非线性方程求根课件

《非线性方程求根课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性方程求根课件（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 方方法法收收敛敛的的充充分分条条件件、定定理理SOR9如如果果设设,bAx 1.;ULDAA 为为对对称称正正定定矩矩阵阵 2.20 .迭迭代代法法收收敛敛的的则则解解SORbAx 、例例1.:,是是收收敛敛的的求求解解方方程程组组塞塞德德尔尔迭迭代代法法用用高高斯斯证证明明为为非非奇奇异异矩矩阵阵设设bAxAAT 证证明明：,)(AAAATTT,0)()()(,AxAxxAAxRxTTTn000)()()(xAxAxAxxAAxTTT.是对称正定矩阵是对称正定矩阵AAT.1迭迭代代法法时时塞塞德德尔尔迭迭代代法法就就是是高高斯斯SOR 210 塞塞德德尔尔迭迭代代法法可可得得用用高高斯斯由

2、由定定理理 9.是是收收敛敛的的求求解解bAxAT、例例2.,)0()()1(收收敛敛意意初初始始向向量量对对任任证证明明迭迭代代格格式式也也正正定定若若是是对对称称矩矩阵阵是是对对称称正正定定矩矩阵阵假假设设xfAxxABABRARBkknnnn 证明证明0,:xxAxA 即即的的任任意意一一个个特特征征值值是是迭迭代代矩矩阵阵令令0)(xABABxABABT正正定定0 ABAxxBxxTT0 BAxAxBxxTTT0)(BAxAxBxxTT0)()(xBxBxxTT )(02 BxxBxxTT,0 BxxBT是是对对称称正正定定矩矩阵阵,101)(2 1)(1,AA 的的任任意意一一个个特

3、特征征值值是是迭迭代代矩矩阵阵由基本定理由基本定理.)0()()1(收收敛敛对对任任意意初初始始向向量量xfAxxkk .证证毕毕课外作业：第课外作业：第210210页页 6 6、8 8、定理定理10如如果果设设,bAx 1 ;阵阵为为弱弱对对角角占占优优不不可可约约矩矩或或为为严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵AA 210 .迭迭代代法法收收敛敛的的则则解解SORbAx )(证明省略证明省略迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度 0 kkB 则有则有为对称矩阵为对称矩阵假设假设,B 2022 kkB 20)(kB)(ln10ln10)(BskBsk 若若、定义定义5 .,)(ln)(简简称称为为迭迭

4、代代法法收收敛敛速速度度的的渐渐近近收收敛敛速速度度一一阶阶定定常常法法为为迭迭代代法法称称BBR .)(1)(越小时迭代法收敛越快越小时迭代法收敛越快且且如果如果BB )()(min:20optLLSOR 的的最最佳佳超超松松弛弛因因子子 2112Jopt 的的雅雅可可比比迭迭代代法法为为解解bAxJ .的的迭迭代代矩矩阵阵的的谱谱半半径径 )()(max)(max()()(1212maxmax2BBBBBknkknkT 7.27.2、迭代法及其收敛性、迭代法及其收敛性7.2.17.2.1、不动点迭代法、不动点迭代法、定义定义1),(0)(xxxf 改改写写成成等等价价形形式式假假设设方方程

5、程,),(0)(反反之之亦亦然然即即满满足足若若求求 xxxfx 为为初初值值称称 ,.)2,1,0(),()(10kxxxkk.不动点迭代法不动点迭代法的的一一个个为为函函数数则则称称)(xx .不不动动点点第第7 7章、非线性方程求根章、非线性方程求根第第7 7章课外作业：第章课外作业：第238-239238-239页：页：2 2、4 4、5 5、6 6、7 7（1 1）（2 2）、）、1515、18187.2.27.2.2、不动点的存在性与迭代法的收敛性、不动点的存在性与迭代法的收敛性、定理定理1:,)(满足以下两条件满足以下两条件设设baCx 、1;)(,bxabax 有有对对任任意意

6、 、2yxLyxbayxL )()(,1 都都有有使使得得对对任任意意存存在在正正常常数数.,)(xbax上上存存在在唯唯一一的的不不动动点点在在则则 以上定理以上定理1 1的证明：的证明：.先先证证不不动动点点存存在在性性.,)()()(上上存存在在不不动动点点在在显显然然或或若若baxbbaa ,)()(,)(bbaabxa 及及以以下下设设因因,)()(xxxf 定定义义函函数数且且满满足足显显然然,)(baCxf,0)()(;0)()(bbbfaaaf ,0)(xfx 使使可知存在可知存在由连续函数的介值定理由连续函数的介值定理),(xx 即即.)(的的不不动动点点即即为为xx .再再

