第2章 质点组力学

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1、第二章 质点组力学2.1 质点组（1）质点组的内力和外力1.质点组（又称质点系）：若干有相互作用的质点的集合。2.内力与外力：内力质点组中质点间的相互作用；外力质点组外物体与组内任一质点的作用力。3.内力所满足的运动定律： 牛顿第三定律：，。 牛顿第二定律。4.孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。5.质点组与独立质点集的区别：犹如绳子（或刚体）与沙子。（2）质心1.质心概念的必要性： 逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算； 况且内力一般是未知量从而问题更复杂。2.质点组研究方法：从整体上去把握质点组，但不是利用统计方法，而是以点代体，

2、即寻找一个与“整体”等当的特殊点（或说代表点）质心来研究。3.质点组质心的定义：相应的分量形式为， ， 。对于连续体的质心，上述公式中的和号应改为积分：， ， 。当密度为常数时，质心几何中心；当重力加速度为常矢量时，质心重心。4.命题：对于只有两质点1和2组成的质点组而言，其质心位置在1与2这两点连线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、2的质量。2.2 动量定理与动量守恒律（1）动量定理设质点组由个质点组成，其中任一质点的质量设为，它对惯性参照系坐标原点的位矢为，作用在质点上诸力的合力为，对质点组而言，该合力又分为合内力及合外力（上标i和e，分别取自英文interior和exterior的

3、首字母）。应用牛顿第二定律，质点有运动微分方程，（）将这个方程加和起来有由上一节根据牛顿第三定律已知合内力为，于是上式变为对此式左边可进一步改写为式中是质点组的动量。所以。总之，将质点组中每一质点的微分方程加和，且考虑到内力总和为零，得质点组的动量定理：式中。【注】：更普遍的推导是直接使用质点的动量定理参见：中山大学数学力学系力学教研室，力学教程，人民教育出版社，1978：对于系统中的每一个质点因有动量定理，（）把所有这些方程相加得其中，表示质点组的总动量。那么有 。 (A)假如我们承认质点组的内力之和的条件，则有质点组的动量定理： 。 (B)现在来补充说明这一条件。.首先，我们这里不能根据牛

4、顿第三定律来提供这一条件。因为如果承认牛顿第三定律，则当然可以由（A）式得到（B）式，但是这就违背了我们在这里进行注解的初衷：我们原本就是想撇开牛顿去得出（B）；其次，第一章中已指出，牛顿第三定律实际是一个关于力的性质的很强的假设，不是一个物理上普遍的定律,物理学中有些力并不符合这个定律（例如洛仑兹力）；另外，第一章中我们还指出，就现今物理学的观点看，牛顿第三定律所说的“相互作用是同时的”值得怀疑，它隐含着力的超距作用机制在内，这是第三定律用到近代物理中遇到的又一个困难。实际上力并不能即时跨越空间发生作用，而是以不大于光速的有限速率传递的。.迄今为止，人们发现对于一个孤立的系统（即没有受到外力

5、作用的系统），动量都守恒，也就是说，一系统即使不服从牛顿定律，但只要是孤立的，动量守恒定律仍成立。所以，动量守恒定律可以不依赖于牛顿第三定律而独立存在，而且是比牛顿定律更为基本的（或说更为普遍的）物理规律。质点组的动量守恒律可以被表为：如果作用于质点组的总外力为零，则质点组的总动量不变，而不论内力是多么复杂地相互作用着（注意这里动量守恒是针对整个质点组来说的，至于组内各个质点的动量则因各自所受到的内力和外力之和未必也是零而不守恒）。这样就可以由动量守恒律得出上述内力之和为0即这一条件来（也许有人会问：当总合外力为零时的确可以由动量守恒律以及（A）式推出条件来，但当总合外力不为零时动量不守恒，就

