高等数学第五版第一章ppt12

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1、1数列的概念数列的概念收敛数列的性质收敛数列的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 数列极限的概念数列极限的概念概念的引入概念的引入第二节第二节 数列的极限数列的极限第一章第一章 函数与极限函数与极限2一、概念的引入一、概念的引入 极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量,从有限到无限从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第二

2、第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永远也取不完这样永远也取不完.数列的极限数列的极限 中写道中写道:3刘徽刘徽(三世纪三世纪)的的“割圆术割圆术”中说中说:意思是意思是:设给定半径为设给定半径为1尺的圆尺的圆,从圆内接正从圆内接正6边边形开始形开始,每次把边数加倍每次把边数加倍,屡次用勾股定理屡次用勾股定理.求出求出正正12边形、边形、等等正多边形的边长等等正多边形的边长,正正24边形边形.边数越多边数越多,圆内接正多边形越与圆接近圆内接正多边形越与圆接近,最后与最后与圆周重合圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误则正多边形周长与圆周

3、长就没有误差了差了.数列的极限数列的极限 “割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.”4正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAASR数列的极限数列的极限5如如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n定义定义 按照自然数的顺序排列的一列数按照自然数的顺序排列的一列数,21nxxx简记为简记为的的称为数列称为数列其中其中nnxx通项通项(generalterm),或者或者一般项一般项.,nx数列的极限数列的极限二、数

4、列二、数列(sequence of number)的概念的概念6可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn 数列的数列的(两种两种)几何表示法几何表示法:数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 n的函数的函数:)(nfxn 整标函数整标函数或或下标函数下标函数(1)数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列.数列的极限数列的极限7(2)在平面上在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注注 不可将这串点连成曲线不可将

5、这串点连成曲线.onxn 1 2 3 4则数列的几何意义是则数列的几何意义是数列的极限数列的极限平面上平面上一串分离一串分离的点的点.8三、数列极限三、数列极限的概念的概念.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnn即即,511,411,311,211,11 56,43,34,21,2问题问题当当 无限增大无限增大时时,是否是否无限接近无限接近于某一于某一确定的数值确定的数值?nxn如果是如果是,当当n无限增大无限增大时时,nx无限接近无限接近于于1.数列的极限数列的极限如何确定如何确定?9如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.1 nx1)1)1(1(1 nn1 nx可

6、以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,则要看则要看1 nx“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?|.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.数列的极限数列的极限当当n无限增大无限增大时时,无限接近无限接近于于1.nx10,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nxnx

7、n1|1|数列的极限数列的极限11定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在正整数总存在正整数N,使得对于使得对于 时的一切时的一切Nn ,nx不等式不等式 axn成立成立.收敛收敛于于a(converge to a).nx或称数列或称数列 记为记为,limaxnn 或或).(naxn那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的的极限极限(limit),如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列就说数列发散发散(diverge).数列的极限数列的极限12,有有关关与与给给定定的的 N注注xn有没有极限有没有极限,一般地说一般地说,是是任任意意给

8、给定定的的正正数数 但是一旦给出之后但是一旦给出之后,它就是确定了它就是确定了;主要看主要看“后面后面”的无穷多项的无穷多项.axn有有,时时当当Nn ,0 ,0 NN 定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号将将axnn lim的定义可缩写为的定义可缩写为:数列的极限数列的极限(1)(2)(3)(4)“前面前面”的有限项不起作用的有限项不起作用,;的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn ;,将越大将越大越小越小 N 13x1x2x2 Nx1 Nx3x数列极限的几何意义数列极限的几何意义 2 a aa,时时当当Nn 数列极限的定义通常是用来进行推理数列极限的定义通常是用来进行推

9、理注注需要预先知道极限值是多少需要预先知道极限值是多少.和证明极限和证明极限,而不是用来求极限而不是用来求极限,因为这里因为这里.)(落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个N数列的极限数列的极限 axan)(Nn ),(aUxn axn即即)(Nn ,),(内内都落在都落在所有的点所有的点 aaxn14例例.1)1(lim1 nnnn证明证明1)1(1 nnnn1,0 ,1 nx要要,1 n只要只要 1n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn有有.1)1(lim1 nnnn即即证证1 nx 虽然是可以任意小的正数虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题但使

10、用定义证题时时,对于给定的对于给定的 总暂时认为它是固定的总暂时认为它是固定的,按照这按照这个个 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N.,解不等式解不等式 数列的极限数列的极限15例例证明数列证明数列 以以 0为为极限极限.）、321(2cos1 nnnxn,0 证证要使要使02cos10 nnxn由于由于02cos1 nn,1 n只要只要,1 n或或,1 N取取,时时则当则当Nn 有有.02cos1 nn02cos1lim nnn即即 为了简化解不等式的运算为了简化解不等式的运算,常常常把常把 作适当地放大作适当地放大.axn.2cos1 nnn1 数列的极限数列的极限用定义证数列极限存在