7、证证唯唯一一性性,)(,21的的不不动动点点都都是是及及设设xbaCxx 21212121)()(:)2(xxxxLxxxx 得得则则由由上上述述条条件件.引引出出矛矛盾盾.)(的的不不动动点点是是唯唯一一的的故故x、定理定理2:,)(满满足足以以下下两两条条件件设设baCx 、1;)(,bxabax 有有对对任任意意 、2yxLyxbayxL )()(,1 都都有有使使得得对对任任意意存存在在正正常常数数,)(,.)1,0(),(,10 xxxkxxbaxkkk的的不不动动点点收收敛敛到到得得到到的的迭迭代代序序列列由由则则对对任任意意 :并并有有误误差差估估计计)(011xxLLxxkk

8、)(kkkxxLxx 111以上定理以上定理2 2的证明：的证明：,)(,1上上的的唯唯一一不不动动点点在在是是设设由由定定理理baxbax ,)1(baxk 可可知知由由条条件件)2(再再由由条条件件 xxLxxxxkkk11)()(xxLxxLkk022.0lim10 kkLL因因.lim xxkk:以以下下再再证证明明误误差差估估计计式式111)()(kkkkkkxxLxxxx ;:011xxLxxkkk 反反复复递递推推得得:有有于于是是对对任任意意正正整整数数 pkkpkpkpkpkkpkxxxxxxxx 1211.kkpkpkpkpkxxxxxx 1211.0121).(xxLLL

9、kpkpk ;101xxLLk ;101xxLLxxkkpk ,p在在上上式式令令可可得得由由于于,lim xxpkp.101xxLLxxkk kkpkpkpkpkkpkxxxxxxxx 1211.由于由于kkppkpkpkpkpkpkxxLxxLxxxx 1121211.)()(kkppkpkxxLLLxx 121)1.(;111kkxxL ,p在上式令在上式令.111kkkxxLxx 7.2.37.2.3、局部收敛性与收敛阶、局部收敛性与收敛阶、定定义义2.,.)1,0()()(,:,)(100为为局局部部收收敛敛则则称称迭迭代代法法且且收收敛敛到到产产生生的的序序列列初初值值迭迭代代法法

10、对对任任意意的的某某个个邻邻域域如如果果存存在在有有不不动动点点设设 xRxkxxxRxxxRxxxkkk 、定理定理3.)(,1)(,)(,)(1局局部部收收敛敛则则迭迭代代法法且且的的某某个个邻邻域域连连续续在在的的不不动动点点为为设设kkxxxxxxx :证明证明,1)(,0,1)(xx使使所所以以存存在在因因为为处处连连续续在在 xx)(;)()(),(xxxxx有有时时当当 xx,0 )()()()(xxxx1)()(Lxx ,1)(,:LxRxxxRx 成成立立使使对对于于任任意意的的某某个个邻邻域域存存在在,Rx 对对于于任任意意此此外外 xxxxLxxxx)()()(.)(Rx

11、 可可以以断断定定迭迭代代过过程程于于是是依依据据定定理理 2,0均均收收敛敛对对于于任任意意初初值值Rx .即局部收敛即局部收敛.)()(yxLyx ,Ryx )()()(yxyx yxyx )()()()(1kkxx 、例例1.,3032并并说说明明用用哪哪种种方方法法最最好好的的收收敛敛性性的的根根代代方方法法求求方方程程讨讨论论用用下下列列四四种种方方法法迭迭 xx解：解：)1(.12)(,3)(,3221 xxxxxxxxkkk ,1132)3()(x.不不能能保保证证收收敛敛)2(,3)(,31xxxxkk ,3)(2xx .11)(不能保证收敛不能保证收敛 x)3(),3(412

12、1 kkkxxx),3(41)(2 xxx xx211)(1134.0231)(x.局局部部收收敛敛 4),3(211kkkxxx ),3(21)(xxx ),31(21)(2xx 局局部部收收敛敛 10)3(31(21)(2x;3)1(21 kkkxxx、;3)2(1kkxx 、);3(41)3(21 kkkxxx、)3(21)4(1kkkxxx 、.4134.00最好最好方法方法.2,1,1,.)0(,)()(11时时称称平平方方收收敛敛收收敛敛时时称称超超线线性性时时称称线线性性收收敛敛特特别别地地阶阶收收敛敛的的则则称称该该迭迭代代过过程程是是常常数数时时成成立立下下列列渐渐近近关关系

