高量501不可约张量算符

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1、2023年1月14日星期六3时59分55秒12023年1月14日星期六3时59分55秒2年月年月第五章第五章 不可约张量算符不可约张量算符2023年1月14日星期六3时59分55秒34.1不可约张量算符的定义不可约张量算符的定义及其代数运算规则及其代数运算规则Irreducible Tensor2023年1月14日星期六3时59分55秒4引言引言坐标系转动时物理量各有一定的变换规律坐标系转动时物理量各有一定的变换规律，)()()(rPrVrxyzT动量速度坐标温度电四极矩张量转动惯量张量，)(rV位能按坐标系转动下的变换规律将物理量分类按坐标系转动下的变换规律将物理量分类标量标量，矢量（一阶张

2、量）矢量（一阶张量），二阶张量二阶张量将物理量算符同样分类将物理量算符同样分类标量标量算符，算符，一阶张量一阶张量算符，算符，二阶张量二阶张量算算符符2023年1月14日星期六3时59分55秒5引言引言算符的表示依赖于坐标系的选择算符的表示依赖于坐标系的选择笛卡儿坐标系，球坐标系，笛卡儿坐标系，球坐标系，不同坐标系的基矢通过幺正变换相联系不同坐标系的基矢通过幺正变换相联系zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin2023年1月14日星期六3时59分55秒6一、球基矢一、球基矢在量子力学中为计算方便引入在量子力学中为计算方便引入球基矢球基矢10

3、1,与笛卡儿坐标系基矢的关系与笛卡儿坐标系基矢的关系zyxiieee01000221221101逆变换逆变换10122212101000iizyxeee2023年1月14日星期六3时59分55秒7一、球基矢一、球基矢性质性质mmm)1(*正交归一条件正交归一条件mnnmijjiee*练习：练习：证明上式证明上式2023年1月14日星期六3时59分55秒8二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示坐标向量坐标向量zyxezeyexr01212121121)()(zyxii1210121)()(iyxziyx*121*0*121)()(iyxziyx*111*010*11134(YYYr

4、mmmmmmrYrrYr)()(*134*134),(r其中2023年1月14日星期六3时59分55秒9二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示在球基矢下坐标向量算符的分量为在球基矢下坐标向量算符的分量为)()(1134211rrYiyxr)(10340rrYzr)()(1134211rrYiyxr在坐标系转动下按如下规律变换在坐标系转动下按如下规律变换1)(mmmmmrDr2023年1月14日星期六3时59分55秒10二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示mmmAA*其中其中)(;);(2110

5、211yxzyxAiAAAAAiAA在坐标系转动下的变换规律在坐标系转动下的变换规律11)(),()(),()(mmmmnmnmADdnUAdnUA2023年1月14日星期六3时59分55秒11三、不可约张量算符的定义三、不可约张量算符的定义如下变换的算符称为如下变换的算符称为一阶一阶不可约张量算符不可约张量算符11111)(),()(),()(mmmmnmnmTDdnUTdnUT进而定义进而定义 l 阶阶不可约张量算符不可约张量算符1)(),()(),()(mlmlmmnlmnlmTDdnUTdnUT逆变换逆变换*)()(mlmlmmlmTDT2023年1月14日星期六3时59分56秒12四

6、、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则加法加法：两个：两个 l 阶不可约张量算符之和阶不可约张量算符之和仍为仍为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符证明证明),()()(),(121nlmlmndnUTTdnU1211)()(UTUUTUlmlm21)()(mlmlmmmlmlmmTDTD21)()(mlmlmlmmTTD阶不可约张量算符为lTTTlmlmlm)()()(21212023年1月14日星期六3时59分56秒13四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩两个张量算符的乘法和收缩按下式定义两个张量算符的乘法和收缩按下

7、式定义)()()(21212211212211mlmlmmLMmlmlLMTTCT|,1,212121llllllL收缩乘法2121llLllL；2023年1月14日星期六3时59分56秒14四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩阶不可约张量为证明LTLM)(211211121)()()(2211212211UTUUTUCUTUmlmlmmLMmlmlLM222222111111212211)()(21llmllmmmLMmlmlTDTDC)()(21221122211121212211lllmlmmmLMmlmlTTDDC)()(21221121

