维固体力学问题分析

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1、第八章 二维固体力学问题分析孙 会本章内容一、平面应力问题（重点，熟悉）二、四边形等参单元（重点、难点）三、轴对称问题（了解）四、ANSYS应用（重点，掌握）五、结果验证（重点，熟悉）一、平面应力问题1、基本概念与相关公式2、单元刚度矩阵3、单元载荷矩阵1、基本概念与相关公式微元法材料体内任一点图8.1 任一点上的应力分量 外力作用产生内力产生应力、应变如何描述材料体内任一点的应力、应变状态？1、基本概念与相关公式(1)任一点的应力状态 采用6个独立的应力分量表示，其中XX、YY、ZZ正应力，XY、YZ、XZ剪应力。三维问题变为平面应力问题：XZYZXYZZYYXXT XYYYXXT Z方向没

2、有施加力备注：在应力分量的表示中，第一个下角标对应应力所在面的法向方向，第二个下角标对应应力的方向。1、基本概念与相关公式图8.2 平面应力状态 1、基本概念与相关公式(2)任一点的应变状态 采用6个独立的应力分量表示，其中 XX、YY、ZZ正应变，XY、YZ、XZ剪应变。XZYZXYZZYYXXT Z方向没有位移w=0三维问题变为平面应变问题xwzuywzvxvyuzwyvxuxzyzxyzzyy，xx1、基本概念与相关公式(3)应力和应变的关系-虎克定律 zxzxyzyzxyxyyyxxzzzzzzxxyyyyzzyyxxxxGGGEEE111111，E弹性模量；泊松比；G 弹性剪切模量。

3、1、基本概念与相关公式对于平面应力问题，虎克定律变为：应变和位移的关系：xyyyxxxyyyxxE2100010112 xvyuyvxuxyyyxx，2、单元刚度矩阵采用最小总势能法：对于由n个单元m个节点构成的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：011)(miiiineeiiuFuuuni，.321对应单元刚度矩阵对应单元载荷矩阵2、单元刚度矩阵对于平面应力问题，应变能：VxyxyyyyyxxxxedV21)(VTedV 21)(VTedV 21)(TTTTT，关键：构造应变矩阵的表达形式2、单元刚度矩阵kykkxkjyjjxjiyiixixykykjyjiyikykjyj

4、iyiyykxkjxjixikxkjxjixixxUUUUUUAUUUAUSUSUSyUUUAUSUSUSx2121)(21)(以线性三角形单元为例：xvyuyvxuxyyyxx等参公式kykxjyjxiyixkkjjiikjikjixyyyxxUUUUUUA00000021BUBU B BU U2、单元刚度矩阵B BU U VTedV 21)(VVTedVdV BUBUB BU U T TT T2121)(求关于节点位移的微分：1,2,.6kdVUUVkke，B BU UB BU UT TT T21)(得到单元刚度矩阵K(e)：B BVBVB B BB BK KT TT TVedV)(V是单

5、元的体积3、单元载荷矩阵对于最小总势能法：对于由n个单元m个节点构成的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：011)(miiiineeiiuFuuuni，.321对应单元刚度矩阵对应单元载荷矩阵关键：获得功的表达形式3、单元载荷矩阵集中载荷Q：kykykxkxjyjyjxjxiyiyixixTeQUQUQUQUQUQU Q QU UWW)(kjkxjyjxiyixeQQQQQQF)(3、单元载荷矩阵分量为px和py的分布载荷所做的功：如使用三角形单元表示位移，则分布载荷所做的功：AyxedAvpup)(WWu和v：x和y方向的位移；A：分布载荷作用范围的面积，其大小为单元厚度t

6、 和分布载荷作用边长的乘积。ATTedAp pS SU UWW)(yxppp pkkjjiiTSSSSSS000000S SkykxjyjxiyixUUUUUUU UATedAp pS SF F)(3、单元载荷矩阵-推导过程AyxedAvpup)(WWATedAp pu uWW)(kykxjyjxiyixkjikjiUUUUUUSSSSSSvu000000u uvuu uyxppp pSUSUu uT TT TT TT TS SU USUSUu uT TT TT TS SU Uu uATTedAp pS SU UWW)(推导过程：3、单元载荷矩阵-推导过程ATTedAp pS SU UWW)(

7、AyxkkjjiikykxjyjxiyixedAppSSSSSSUUUUUU000000)(WW3、单元载荷矩阵-推导过程AyxkkyjjyiiykkxjjxiixedAppSUSUSUSUSUSU)(WWAykkyjjyiiyxkkxjjxiixedApSUSUSUpSUSUSU)()()(WWAykxkyjxjyixiedApSpSpSpSpSpS)(F FATedAp pS SF F)(3、单元载荷矩阵沿ki 边：沿ij 边：沿jk 边：ATedAp pS SF F)(yxyxikpppptL002yxyxk jeyxyxijepppp0tLpppptL02002)()(F FF F，二

8、、四边形等参单元上面针对平面应力问题，采用最小总势能法，以线性三角形单元为例，推导获得了单元刚度矩阵和单元载荷矩阵。实际上，对于四边形等参单元，其方法类似，只不过过程更加繁琐，这里给出最终结果。二、四边形等参单元四边形等参单元的单元刚度矩阵：1111)(det)(21dJdADADtKTee2100010112E nmjinmjinmjinmjiyyyyxxxxyyyyxxxxJ)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(4112221121112112220000det1JJJJJJJJJA)1(0)1(0)1(0)1(0)1(0)1(0)

9、1(0)1(00)1(0)1(0)1(0)1(0)1(0)1(0)1(0)1(41Dte 单元厚度；三、轴对称问题轴对称问题：几何形状和载荷关于某个轴对称，可用二维轴对称单元进行分析。轴对称单元刚度矩阵的推导步骤与平面应力问题类似。差别在于，平面应力问题采用直角坐标系；而轴对称问题使用柱坐标系。轴对称三角形单元的刚度矩阵：BrdABKTe2)(四、ANSYS应用设有一支撑书架的钢托架，E29106lb/in2，。该托架上表面承受均布载荷，左端固定。试在给定的载荷和约束下，绘制托架变形后的形状，并确定托架的主应力和von Mises应力。四、ANSYS应用图8.6 钢托架示意图 四、ANSYS应用具体过程软件演示。五、结果验证基本原理基于静力平衡条件。具体操作可取其中一个截面，利用ANSYS计算出该截面上的受力情况，并对该截面进行积分，之后看计算结果是否和施加的外力相等，是否满足静力平衡条件。课堂总结推导了平面应力三角形单元的刚度矩阵和载荷矩阵；四边形等参单元和轴对称单元刚度矩阵；采用ANSYS软件对二维固体力学问题进行有限元分析的方法和步骤；平面固体力学问题有限元分析结果验证方法。作业布置对所学内容进行回顾、复习。