6、无从使用动量守恒律了呀？其实这需要注意另一个不论是动量定理还是动量守恒律都已隐含着的关于主动力的条件，即我们这里所说的外力与外力、内力与外力（包括总合内力与总合外力）之间都应是相互独立而不关联的。总不至于认为“当总合外力为零时总合内力为零而总合外力不为零时总合内力也不为零”吧？！果如此的话，那么对于质点组中的任一个质点而言，由于内力也算属于是外力，启不意味着这质点所受到的某些外力（即外部主动力）之间会是“共存亡”的？其实这里的道理就如同微分方程由独立的初始条件可确定积分常数那样）。.那么动量守恒律与动量定理是什么关系？是不是动量守恒律又比动量定理更基本呢？不是的。其实在刚才说由动量守恒律可提供

7、条件并由（A）推出（B）时已看到，除了动量守恒律外还应用了单个质点的动量定理。实际上不论是正文还是刚才所注的推导都不是由一般到特殊的推理，推导过程中都临时插入了除前提以外的条件（如牛顿第三定律或动量守恒律等），因此严格意义上只是“引出”而不是“推出”。反过来，牛顿第二定律及单个质点的动量定理却确实能作为质点组动量定理的特例。可见，相比起来，质点组动量定理最弱、最基本。引出式的“推出”只是出于教学上的考虑，动量定理作为更普遍的公理其实也不需要去推出。.京.（2）质心运动定理根据质心的定义并求导运算 质点组动量质心动量，即 （式中）这就是质心运动定理。该定理的物理意义即：质心的运动，就犹如这样的一

8、个质点的运动，这个质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点组上所有外力的矢量和。（3）动量守恒律质点组不受外力或合外力为0时，由动量定理可得 恒矢 恒矢守恒律还适于诸外力仅在某一轴上投影之和为零的情形。2.3 动量矩定理与动量矩守恒律（1）对某一固定点的动量矩定理其中，。（2）动量矩守恒律 当外力对固定点的合力矩为零时，有恒矢量守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。（3）对质心的动量矩定理作固定坐标系和动坐标系时，将这一方法应用到这里来（将质心作为动坐标系原点），有牵连（惯性力绝对相对用左叉乘上述方程组且对求和，因内力矩合之为零且牵连矩（惯性力矩）合之为零，固有即有质点组

9、对质心的动量矩定理：2.4 动能定理与机械能守恒律（1）质点组的动能定理这里讨论质点组动力学的第三个基本定理（前两个是：质点组动量定理；质点组动量矩定理）质点组动能定理。我们已知了质点的动能定理（微分形式）应用到质点组中的任一质点上就是对求和，就得质点组动能定理【注】：在动量定理和动量矩定理中，内力均因相等相反而消去，但在这里动能定理中，除了某些特殊情况下（例如刚体情况下），虽然内力也能消去，却一般不能导致内力所作的元功相互抵消，而动能定理右边并不是力的加和，而是功的加和，故一般情况下右边第一项是不等于零的。从而也可推得，质点组即使不受外力作用，或虽受外力但合外力为0时，质点组的动能也不一定守

10、恒。作用于系统的外力作了正功，不一定能增加系统的总动能。必须使外力所作的功和内力所作的功之和大于零，系统的动能才会增加。仅仅是内力作功也可以使系统动能增加。例如，汽车从静止变为运动或炸弹的爆炸，正是由内力作功所致；又如，大炮发射炮弹时，水平方向动量虽然守恒，但相应的动能并不守恒，因为两者原来都是静止的，当炮弹发射时，炮身反冲，两者都有速度，也即两者都有动能。关于内力所作元功之和一般不能抵消的原因，可用下面两个质点的情况来加以说明。设第一个质点A相对于坐标原点的位矢是，第二个质点B相对于的位矢是，质点A所受内力为，质点B所受内力为，且（如图），则 式中是质点B相对于质点A的位矢。故只有当时，才等

11、于。而意味着质点间距离不能改变，即为刚体。对于一般质点组来讲，故内力作功一般不等于零。 ABr1r2r（2）质点组机械能守恒律由上述已知，对质点组而言，内力作功之和一般并不等于，故若只有外力是保守力而内力并不是保守力时，则质点组的机械能不守恒。只有作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力做功）时，机械能才守恒：其中为总能量，为质点组动能，为质点组势能（它包括内力的势能和外力的势能）。（3）柯尼希定理将质点的绝对运动分解成质点相对质心的相对运动和质心相对绝对原点的牵连运动，可得其中为质点组总质量。各质点相对质心运动的动能质心的动能（4）对质心的动能定理即质点组对质心动能的微分，

