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1、一致最小方差无偏估计UMVUE的计算方法李强【摘要】本文给出了参数统计中一致最小方差无偏估计(UMVUE)的几种计算方法,并分别举例说明了这些方法的应用.期刊名称】泰山学院学报年(卷),期】2017(039)003【总页数】3页(P11-13)【关键词】UMVUE；完全充分统计量;条件数学期望【作者】李强【作者单位】泰山学院数学与统计学院,山东泰安271000【正文语种】中文【中图分类】O212.1在参数统计中，使参数的均方误差(MSE)最小的估计常不存在解决这个问题的办法就是在无偏估计类中寻找均方误差最小的，即一致最小方差无偏估计.然而，UMVUE的计算有时是很困难的.本文举例给出了一致最小
2、方差无偏估计的几种计算方法.定理11设(X)是g(0)的一个无偏估计对任何0E0,且对任何满足条件E0l(X)=0,对一切0E0的统计量l(X)，必有则(X)是g(0)的UMVUE.例1设X1,X2,.,Xn为从均匀分布U(0,0)中抽取的一组简单随机样本，求参数0的UMVUE.解首先易得T=X(n)是0的充分统计量是0的无偏估计，且8现设|(T)为任一零无偏估计，则有于是有将上式两端对0求导得l(0)0n-1=0,对一切00,故有1(0)三0.可见因此为0的UMVUE.定理21(Lehmann-Scheffe定理)设T(X)为一个完全充分统计量，若(X)为g(0)的无偏估计，且满足对一切0e
3、0,则(X)为g(0)的UMVUE.完全充分统计量法是计算UMVUE最常用的方法在使用中要具体问题具体分析下面我们分三类情形分别加以介绍这种计算方法的使用.直接“凑”法对于简单参数函数的UMVUE的计算，可以依据L-S定理，在完全充分统计量的函数中“凑”一无偏估计，即为UMVUE.例2用直接“凑”法解例1.解易得X(n)为完全充分统计量，且故所以由L-S定理立得为0的UMVUE.可见，此法比零无偏估计法简单得多.条件期望法由L-S定理计算UMVUE，如果参数函数比较复杂，无法通过观察“凑”出无偏估计量的话，有时需要计算条件数学期望.例3设X1,X2,.,Xn为从Poisson分布P(入)中抽取
4、的一组简单随机样本，求的UMVUE.解易得为完全充分统计量，由条件期望的性质及L-S定理知E口IX1二k|T口为所求参数函数的UMVUE下面计算此条件数学期望.所以为的UMVUE.待定函数法例4设X1,X2，Xn为从两点分布b(1,p)中抽取的一组简单随机样本，求pm的UMVUE，其中m0为自然数.解易得为完全充分统计量，由L-S定理知pm的UMVUE应为hm(T)满足E(hm(T)=Pm，下面确定函数hm.因为从而有若kvm,pk-m8(pfO),因此有hm(k)=0,k=0,1,.,m-1.于是另一方面，由二项分布的性质所以，比较上述两式的系数，有因此，pm的UMVUE为Cramer-Ra
5、o不等式提供了一种验证某些估计是UMVUE的方法当满足C-R不等式的条件时,由于无偏估计的方差不低于C-R下界因此，若某个无偏估计的方差达到了C-R下界，它必是一个UMVUE2-3.例5设X1,X2,.,Xn,为从Poisson分布P(入)中抽取的一组简单随机样本，用C-R不等式验证为入的UMVUE.解由于Poisson分布族为指数族，故C-R正则条件成立计算Fisher信息函数为故C-R下界为又为入的无偏估计，其方差达到C-R下界，故为入的UMVUE.注：若(X)达不到C-R下界，并不能说g(e)的UMVUE就不存在，而只能说用此法无法判别.相关文献】6000庖0底氓胆0竖田梓5|區却底氓乏(PU0)SQISRES一E1PUJIArosunsOO66F-H童田血卷帅恤很氓龙云煤帅恤共蚩挺豔Hsit总0OO0&-H童田科延底氓乏云煤酬蛊.州怅世已
一致最小方差无偏估计UMVUE的计算方法
