§2-9-静电能量与力要点

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1、 2.9 2.9 静电能量与力静电能量与力 静电场对电荷有作用力，并能移动电荷作功，表明它静电场对电荷有作用力，并能移动电荷作功，表明它是一个具有作功本领的系统是一个具有作功本领的系统能量系统。另外，静电能能量系统。另外，静电能量的变化，可用静电力（移动电荷）所作的功来量度，因量的变化，可用静电力（移动电荷）所作的功来量度，因此，静电力与静电能量的变化密切相关。此，静电力与静电能量的变化密切相关。1.1.带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)1)连续分布电荷系统的静电能量连续分布

2、电荷系统的静电能量假设：假设：电荷系统中的介质是线性的；电荷系统中的介质是线性的；建立电场过程缓慢建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）（忽略动能与能量辐射）。电场的建立与充电过程无关电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为导体上电荷与电位的最终值为q、,在充电过程中在充电过程中，q 与与 的增长比例为的增长比例为m，且且 。10 m2.9.1 2.9.1 静电能量静电能量 因此，在充电过程中外力所作的功将全部转化为静电能量，并且因此，在充电过程中外力所作的功将全部转化为静电能量，并且在充电过程的任一时刻的电场均可视为静电场。在充电过程的任一时刻的电场均可视为静电场。这个功转化为静

3、电能量储存在电场中。这个功转化为静电能量储存在电场中。VdV21 体电荷系统的静电能量体电荷系统的静电能量VedVW21dVmdmdqAWVe10故故 t时刻，场中时刻，场中P点的电位为点的电位为 若将电荷增量若将电荷增量 从无穷远处从无穷远处移至该点，移至该点，),(zyxdqdqzyxA),(外力作功外力作功t时刻时刻电荷密度与电荷增量电荷密度与电荷增量为为电位为电位为)()(zyxzyx,m,dmdVdVddqmdzyxzyxmdd,),(),(SedSW21面电荷系统面电荷系统LedlW21线电荷系统线电荷系统所以，所以，t时刻外力做的元功转化为电场能量的增量为时刻外力做的元功转化为电

4、场能量的增量为VVedmdVmdqdAdWSdS21WenKKKeqW121即即nKKKq121nKSkKKdS1212)2)带电导体系统带电导体系统C2C21212121212122121211221121qUqUUqqqqqWKKKe有有特例：特例：带等值异号的两导体（带等值异号的两导体（电容器电容器），设），设12qq2222UWWqCee所以所以 k 是所有导体（含是所有导体（含k号导体）表面上的电荷在号导体）表面上的电荷在k号导体产生号导体产生的电位。的电位。SnKKKqWdqW1ee21 21 式中式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。是元电荷所在处的电位，积分对源进行。自有能

5、是将许多元电荷自有能是将许多元电荷 dq “压紧压紧”构成构成 q 所需作的功。互有能所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。互自WWWe 自有能与互有能的概念自有能与互有能的概念点电荷的自有能为无穷大。点电荷的自有能为无穷大。)(21)(21)()(2121221122111222111qqqqqqqnKKKeW自有能自有能互有能互有能 例如空间中有两带电体，单独存在时，导体的电位、电荷分别为例如空间中有两带电体，单独存在时，导体的电位、电荷分别为 1 1,q1 1和和 2 2,q2 2。将带电体将带电体2 2放入带电体放入带电体

6、1 1的电场中，两导体的电位会发生变化，如的电场中，两导体的电位会发生变化，如图所示。图所示。22111q2q图图2.9.1 2.9.1 推导能量用图推导能量用图2.2.静电能量的分布及能量体密度静电能量的分布及能量体密度VSedSVdW2121VSeddVWSDD2121图图2.9.2 2.9.2 推导能量密度用图推导能量密度用图V 扩大到无限空间扩大到无限空间V，S 所有带电体表面。所有带电体表面。)1(2121)(21SnVVedSdVdVWeDEDD得得由矢量恒等式由矢量恒等式 DDD-)(SSnnSSVdSSdddV)2()(212121)(21eDeDSDD对上式第一项应用散度定理

7、对上式第一项应用散度定理将式将式(2)(2)代入式代入式(1),(1),得得dVVED21dVSdWVSneEDeD2121注注22,1,1rdSrDrVVeedVwdVWED21J(焦耳）焦耳）静电能量静电能量ED 21ew能量密度定义为能量密度定义为3mJ：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论结论*静静电场的能量电场的能量 能量密度能量密度2012edWwEdVdVwWee表面均匀带电的橡皮气球表面均匀带电的橡皮气球R0QdR12Wdq001248QQdqdqRR208QR2208QdWdRR厚度厚度dR的球壳中的能量的球壳中的能量2208Q

