排列组合知识总结+经典题型

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1、排列组合知识总结+经典题型(1）知识梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事,有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步有关，要注意“步”与“步之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3

2、排列：从n个不同的元素中任取m（mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4排列数：从n个不同元素中取出m（mn）个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示。5排列数公式:特别提醒：(1)规定0! = 1（2）含有可重元素的排列问题。对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1，a2，。.。an其中限重复数为n1、n2nk,且n = n1+n2+nk ， 则S的排列个数等于。例如:已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数。6组合：

3、从n个不同的元素中任取m（mn）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.7组合数公式：8两个公式：特别提醒:排列与组合的联系与区别。联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别:前者是“排成一排”，后者是“并成一组，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1。六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1)甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；(4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端,乙不站右端。考点二：组合问题例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛。在下列情形中各有多少

4、种选派方法?（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；(3）队长中至少有1人参加;(4）既要有队长，又要有女运动员.考点三：综合问题例3。4个不同的球,4个不同的盒子，把球全部放入盒内。（1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A。70 种 B.80种 C。100 种 D。140 种2。亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不

5、同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A。48 种 B。12种 C。18种 D。36种3.从0，1,2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A.48 B.12 C。180 D.1624.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ )A.150种 B。180种 C。300种 D.345种5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( ）A。6 B。12 C.

6、30 D.366。用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A324 B。328 C.360 D.6487.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为( ）A.85 B.56 C.49 D。288.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）A.18 B。24 C.30 D.309。3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ )A.360 B.288 C.216

7、 D.96参考答案：例1解:（1）方法一：要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法三:若对甲没有限制条件共有种站法,甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法:（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有种站法，再把甲、乙进行全排列,有种站法，根据分步乘法计数原理,共有方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站

8、法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法,共有(3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中,有种站法，故共有站法为也可用“间接法”,6个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有。（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列,有种,然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有站法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行

9、排列,有种方法，故共有站法.（5)方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端,有种,再让其他4人在中间位置作全排列,有种，根据分步乘法计数原理,共有站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法.（6)方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种,共有站法。方法二:以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种,故共有站法。例2解 （1)第一步：选3名男运动员，有种选法。第二步：选2名女运动员,有种选法。共有种选法.(2)方法一 至少1名

10、女运动员包括以下几种情况：1女4男,2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二 “至少1名女运动员的反面为“全是男运动员”可用间接法求解。从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种。所以“至少有1名女运动员”的选法为.(3）方法一:可分类求解：“只有男队长的选法为；“只有女队长”的选法为；“男、女队长都入选的选法为；所以共有种选法。9分方法二：间接法:从10人中任选5人有种选法。其中不选队长的方法有种。所以“至少1名队长”的选法为种.9分（4）当有女队长时，其他人任意选,共有种选法。不选女队长时，必选男队长，共有种选法。其中不含女运动员的选法有种，所以不

11、选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有种.例3解 (1）为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法?”即把4个球分成2，1，1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有（2)“恰有1个盒内有2个球，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法。（3）确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成（3,1）、（2，2)两类,第

12、一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法。故共有种。当堂检测答案1。从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A。70 种 B.80种 C。100 种 D.140 种解析:分为2男1女,和1男2女两大类，共有=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种解析:合理分类

13、，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选,先从两人中选1人,然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法.(2)小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有种方法.共有24+12=36种选法.解题策略：1.特殊元素优先安排的策略. 2.合理分类与准确分步的策略。 3。排列、组合混合问题先选后排的策略。3.从0，1,2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ( ）A。48 B。12 C.180 D。162解析：分为两大类:（1）含有0，分步1，从另外两个偶数中选一个，种方法,2。从3个奇数中选两个，有种方法

14、;3.给0安排一个位置,只能在个、十、百位上选，有种方法；4.其他的3个数字进行全排列，有种排法，根据乘法原理共种方法。（2）不含0,分步，偶数必然是2，4 ；奇数有种不同的选法，然后把4个元素全排列，共种排法，不含0 的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得解题策略:1。特殊元素优先安排的策略。 2。合理分类与准确分步的策略. 3.排列、组合混合问题先选后排的策略。4。甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学,2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种 B.180种 C。300种 D。345种解析：4人中恰有1名女同学的情况

15、分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组,则所有不同的选法共有种选法.解题策略：合理分类与准确分步的策略。5。甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( ）A。6 B。12 C.30 D。36解析：可以先让甲、乙任意选择两门,有种选择方法,然后再把两个人全不相同的情况去掉,两个人全不相同,可以让甲选两门有种选法，然后乙从剩余的两门选，有种不同的选法，全不相同的选法是种方法，所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法.解题策略：正难则反,等价转化的策略.6.用0 到9 这10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A.324 B.32

16、8 C.360 D。648解析：第一类个位是零，共种不同的排法. 第二类个位不是零,共种不同的解法。解题策略:合理分类与准确分步的策略。7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（ ）A.85 B.56 C.49 D。28解析：合理分类,甲乙全被选中，有种 选 法，甲乙有一个被选中,有种不同的选法，共+=49种不同的选法.解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略，（2）合理分类与准确分步的策略。8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为（ ）A.18 B。2

17、4 C。30 D。30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分法，然后三组进行全排列共种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共种不同的排法。所以总的排法为种注意:这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。解题策略:1。正难则反、等价转化的策略2.相邻问题捆绑处理的策略3。排列、组合混合问题先选后排的策略；9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A。360 B.288 C.216 D。96解析：分析排列组合

18、的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从3个女生中选两位，有种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法;这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有中不同的排法,然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有种不同的排法，共有种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉.甲可能站左端，也可能是右端,有种不同的方法，然后其他两个男生排列有种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有种不同的排法。共种不同的排法， 故总的排法为种不同的方法。 本题难度大，体现的排列组合的解题策略多： (1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；（5)相邻问题捆绑处理的策略;（6)不相邻问题插空处理的策略。解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏，辩证思维,多角度分析，全面考虑。对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析,设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决.