13、系式式当当如如果果迭迭代代误误差差的的根根收收敛敛于于方方程程设设迭迭代代过过程程 ppppCCeekxxexxxxxpkkkkkk 、定义定义3 .,0)(,0)(.)()(,)(),(11阶阶收收敛敛的的邻邻近近是是则则该该迭迭代代过过程程在在点点并并且且的的邻邻近近连连续续在在所所求求根根如如果果对对于于迭迭代代过过程程pxxxxxxxxxpppkk 、定理定理4证明：证明：,0)(x 由由于于,10)(x.)(31具具有有局局部部收收敛敛性性迭迭代代过过程程据据定定理理kkxx 则有则有利用定理的条件利用定理的条件处做泰勒展开处做泰勒展开在根在根再将再将,)(xxk .,)(!)()(

14、)(之之间间与与在在 xxxxpxxkpkpk ,)(,)(1 xxxxkk 注意到注意到由由上上式式得得 ,)(!)(1pkpkxxpxx pkpkkkxxexxe)(,11 .!)(1peeppkk ,0!)(,1 pxeekppkk 有有时时当当.)(1阶阶收收敛敛为为这这表表明明迭迭代代过过程程pxxkk 7.47.4、牛顿法、牛顿法7.4.17.4.1、牛顿法及其收敛性、牛顿法及其收敛性x xkx1 kxyO xfy 切切线线 ,.)2,1,0()()()(0)(:10kxfxfxxxxfkkkk初初值值对对于于方方程程 迭迭代代法法：牛牛顿顿 Newton、定定理理6.)(2)()

15、(lim.,0)(21 xfxfxxxxxxxfxkkk并并且且的的的的邻邻近近是是平平方方收收敛敛于于在在根根则则以以上上牛牛顿顿迭迭代代法法的的一一个个单单根根是是假假设设上述定理上述定理6 6的证明：的证明：)()()(xfxfxx 令：令：,.)2,1,0(),(1 kxxkk 点点迭迭代代法法：则则上上述述牛牛顿顿法法就就是是不不动动0)(,0)(,0)(xfxfxfx则则的的一一个个单单根根是是假假定定22)()()()(1)(xfxfxfxfx 2)()()(xfxfxf ,0)()()()(2 xfxfxfx 则则 xxxxxxx)()(lim)(又又因因 xxxfxfxfxx

16、2)()()(lim2)()()()(limxfxfxxxfxfxx 2)()()(xfxfxf)()(xfxf.)(2)(!2)()(lim.421 xfxfxxxxxkkk 且且的的上上述述牛牛顿顿法法是是平平方方收收敛敛由由定定理理7.4.27.4.2、牛顿法应用举例、牛顿法应用举例、例例1.0),(21:)0(,0012都都是是收收敛敛的的意意初初值值对对任任的的迭迭代代格格式式所所导导出出求求开开方方值值二二次次方方程程证证明明应应用用牛牛顿顿迭迭代代法法解解 xxCxxCCCxkkk证证明明：,2)(,)(:2xxfCxxf 令令);(212)()(21kkkkkkkxCxxCxx

17、xfxfxx ,00 xCxCxCxkkk )(211)2(21kkxCCx )2(212CCxxxkkk ;)(212Cxxkk 211)(CxCxCxCxkkkk 221111)(CxCxCxCxkkkk kCxCxCxCxkk20011)(.kCxCxCxCxkk20011)(.kq2 CxCxq 00Cqqxkkk22111 故故由由上上式式推推知知总总有有对对任任意意,1,00 qx.,1Cxkk 时时当当7.4.47.4.4、重根情形、重根情形:0)(的的含含义义重重根根的的所所谓谓方方程程 xmxf .0)(,0)(.)()(:0)(),2(),()()(1 xfxfxfxfxg

18、mxgxxxfmmm此此时时有有整整数数:0)(的的牛牛顿顿迭迭代代方方法法为为重重根根的的求求方方程程 xmxf:)1(方法方法.)1()()()(10只只是是线线性性收收敛敛方方法法初初值值 kkkkxfxfxxx:)2(方方法法 )()()(10kkkkxfxfmxxx初初值值,2)2(阶阶收收敛敛是是方方法法.m但但要要知知道道重重根根数数:)3(方方法法 )()()()()()(210kkkkkkkxfxfxfxfxfxxx 初初值值.2)3(阶收敛阶收敛是是方法方法上述结论的证明：上述结论的证明：:)1(的的证证明明方方法法)()()(xfxfxx ),()()(xgxxxfm )