8、221121221121212211llLMMLmlmlLLllmmLMmlmlTTDCCC 2023年1月14日星期六3时59分56秒15四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩121)(UTULM)()(2122112121212211llLMLLLLllTTDC)()(2122112121212211llLMLllTTDC)()(2112111121121llLllLMTTCD令)(21LLMTD阶不可约张量为LTLM)(212023年1月14日星期六3时59分56秒16五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积当当l

9、ll21时可收缩得到时可收缩得到零阶张量零阶张量)()()(21002100mllmmmlmlTTCT)()(121121mllmlmmlTT）（)()()1()(12)1(212100mllmmmlTTTl 左左=常数常数零阶张量，在转动下不变零阶张量，在转动下不变右亦然右亦然称式右为两个称式右为两个 l 阶不可约张量的阶不可约张量的标量积标量积记为记为)()()1()()(2121mllmmmllTTTT 2023年1月14日星期六3时59分56秒17五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积一阶不可约张量一阶不可约张量熟知的标量积形式熟知的标量积形式例：两个坐标

10、矢量的标量积例：两个坐标矢量的标量积110011)1(rrrrrrrrrrmmmm)()(221221221221yxyxzzyxyxiiiizzyyxx2023年1月14日星期六3时59分56秒18六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义Giulio(Yoel)Racah(1909-1965)Israeli physicist&mathematician满足下式的满足下式的 2l+1 个算符为个算符为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符lmlmzlmlmTmTJTmmllTJ,)1()1(,12023年1月14日星期六3时59分56秒19六、不可约张量算符的六、不可约张量

11、算符的Racah定义定义两种定义的两种定义的等价性等价性dz 轴转无穷小角考虑绕)1(ziziJdUJdU111；)1(|1|)(mmzilmmmidlmJdlmD代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTUlmzilmziTmidJdTJd)1()1()1(lmzlmlmziTmidJTTJdlmlmzTmTJ,2023年1月14日星期六3时59分56秒20六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义dx 轴转无穷小角考虑绕)12(xixiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDilmm|)(1|21)1()1(12122mmmmimmmmlmmld)1(*2 lll

12、代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTU)()()1)()1(mlmlmmxilmxiTDJdTJd)1()1(12122lmlmilmTmmlTmmldT)1()1(,12122lmlmlmxTmmlTmmlTJ2023年1月14日星期六3时59分56秒21六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义dy 轴转无穷小角考虑绕)22(yiyiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDiilmm|)(1|21)1()1(121221mmmmmmmmlmmld)1(*2 lll代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTU)()()1)()1(mlmlmmyilmyiT

13、DJdTJd)1()1(121221lmlmlmTmmlTmmldT)1()1(,12122lmlmilmyTmmlTmmlTJ2023年1月14日星期六3时59分56秒22六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义综合以上结果得综合以上结果得112)1()1()1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ112)1()1()1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ1)1()1(,lmlmTmmllTJ2023年1月14日星期六3时59分56秒23六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义另一写法另一写法 利用角动量算符在

14、球基矢上的表示利用角动量算符在球基矢上的表示mmmJJ*JJ iJJJJJJ iJJyxzyx)()(21211021211于是于是121101211)1()1(,)1()1(,lmlmlmlmlmlmTmmllTJTmTJTmmllTJ2023年1月14日星期六3时59分56秒24六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义而而1)1()1(01)1()1(2/1212/121)1(11mmllmmmllClllmlmlmlmlmlmTCllTJ1)1(,又因又因lmlmlmlmCC11)1(lmlmlmlmTCllTJ1)1()1(,2023年1月14日星期六3时59分56秒

15、25六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义又又1211101211)1()1()1()1(jmjmjmjmjmjmmmjjJmJmmjjJ也可统一写为也可统一写为jmjmjmjmCjjJ1)1(2023年1月14日星期六3时59分56秒264.2不可约张量算符的实例不可约张量算符的实例2023年1月14日星期六3时59分56秒27一、常见算符一、常见算符可用拉卡定义判断是否不可约张量算符可用拉卡定义判断是否不可约张量算符、坐标算符坐标算符与球谐函数相关，后者既是与球谐函数相关，后者既是函数，又是不可约张量算符函数，又是不可约张量算符zlmlmzlmlmzlmzLYYmLYY

