高等数学隐函数优秀课件

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1、1第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 231xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,由由)(xfy 表示的函数表示的函数,称为称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化.函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法:0)

2、,(yxF0),(ddyxFx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)y机动 目录 上页 下页 返回 结束 3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 求方程求方程1xyeexy所确定的隐函数的导所确定的隐函数的导数数d.dyx解：解：方程两边分别对方程两边分别对 x 求导数，求导数，xeddyyexyddyxx0所以所以d.dxyyeyxex 4例例2.2.求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在在 x=0 处的导数处的导数.0ddxxy解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x0

3、25211dd46yxxy因因 x=0 时时 y=0,故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0exyey)(xyy),(xy),0(y)(xfy)1,0(例例3 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数并求出并求出写出通过曲线写出通过曲线上上点点的切线方程的切线方程.解：解：方程两边对方程两边对 x 求导求导yeyy10yx0yexyy解出解出y得得将将0 x代入代入,0exyey,0eey得得1y解得解得所以所以)0(y1)1,0(01|eye1)

4、1,0(点点的切线方程为的切线方程为1ye1)0(x即即11xey6例例4.求椭圆求椭圆191622yx在点在点)323,2(处的切线方程处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2(x即即03843 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 7例例5.求由方程求由方程0sin21yyx二阶导数。二阶导数。确定的隐函数的确定的隐函数的机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：方程两边分别对方程两边分别对 x 求导数，求导数，1ddyx1dcos2dyyx0所以所以d2.d2cosyx

5、y22ddyxd()dx22cos y 2(2cos)y02dsindyyx34sin(2cos)yy8机动 目录 上页 下页 返回 结束 练：求由方程练：求由方程22arctanlnyxyx所确定的所确定的隐函数的导数隐函数的导数d.dyxd dyxyxxy9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对数求导法对数求导法：对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法求导简便些求导简便些.1)对幂指函数对幂指函数()()v xyu x，ln()ln()yv xu xyy1()ln()v xu x1()()()v xu xu x()()()()(

6、)ln()()v xv xu xyu xv xu xu x(),()u x v x都可导都可导.两边取对数两边取对数(化成了隐函数化成了隐函数),然后按隐函数求导法然后按隐函数求导法求出求出 的导数的导数.y即即10例例6.6.求求)0(sinxxyx的导数的导数.解解:两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对两边对 x 求导求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 112)有些显函数用有些显函数用对数求导法对数求导法求导很方便求导很方便.例如例如,)1,0,0(babaax

7、xbbaybax两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 12例例7.设设,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对对 x 求导求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导数。求导数。13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,)12()2)(1(3122xexxxy.

8、ddxy练习练习设设求求解：解：两边取对数得两边取对数得31lnyln(1)ln(2)xx122ln)12ln(xex31ln(1)ln(2)xx)12()12ln(2xx方程两边分别对方程两边分别对 x 求导数，求导数，1yy 3111x12x124x232211(1)(2)3(21)xxxyxe 11x12x124x214二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(,)(tt可导可导,且且,0)()(22tt则则0)(t时时,有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(

9、tt0)(t时时,有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数)关系关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 15若上述参数方程中若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且且,0)(t则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数可求二阶导数.利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

10、返回返回 结束结束 12222byax)1()2(xydd例例8 已知椭圆的直角坐标方程为已知椭圆的直角坐标方程为求求及及写出椭圆的参数方程；写出椭圆的参数方程；解：解：.dd22xy)1()2(椭圆的参数方程为：椭圆的参数方程为：taxcostbysin ddxy为求为求,dd22xy)cos(ta)sin(tb tasintbcostabcot列出参数方程：列出参数方程：taxcostabycot dd22xy)cos(ta)cot(tab tasintab2csctab32csc17例例9.9.已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为,sin,costbytax4t机动 目录 上页 下页

11、 返回 结束 求椭圆在求椭圆在相应的点处的切线方程。相应的点处的切线方程。解解:当当时，时，4t椭圆上的对应点为椭圆上的对应点为),22,22(ba此点切线斜率为：此点切线斜率为：|4ddtxyk|4)cos()sin(ttatb切线方程为：切线方程为：)22(22axabby|4sincosttatbab18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )1()2(例例10 设曲线设曲线 方程为方程为当当时所对应的点时所对应的点与法线方程；与法线方程；解：解：21t)1(21tx3tty ddxy)1(2t)(3tt t 2231t0MC求曲线求曲线 C处的切线方程处的切线方程

12、看成为看成为是是xy如果把曲线如果把曲线 C的函数，的函数，.ddyx求求0M点的坐标为：点的坐标为：)21(21,)21(1(32)83,43(0M点切线斜率为：点切线斜率为：|21ddtxyk 2122)21(31,4119机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )83,43(,410Mk09164yx0M处的处的83y41)43(x即即切线方程为切线方程为:021832 yx83y4)43(x即即法线方程为法线方程为:)2(看成为看成为是是xy如果把曲线如果把曲线 C的函数，的函数，则则 ddyx)1(2t)(3tt t 2231t20例例11.抛射体运动轨迹的参数方

13、程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量为速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为垂直分量为,dd2tgvty故抛射体故抛射体速度大小速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则则yxo2212tgtvy机动 目录 上页 下页 返回 结束 21抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平

14、分量速度的水平分量,dd1vtx垂直分量垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出在刚射出(即即 t=0)时时,倾角为倾角为12arctanvv达到最高点的时刻达到最高点的时刻,2gvt 高度高度ygv2221落地时刻落地时刻,22gvt 抛射抛射最远距离最远距离xgvv212速度的方向速度的方向yxo2vt g22vt g机动 目录 上页 下页 返回 结束 22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 求由摆线求由摆线)cos1()sin(tayttax所确定的函数所确定的函数)(xyy 的二阶导数。的二阶导数。解解:ddxy)sin(tta)cos1(ta )cos1(t

15、atasin2cott dd22xy)sin(tta)2(cott )cos1(ta2csc212t2)cos1(1ta23例例13.13.设设)(tfx,且,0)(tf求求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty练习练习:P112 题8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 24例例14 设由方程设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数确定函数,)(xyy 求求.ddxy解解:方程组两边对方程组两边对 t 求导求导,得得故故xydd)cos1)(1(ytt

16、tyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 25 三、相关变化率三、相关变化率)(,)(tyytxx为两可导函数为两可导函数yx,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 26例例15.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处

17、离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时,观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h,仰角为仰角为 ,则则tan500h两边对两边对 t 求导求导2sectddthdd5001已知已知,minm140ddth h=500m 时时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050012114.0)minrad/(机动 目录 上页 下页 返回 结束 27思考题思考题:当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住,有一观测者以有一观测者以100 m

18、min 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时,仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少?提示提示:tanx500对对 t 求导求导2sectddtxxdd5002已知已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 28机动 目录 上页 下页 返回 结束 作作 业：业：P111112 1(3);2；3(4)；4（2）;7(1);8(2)29求其反函数的导数求其反函数的导数.,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对等式两边同时对 求导求导y1yxddxeyxddyxdd备用题备用题xe111.设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 30,求求01sin232ytettxy.dd0txy解：解：txddyetydd0ddtxy2.设设方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导,得得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1(costyyttete2e0t机动 目录 上页 下页 返回 结束