19、()()()()(1xgxxxgxxmxfmm );()()()(1xgxxxmgxxm )()()()()()()()()(1xgxxxmgxxxgxxxxfxfxxmm )()()()()(xgxxxmgxgxxx xxxxxxx)()(lim)(xxxxgxxxmgxgxxxxx)()()()()(lim)()()()(lim1xgxxxmgxgxx )()(1 xmgxg011 m.)1(线线性性收收敛敛方方法法的的证证明明：方方法法)2()()()(xfxfmxx :)1(证证明明同同理理可可得得与与方方法法011)(mmx.2)2(阶收敛阶收敛是是方法方法:)3(的证明的证明方法方

20、法,)()()(xfxfx 令令则则重根重根的的是是若若,0)(mxfx )()()()()()()(1xgxxxgxxmxgxxxmmm )()()()()(xgxxxmgxgxx .)(的的单单根根是是故故xx .2)()(1阶阶收收敛敛是是则则牛牛顿顿迭迭代代法法kkkkxxxx )()()()()()(xfxfxfxfxx 22)()()()()()(xfxfxfxfxfxf)()()()()(2xfxfxfxfxf .)()()()()()()(21kkkkkkkkkkxfxfxfxfxfxxxxx 、例例2.,204424根根的的迭迭代代方方法法用用上上述述三三种种方方法法建建立立

21、求求是是二二重重根根的的根根已已知知方方程程 xxx:解解44)(24 xxxf;84)44()(324xxxxxf xxxxxxxxxxfxf42)2(4)2(8444)()(2222324 :)1(方法方法)(42)(210线线性性收收敛敛初初值值 kkkkxxxxx:)2(方方法法 )2(422)(210阶阶收收敛敛初初值值kkkkxxxxx)()()()()(2xfxfxfxfxf )812)(44()84()84)(44(22423324 xxxxxxxxx)812()2()2()4()2(422222232 xxxxxx2)2(84)2(42222 xxxxxx:)3(方方法法 )

22、2(2)2()(2210阶阶收收敛敛初初值值kkkkkxxxxxx)()()()()(2xfxfxfxfxf 7.57.5、弦截法、弦截法7.5.17.5.1、弦截法、弦截法,)()()(11 kkkkkxxxfxfxf由由于于).()()()()()(11 kkkkkkkxxxfxfxfxfxf弦弦截截法法为为：,.)2,1()()()()()(,11110 kxxxfxfxfxxxxkkkkkxk初值初值、定理定理6.01,618.1251,0)(,:)(210的的正正根根是是方方程程这这里里阶阶收收敛敛到到根根时时弦弦截截法法将将按按充充分分小小那那么么当当邻邻域域又又初初值值有有且且对

23、对任任意意内内具具有有二二阶阶连连续续导导数数的的邻邻域域在在根根假假设设 pxpxxxfxxxxxf7.67.6、解非线性方程组的牛顿迭代法、解非线性方程组的牛顿迭代法非非线线性性方方程程组组为为：;0),.,(.0),.,(0),.,(21212211 nnnnxxxfxxxfxxxfnTnRxxxx ),.,(:21令令 TnfffxFxF),.,()(0)(21 非非线线性性方方程程组组 :0的的牛牛顿顿迭迭代代法法为为非非线线性性方方程程组组 xF ,.)2,1,0(;)()()(110 kxFxFxxxkkkk初初始始向向量量:)()(矩阵矩阵为雅可比为雅可比其中其中JacbixF

24、 nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxF.)(212221212111、例例3.052),(032),(222121221211式式用用牛牛顿顿法法给给出出求求解解迭迭代代设设方方程程组组 xxxxfxxxxf:解解,),(21Txxx ),(),()(212211xxfxxfxF;5232222121 xxxx;2421)(2122122111 xxxfxfxfxfxF 1422821)(12121xxxxxF )()(11kkkkxFxFxx 523214228212221211212211211kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx ,.)1,0()4(25128)(2)(453)(2)(122212122212122212122111 kxxxxxxxxxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkkkkkkkkk第第7 7章课外作业：第章课外作业：第238-239238-239页：页：2 2、4 4、5 5、6 6、7 7（1 1）（2 2）、）、1515、1818