线性微分方程与常数变异法

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1、一阶线性微分方程 第四节 第十二章)()(xQyxPdxdy )()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上述方程称为上述方程称为齐次的齐次的.上述方程上述方程称为称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当一、一阶线性方程的定义一、一阶线性方程的定义例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 223,yyxy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.2dxyxydy我也是！.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy1ln|()ln|,yP x dxC 齐次方程的通解为：齐次方程的通解为：.)(dxxPCey1

2、.线性齐次方程线性齐次方程二、一阶线性微分方程的解法二、一阶线性微分方程的解法可分离变量的方程可分离变量的方程只写一个原函数2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy ,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy()().v xP x dxyee 即即与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:()()v xCeu x.)(dxxPCey常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设设 dxxPexuy)()(,)()()(

3、)()(dxxPdxxPexPxuexuy是方程是方程 的解，则的解，则).()(xQyxPdxdy yy 和和代代入入原原方方程程得得),()()(xQexudxxP ,)()()(CdxexQxudxxP 积分得积分得,)()()(CdxexQxudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程的通解公式公式为为:()()P x dxyQ x edxC ()()()()P x dxP x dxP x dxyCeeQ x edx 对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解()P x dxe 一阶线性非奇次方程解的结构一阶线性非奇次方程解的结构.sin

4、1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ 1dxxye ln|ln|sinxxxeedxCx Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解：解：例例1 1()()()P x dxP x dxyeQ x edxC sin xx 1dxxedxC 本章类本章类似积分似积分可不加可不加绝对值绝对值例例2 2322(1).1dyxydxx 求求方方程程的的通通解解解：解：322(1).1dyyxdxx 化为标准型：化为标准型：21dxxye 32ln(1)2ln(1)2(1)xxexedxC 32(1)x 21dxxe dxC 2ln(1)xe 2ln(1)xe 2(1)x

5、 2(1)x 2(1)?x3222(1)(1)(1)xxxdxC 122(1)(1)xxdxC 122(1)2(1)xxC32ln(1)2ln(1)2(1)xxyexedxC 5222(1)(1)xC x例例3.3.求方程求方程 的通解的通解.tan5dyxydx解法一解法一:一阶线性微分方程公式一阶线性微分方程公式cot xdxye 5cot x cot xdxedxC ln|sin|xe 5cot x ln|sin|xedxC sin x 5cot x 1sindxCx sin x 2cos5sinxdxCx 5sinCx 例例3.3.求方程求方程 的通解的通解.tan5dyxydx解法二

6、解法二:分离变量法分离变量法5tandydxyx 5tandydxyx 1ln|5|ln|sin|ln|yxC sin5.yCx2;2 sindyyxyxydx 例例4 4 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6

7、 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy dxxPdxxPeCdxexQy)()()(例例5 5：设曲线上任意一点设曲线上任意一点 P(x,y)处的切线与射线处的切线与射线 OP OP 以及以及y 轴围成图形的面积是常数轴围成图形的面积是常数a.求曲线的方程求曲线的方程.xPyoxA切线方程：切线方程：Yyy()Xx 令令 X=0,得得 A 点的纵坐标点的纵坐标.Yyxy 1|.2Sxyxya 2|2.xyx ya 22.xyx ya 212.ayyxx 22.xyx ya 212.ayyxx dxxPdxxPeCdxexQy)()()(11212dxdxxxaeed

8、xCx 312axdxCx 2122axxC 2122axxC (1);2yyeyyxe 例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解2yydxyxedye 2ydxxyedy()()()P y dyP y dyxeQ y edyC 11 2dydyyxeyeedyC 2yyyeyee dyC 2yeyC 20(2)()().xf t dtf xx 例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解2()()2f xfxx 两边求导，得两边求导，得22yyx(0)0.f 积分方程有时会蕴含定解条件积分方程有时会蕴含定解条件2 2xxyex e dxC 22(22).xxxCe 22(22)4.xyxxe

9、 例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解00()(1)().xxxy t dtxty t dt （3 3）设设y(x)当当x0 0 时可微，且满足时可微，且满足求求 y.00()()()(1)().xxy t dtxy xty t dtxxy x 200()()().xxy t dtty t dtx y x2()()2()().y xxy xxy xx yx 23.yxyx y 2310.xyyx 13ln|.xxyCe 两两次次求求导导()f x(,)0()(2)(),xF xxt f t dt()F x3 3、设、设在在上连续上连续，且且单调减少，单调减少，单调增加。单调增加。证明：证明：00()()2()xxF xxf t dttf t dt 0()()()2()xFxf t dtxf xxf x 积中()()x ff x 0()()0 xyf xFx 时时 由由单单调调减减少少得得0()()0 xyf xFx 时时 由由单单调调减减少少得得证明：证明：当当当当所以命题成立。所以命题成立。()f x()(0)()0fxxf xx （在在，之之间间）不能不能再次再次求导求导作业P 304 1(1),（2），(5),（6），(7),(9)2(1),(2),(3);6P 309 1(1);2(1),（2）;3P 315 1(1),(2),（3）;2(1);3