12、等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。2.5 两体问题1. 质心的动力学方程：zSCrrsPrcrpyOx因为两式相加，得此式可改写为又由质心定义，知这时质心位矢为，所以上式变成 (2.5.5)此即本问题中系统()的质心的动力学方程。2. 两个结论：下面来推导两个结论： 系统()的质心作惯性运动； 太阳和行星都绕质心作圆锥曲线运动。推导第个结论：方程(2.5.5)右边为0，即合力为0，由牛顿第一定律即得知结论。推导第个结论：系统只含两个质点，质心在与的连线上。令，则行星对的动力学方程为 （2.5.6）因为质心，故（见2.1（2）中的命题），从而有，由此（2.5.6）式变为此即行星

13、相对于质心的动力学方程。可见力仍与距离平方成反比，故由1.9知行星绕()系统的质心作圆锥曲线运动。太阳的情形与之类似。3. 行星相对太阳的运动方程：因太阳相对于惯性系的绝对动力学方程为式中。而行星相对于惯性系的绝对动力学方程为将前式乘以、后式乘以，然后后者减去前者，得 （2.5.8）但，所以上式变为消去，得行星相对于太阳的动力学方程（形式1） （2.5.9）式中。4. 化两体问题为单体问题：就（2.5.9）看，可认为太阳不动，但它的质量却不等于，而增大为。不过这时常数对各种行星并不一样，因为其中含有行星的质量。方程（2.5.9）也可等价写为（见（2.5.8）式） （2.5.10）这也是行星相对

14、于太阳的动力学方程（形式2）。这时也认为太阳不动，太阳质量仍为，但行星质量却由减小为。常把上述称为折合质量（意为对行星质量的折合）。这种折合的方法就是一种把多体问题化为单体问题的方法。2.6 质心坐标系与实验室坐标系我们已遇到了两种散射问题，一种是单体问题（如前面第一章中谈到的质点散射问题），另一种是两体问题（如本章上节所讲的太阳行星问题以及通常所常见的大多数碰撞问题）。上节已指出，两体问题可以化为单体问题（即化为认为其中一个不动，而把另一个的质量改为折合质量）。但是并非二体问题的任何方面的结果都能简单地用折合质量代换实际质量来求得。如散射角的求解。这时，由于散射核的反冲，致使由实验室测得的散

15、射角与等效单体问题的散射角不同，而后者又不能由实验直接测得，因此在计算散射截面时，便遇到困难。在单体问题下散射角如图中所示，它即被散射体在散射前后之间所偏转的角度；而在两体问题下散射角如图中所示，它即两体间相对位矢在散射前后之间所偏转的角度。可在实验室测得，而则要由等效单体问题计算出来。这里我们来阐明二者关系。实验室坐标系：即立足于实验室中观察散射过程的静止坐标系。质心坐标系：即立足于质心上观察散射过程的动坐标系。设质量为的质点1以速度被另一质量为的静止质点2散射。此两质点的质心在散射前后都将沿方向以速度运动。在散射前，有由于，所以质心速度 （2.6.1）此时质点1相对于质心的速度的量值为而质

16、点2相对于质心的速度的量值则为故有从质心坐标系看，由动量守恒律，两质点散射后必将沿相反方向运动，而质点1散射后的速度与散射前的速度之间的夹角就是，如图（a）所示.同一现象,从实验室坐标系看,就完全不同.图(b)画出了从实验室坐标系看到的现象,这时质点1散射后的速度是,它与之间的夹角是.VCC图(b) 实验室坐标系图(a) 质心坐标系下面来求与的关系。由相对运动关系，有（见图 2.6.3）写成分量形式，则为两式相除，得 （2.6.7）OyxC图 2.6.4V图 2.6.3在图2.6.4中，C为质点1及质点2的质心，它对实验室坐标系原点O的位矢为，而质点1及质点2对C的相对位矢为及，质点2相对于质

