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1、三、三、无穷大无穷大 四四、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、无穷小无穷小 1.6 1.6 无穷小与无穷大无穷小与无穷大二、二、无穷小的运算性质无穷小的运算性质 一、一、无穷小无穷小 定义定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小无穷小.当例如:,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x时为无穷小.注意注意:1.1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.2.零是可以作为无穷小的唯一的常数零是可以作为无穷小的唯一的常数.3.3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。无穷小
2、是相对自变量的某一变化趋势而言。说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时,0)(xf显然 C 只能是 0!CC是无穷小；如：xxxy1,1.11,1xx而其中 为0 xx 时的无穷小量.定理 1 (无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理2 2有限个无穷小之和还是无穷小有限个无穷小之和还是无穷小.定理定理3 3
3、有界函数与无穷小的乘积还是无穷小有界函数与无穷小的乘积还是无穷小.推论推论1 1常数与无穷小的乘积还是无穷小常数与无穷小的乘积还是无穷小.推论推论2 2有限个无穷小的乘积还是无穷小有限个无穷小的乘积还是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,有,min21定理定理2 有限个无穷小之和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时,有2,02当200 xx时,有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例
4、如，例如，nnnnnn2221211lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设,),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时,有M取,min21则当),(0 xx时,就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx例题例题1 求.sinlimxxx解解:1sinx01limxx利用定理 3 可知.0sinlimxxxxxysin说
5、明说明:y=0 是xxysin的渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 Mxf)(三、三、无穷大无穷大定义定义2.若任给任给 M 0,000 xx一切满足不等式的 x,总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大,使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx)(x)(lim(xfx(正数正数 X),记作,)(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(
6、n当n2但0)(2nf所以x时,)(xf不是无穷大!oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明11lim1xx证证:任给正数 M,要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x,有Mx11所以.11lim1xx11xy若,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线.渐近线1说明说明:xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小;若)(xf为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理4.在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系4.无穷小与无穷大的关系 作业作业P46 63.无穷小的运算性质
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