a An a 1v s s 1 9 91 7：l 0 7【2 0 4 E n g e J Mo d e l l i n g v a r i a t i o n i ni n d u s t r i a 1 e x p e r i me n t s Ap p 1 S t a t l，【9 9l，4 l t 3 J：5 7 9 5 9 7 5 P Box G E St u di e s is q ua l i t y i mp r o v e me nt s i gn a 1 t o n o i s e r a t io s，Pe r f or m a nc e

21、 c r i t e r i a a n d St a r i s t i c a l a n 1 v s Pa r t T Te c h n i c a 1 R e p o r tI T，Un i,e r s i t y o fW i o n s i n Ma d i ron C e n t e rf o rQu a l i t y a n d P r o d u c t i v i t y l mp m n e n t 1 9 8 6 6 Pe t e r s p r e n t Appl ie d n anp ar a me t r i c s t a t i s t i c a 1 m

22、e t h od s Lc nd on：Ch ap ma n a n d Ha l 1，W or ld Pub l i s hi n g e o r p1 9 9 9 7 Ma r i t e J S Di s t v i b u t i o nf r e e a t i s t ic a l me t h o d s l n d o n，Ne Yo r k：Ch a p ma n a n dHa l 1 1 9 8 1 8 Mu a y Ai t k i n M o d e I I i n g v a r i e c h o t e r o g e n e i t y i n n o r m

23、a 1 r c g c s i o n u s i n g GLl M ap p S t a t i s t 1 9 8 7，3 6 3)：3 3 2 3 3 9 9 Vi j a y a n N Na i r(e d i t o r J Ta g u c h i s p a r a me t e r d e s i g n：A p a n e 1 d i u s s i o n Te c h n o me t r ic s，【9 9 2 3 4：t 2 7 1 6 1 l 0 J o h n M Gr e g o g e n e r a l i z e d 1 i n e a r mo d

24、e l s a n d p r o c e s s v a r ia t i o n J r n a 1。qu a I it y Te c h n o l o g y，1 9 9 3，2 5 f 4)：2 8 8 2 9 5 1 1 邓 乃扬等 菩 无约 束最 优化计 算方 法北京：科学 出版 社，1 9 9 t 1 2陈希孺，方兆本 等著非 参数统 计上 海 上海 科技出 版祉 t 9 8 9 t 3 周 纪萝编回归分 析上 海：华东师 太 出版 社 1 9 9 3 1 4乇学 仁，陈希镇广义线 性模型 回归模型 的统理 论应 用毹率统计，1 9 9 0，6(2)：2 0 5 2 l 8 1

25、 5 韩之 役 毒璃基编 著质 量=程 学 线外、线内质 量管理北京科学出 版杜 1 9 9 1 Equ a l i t y Te s t o n Di s pe r s i on Pa r a me t e r s i n Ge n e r a l i z e d Li ne a r M o de l s Ch e n Yi n g Z h o u J i x i a n g (De p a r t me t S t a t i x t i c s F a s t C h i n a No r ma l r i r s t t y，S h a n g h a i 2 0 0 0 6 2)Ab

26、 s t r a c t Ge n e r a l i z e d l i ne a r m o de l s h a v e be e n us e d wi d e l y Ho we v e r，i n a pp l i c a t i o n s，i t i s me e t t h a t mo d e l s u s e d a r e j o i n t mo d e l s o f me a n a n d d i s p e r s i o n o r s i mp l e mo d e l s o f me a n Th e p r o b l m i s d e t e

27、r mi n e d b y e q u a l i t y t e s t o n d i s p e r s i o n p a r a me t e rsI n t hi s p a p e r，we g i v e s e v e r a l s t a t i s t i c s o f t he t e s t a n d t h e i r d i s t r i b ut i on s Fi na l l y ，a i l l u s t r at e i s ge v e n Ke y wo r d s g e n e r a l i z e d l i n e a r mo d e l j o i n t mo d e l s o f me a n a n d d i s p e r s i o n d i s p e r s i o n p a r a me t e r s h yp ot he s i s t e s t t a guc hi m e t ho d 维普资讯 http:/