17、点1的位矢为。由质心定义知取对时间的微商，得式中是折合质量。散射后，当两质点远离到无引力场作用时，因系统是保守的，这时二质点相对速度的量值必与其起始时二粒子的相对速率即的量值相等，即 （2.6.10）又由（2.6.1），即质心速度知 （2.6.11）把（2.6.10）及（2.6.11）代入（2.6.7），得 。 （2.6.12）结果应用：先看在单体问题上的应用。由上式可知，当时，有。这就是单体问题的散射角状况。重靶（例如原子核）仅有很小的反冲，几乎与固定质心类似，卢瑟福散射就属于这种情况。再看在一种特殊的两体问题上的应用。设两体质量相等，这时上式变为 。这就是该特殊两体问题的散射角状况。中子质

18、子散射就属于这种情况。2.7 变质量物体的运动（1）变质量物体的运动方程这里考虑质量是时间的函数，求这种变质量物体的动力学方程。设时物体质量为，速度为。另有一微小质量，速度为。在时间间隔内与相合并，合并后的共同速度为。作用在及上的合外力为.由质点组动量定理（广义的牛顿定律）得 （2.7.1） （2.7.2）这就是变质量物体运动的基本方程。由上式可知：若，则 ； （2.7.3）若，则 。 （2.7.4）注意，（2.7.3）式的条件，相当于。这时很自然地有。又注意，（2.7.4）式虽与质量为常值的运动方程式形式相同，但实质不同，这里一般为时间的函数。【注】：注意这里的“变质量”是指当物体运动时质量

19、随时间连续地变化，不可与相对论中的质量随速度而变化相混淆。对于我们这里一个变质量物体来说，质量其中应为的连续函数（可为显函数，也可能通过坐标或速度而为的隐函数）。这里一般情况下，为什么是（2.7.2）式，而不是（2.7.3）式？请注意这里的变质量物体运动问题所给的条件中，是指作用在及上的合外力，而不是仅仅作用在上的合外力。如果我们把分解为，其中是作用在上的合外力，是作用在上的合外力，那么我们就可把（2.7.1）式等价地写成是由与之和。这就是说，如果分别考察和各自的变质量运动过程（和的整个合并过程被等价地看成是“变成”和“变成”这两个单一质量变化过程的迭加），那么动量定理形式的方程都是成立的，即

20、有 ， (A) 。 (B)这时和作为质点组时形为的质点组动量定理也应成立，这具体地也就是（A）+（B）应该成立：。展开就有 (C)由于（因为失去质量的变化率正就是得到质量的变化率的负值）并且（因为问题中实际设定了是不随时间而变的，为一常矢量），所以(C)式变成或这就是（2.7.2）式。可见，对于这里变质量问题，不论是质点还是质点组，相应的动量定理都仍然成立。在变换不同角度看问题时，要注意准确把握问题各个量间的关系，特别要区分质点和质点组各自所属量的对应。.京.（2）火箭现在就应用变质量物体运动的基本方程（2.7.2）来讨论火箭问题.方程（2.7.2）可改写为 （2.7.5）即 (2.7.6)此

21、称密歇尔斯基方程。式中是放出物质(废气)相对于运动物体(火箭)的速度,是每秒钟放出的质量,而 (2.7.7)是放出物质引起的反作用力(即喷射废气产生的推力)。由(2.7.7)可知,要增加火箭的推力,应从提高或着手。2.8 维里定理本节初步利用适于大数目对象的统计性方法来研究质点组的运动。对个质点的质点组，其中任一质点的基本运动方程（动量定理）为 （其中） （2.8.1）设 （2.8.2）求对时间的导数，得 （2.8.3）（2.8.3）右边第一项可变为而（2.8.3）右边第二项可变为因此 （2.8.4）对上式求时间平均值（依积分中值定理）:或 （2.8.5）当为周期运动（为一周期）或所有质点的坐标和动量均为有限值但取足够长时，则上式左边很小，几乎为零。故在这两种情况下，我们有如下的维里定理：克劳修斯称为维里（也叫均功）。维里定理的意义：在长时间间隔内，质点组的动能对时间的平均值取负号后等于作用在此质点组上力的维里。16