8、dWdRR22020()424QR dRR202E dV静静电场的能量2012eWE dVdVEdVWVVe202121ED)4949(212420622020220drrradrrraa520154a应用高斯定理，应用高斯定理，解法一解法一例例 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 ，半径为，半径为 a 的介质球产生的静电能量。的介质球产生的静电能量。VSdVdSD32344rDrarraarrrreeE203033得得:例例 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 ，半径为，半径为 a 的介质球产生的静电能量。的介质球产生的静电能量。arraarra)3(2322003Ved

9、VW21520154aararrrrr0)(1022,21rr21ar 0r0r有限有限，由微分方程法得由微分方程法得解法二解法二drrraa2022024)3(221 例例 一个原子可以看成是由带正电荷一个原子可以看成是由带正电荷q 的原子核和被总电量等于的原子核和被总电量等于-q且均匀分布且均匀分布于球形体积内的负电荷云包围，如图所示。试求原子结合能。于球形体积内的负电荷云包围，如图所示。试求原子结合能。解：解：自互总WWW;154520aW自aqW0283互0202202)3(2)0(araraqaaq00238323/4aqaqaWWW020252040983154互自总表示将正负电荷

10、从无穷远处移来置于原子中的位置时外力必须做的功。表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中的位置时外力必须做的功。)0(qW互注意：注意：正电荷从无穷远处移至此处不需要电场力作功正电荷从无穷远处移至此处不需要电场力作功,故原子结合能未包故原子结合能未包括原子核正电荷本身的固有能量。括原子核正电荷本身的固有能量。图图2.9.3 2.9.3 原子结构模型原子结构模型2.9.2 2.9.2 静电力静电力2.2.虚位移法虚位移法 (Virtual Displacement Method)虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。广义坐标广义坐标：距离、面积、体积、角度

11、。：距离、面积、体积、角度。广义力广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义 坐标坐标增加增加的方向。的方向。广义坐标广义坐标 距距 离离 面面 积积 体体 积积 角角 度度 广义力广义力 机械力机械力 表面张力表面张力 压强压强 转矩转矩 （单位）（单位）（N）（N/m）（N/m2）Nm二者关系：二者关系：广义力广义力广义坐标广义坐标 =功功1.1.由电场强度由电场强度E的定义求静电力的定义求静电力，即，即EfqdqdEf dqEf一个点电荷在电场中受的力一个点电荷在电场中受的力、常电荷系统、常电荷系统（K 打开）：打开）：fd

12、gdW0e它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。.nstcqekgWfo 设设(n+1)个导体组成的系统个导体组成的系统,只有只有P 号导体发生位移号导体发生位移 dg，此时系统中，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为kkedqfdgdWdW外源提供能量外源提供能量静电能量增量静电能量增量=+电场力所作功电场力所作功图图2.9.4 多导体系统多导体系统edWfdg、常电位系统、常电位系统（K合上）合上）：kkdqdWfdgdqdqkkkk21外源提供能量的

13、增量外源提供能量的增量静电能量的增量静电能量的增量kkedqdW21外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。.nstcekgWfo图图2.9.4 2.9.4 多导体系统多导体系统 上述两个公式所得结果是相等的上述两个公式所得结果是相等的consteconstqekkgWgWf 两个公式所求得的两个公式所求得的广义力是代数量广义力是代数量 。还需根据。还需根据“”号判断其方向。号判断其方向。例例 试求图示平行板电容器的电场力。试求图示平行板电容器的电场力。解法一：解法一：常电位系统常电位系统221CUWecons

14、tekgWf0dSUdC2U2022解法二：解法二：常电荷系统常电荷系统CqWe221constqekgWfC2qg20dS2U202 可见，两种方法计算结果相同，可见，两种方法计算结果相同，电场力有使电场力有使 d 减小的趋势，即减小的趋势，即电容增大的趋势。电容增大的趋势。dsC0dsC0图图2.9.5 2.9.5 平行板电容器平行板电容器dCC2q22 例例 图示一球形薄膜带电表面，半径为图示一球形薄膜带电表面，半径为 a，其上带电荷为，其上带电荷为q q ，试求薄膜，试求薄膜单位面积所受的电场力。单位面积所受的电场力。解：解：CqWe221aC04constqeaWf表示广义力表示广义力 f 的方向是广义坐标的方向是广义坐标 a 增大的方向，即为膨胀力增大的方向，即为膨胀力。aCCWe08202aq单位面积上的力：单位面积上的力：（N/m2）ED/212121)4(40222Eaqaff图图2.9.6 2.9.6 球形薄膜球形薄膜aaCCq222