16、LYL)()(lmlmzlmlmzYmYLYmYL,LYYLYLlmlmlm)()(LYYmmlllmlm 12/1)1()1(12/1)1()1(,lmlmYmmllYL2023年1月14日星期六3时59分56秒28一、常见算符一、常见算符将坐标重新组合可构成一阶和二阶不可约将坐标重新组合可构成一阶和二阶不可约张量算符张量算符一阶一阶1134211)(rYiyxr10340rYzr1134211)(rYiyxr二阶二阶22254222123Yrixyyx）（2125423Yriyzxz2025422213Yrrz）（1225423Yriyzxz22254222123Yrixyyx）（2023

17、年1月14日星期六3时59分56秒29一、常见算符一、常见算符、角动量及动量算符角动量及动量算符角动量算符在球基矢上的表示角动量算符在球基矢上的表示;1,0,1*mmmJJ;1,0,1*mmmLL1,0,1*mmmSS利用利用zzJJJJJJ2,;,可证可证,mmmSLJ均为一阶不可约张量算符均为一阶不可约张量算符11211)(TJ iJJyx100TJJz11211)(TJ iJJyx2023年1月14日星期六3时59分56秒30一、常见算符一、常见算符、角动量及动量算符角动量及动量算符动量算符在球基矢上的表示动量算符在球基矢上的表示;1,0,1*mmmPP其分量其分量11211)(TPiP

18、Pyx100TPPz11211)(TPiPPyx也是一阶不可约张量算符也是一阶不可约张量算符2023年1月14日星期六3时59分56秒31一、常见算符一、常见算符以上各向量算符，若用符号以上各向量算符，若用符号1T统一表示统一表示则它们在球基矢上的分量则它们在球基矢上的分量)1,0,1(1mTm都是都是一阶不可约张量算符，且具有如下性质一阶不可约张量算符，且具有如下性质mmmTT1*1)1(或或*11)1(mmmTTl 阶不可约张量算符阶不可约张量算符)(rYlm也具有这个性质也具有这个性质*)1(;)1(mlmlmmlmlmYYYY一般的为一般的为*)1(;)1(mlmlmmlmlmTTTT

19、2023年1月14日星期六3时59分56秒32二、不可约张量算符的厄米共轭二、不可约张量算符的厄米共轭不可约张量算符满足不可约张量算符满足1)()(mlmlmmlmTDUTU两端取厄米共轭两端取厄米共轭*)()()()(mlmlmmmmmlmlmmlmTDTDUTU)()()()(mlmmlmmlmmTDUTU)()()()(mmlmlmmmlmTDUTU定义定义的厄米共轭算符为lmmlmlmTTT)(若若lmlmTT自共轭张量算符自共轭张量算符2023年1月14日星期六3时59分56秒33三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符微观粒子间相互作用能都具有转动不变性微观粒子间相互作用能都具

20、有转动不变性位能算符必为位能算符必为零阶张量零阶张量算符，算符，或两个或两个同阶张量同阶张量算符的算符的标量积标量积212121;|;|SSSLLLrrr设12210)()()()()(SrVSLrVrVrVrsVTLSz 标量标量力力 自旋自旋力力自旋自旋轨道轨道耦合力耦合力 张量张量力力2023年1月14日星期六3时59分56秒34三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符上式中上式中)1(321)(12221rrrS)2(262)(22SrrS mmmmSY)3()(6221581)2)221412)()()(rrrS)(2)()(21222141rrrr)()()(2)(222121

21、221rrrSrr22)(2rrS又又32)(221S2023年1月14日星期六3时59分56秒354.3Wigner-Eckart定理定理2023年1月14日星期六3时59分56秒36一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明jTjCjmTmjLMmjjmLMLM|2023年1月14日星期六3时59分56秒37二、计算几个有用的矩阵元二、计算几个有用的矩阵元lTlCClmYmlLMllLlLlmllmLMLM|)1)12(4)12)(12(0 00jjjmjmmmjjjmjmjmjmjmjmjjCCjjjmJmjCjjJ111)1()1(|)1()2jTjCjmTmjmjjm|)300000零阶张量的约化矩阵元与阵元零阶张量的约化矩阵元与阵元相同且只有对角元相同且只有对角元