11、时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 16例例.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.数列的极限数列的极限17例例.10,0lim qqnn其中其中证明证明证证0 ,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq有有.0lim nnq,lnlnqn 为了使为了使只需使只需使),10(不妨设不妨设数列的极限数列的极

12、限181.有界性有界性如如,1 nnxn数列数列nnx2 数列数列有界有界;无界无界.定义定义,nx对数列对数列若存在正数若存在正数M,|成立成立Mxn 数数n,恒有恒有称为无界称为无界.则称数列则称数列 有界有界;nx 数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 都落在都落在nx,MM 闭区间闭区间 上上.否则否则,使得一切自然使得一切自然数列的极限数列的极限四、四、收敛数列的性质收敛数列的性质19定理定理1 1证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11 axan即有即有,max,n则则对对一一切切自自然然数数 .有有界界故故n

13、x有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件,推论推论注注收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界.数列的极限数列的极限无界数列必定发散无界数列必定发散.不是充分条件不是充分条件.,1 a1 a M记记,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn 皆有皆有202.唯一性唯一性定理定理2 2证证,limaxnn 设设由定义由定义,;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn|baaxbxnn .2 时时仅当仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.每个每个收敛收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限.)()(axbxnn

14、,limbxnn 又又数列的极限数列的极限才能成立才能成立.,021NN 使得使得21例例.)1(1是发散的是发散的数列数列证明证明 nnx证证,21 取取,0 N则则,时时即当即当Nn 区间长度为区间长度为1.,1,1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内.,是有界的是有界的nx数列的极限数列的极限21 a21 aa,时时当当Nn ,21成立成立有有 axn 反证法反证法假设数列假设数列nx收敛收敛，则有唯一极限则有唯一极限a 存在存在.),21,21(aaxn但却发散但却发散.22数列的极限数列的极限3.保号性保号性定理

15、定理3 3 如果如果,limaxnn 且且0 a,0 N则则,Nn 当当0 nx有有),0(a).0(nx证证0 a由定义由定义,02 a,时时当当Nn 对对,0 N,2aaxn 有有 从而从而 nx2aa 2a.0 推论推论 如果数列如果数列 nx从某项起有从某项起有0 nx),0(nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0(a用反证法用反证法23在数列在数列 中依次任意抽出中依次任意抽出无穷无穷多项多项:nx,21knnnxxx所构成的新数列所构成的新数列)(21 knnn其下标其下标knx这里这里 是原数列中的第是原数列中的第 项项,kn在子数列中是在子数列中是第第k项项,k4.收敛

16、数列与其子数列收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系间的关系knx的的nx子数列子数列.叫做数列叫做数列数列的极限数列的极限kn 24*,axkn证证knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列.若若,limaxnn 则则,0 ,N,Nn 当当 axn成立成立.现取正整数现取正整数 K,使使,N 于是当于是当 k时时,有有 knN 从而有从而有由此证明由此证明 .limaxknk *NNx定理定理4 4设数列设数列数列的极限数列的极限,0 正整数正整数 K,axknKnKKnKnxKnKk 收敛数列的任一子数列收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛于同一极限.25 由此定理可知

17、由此定理可知,但若已知一个子数列发散但若已知一个子数列发散,或有两个子数列或有两个子数列敛于敛于a.nx12 kx2kx收敛于不同的极限值收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.数列的极限数列的极限一般不能断定原数列的收敛性一般不能断定原数列的收敛性;还可以证明还可以证明:数列数列的奇子数列的奇子数列和偶子数列和偶子数列均收敛于同一常数均收敛于同一常数a 时时,则数列则数列nx也收也收仅从某一个子数列的收敛仅从某一个子数列的收敛(证明留给做作业证明留给做作业)26例例 试证数列试证数列 不收敛不收敛.ncos证证 因为因为 的奇子数列的奇子数列 ncos不收敛不收敛.收敛

18、于收敛于,1,1,1 而偶子数列而偶子数列 ,1,1,1 ncos所以数列所以数列数列的极限数列的极限 收敛于收敛于,1,127数列数列数列极限数列极限收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系.五、小结五、小结数列的极限数列的极限研究其变化规律研究其变化规律;极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;有界性有界性,唯一性唯一性,保号性保号性,28数列的极限数列的极限思考题思考题 31 axn,0 ,0 N“”恒有恒有是数列是数列nx收敛于收敛于a的的().A.充分但非必要条件充分但非必要条件B.必要但非充分条件必要但非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件(1)C(2).(lim,lim2 nnnnaKa则则若若KA.KB 2.2.KCD.不确定不确定A,时时当当Nn 29作业作业习题习题1-2(301-2(30页页)2.3.(1)(3)(4)4.5.6.数列的极限数列的极限