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1、概率论基础知识第四章 随机变量的数字特征一 数学期望年龄 18 19 20 21 人数 5 15 15 5 40 4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：若令x表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x的分布律为x 18 19 20 21 p 于是，x取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x为离散型随机变量，其分布律为如果级数 绝对收敛，则此级数为x的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)= 意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律
2、分别为：X1 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 X2 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 问谁的平均中环数高？解：甲的平均中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X1) E(X2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。例3：设 ，求E(X)解：由于 ，其分布律为 ，k=0,1,2,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的
3、平均数？X4567 n P0.20.8 0.2解：令X表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于 ,求导数将x=0.8代如上式，便得 将此结果代入原式便得：（次）4.1.2连续型随机变量的数学期望 绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E(X)，即 ， 例7：设风速V是一个随机变量，且VU0,a，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数： 这里a,k均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。W的分布函数为两边求导，使得 进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度w(z)，而根据V的概率密度
4、v(v)也可直接求出W的数学期望值，即4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1) 如果X为离散型随机变量，其分布律为 ，且级数 (2) 如果X为连续型随机变量，其概率密度为(X)，且积分 绝对收敛，则有 证略X -1 01/212P1/3 1/61/61/121/4例8：已知X的分布律为求： 解： 高等数学中级数的求和很关键！例9：设 ，求 解： （令 m=k-2）例10：设 ，求 解：由于X的概率密度为 于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知， 并已知每售出一吨此种商品，可以为国家
5、挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数准备实际需要=剩余-由于 ，即其概率密度为 于是国家的平均收益为令 解得 a=3500（吨）但 ，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。2.二维随机变量函数的数学期望定理2.设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y) （1）如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为 （2）如果（X，Y）为二维离散型随机变量(,y) 证略。例12.设(
6、X,Y)的概率密度为试求E( )4.1.4数学期望的性质性质1.若c为常数，则E(c)=C性质2.若c为常数，X为随机变量，则E(cX)=cE(X) 性质3.设X,Y为任意两个随机变量，则E(XY)=E(X) E(Y)推广：设 为n个随机变量，则有 性质4.如果X,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y) 推广：如果n个随机变量X1,X2,Xn相互独立，则有则有 。例13.有一队射手9人，每位射手击中靶子的概率都是0.8，进行射击时各自击中靶子为止，但限制每人最多只打三次，问平均需要为他们准备多少发子弹？解：令 表示第i名射手所需的子弹数i=1,2,9X为9名射手所需的子弹总数，显然 Xi
7、123p0.80.20.8=0.161-0.8-0.16=0.04而 的分布律为于是 由性质3便可求得平均所需准备的子弹数： 即平均需准备12发子弹。二 方差4.2.1方差的概念意义：D(X)表示X取值相对于平均值E(X)的分散程度 离散就求和 连续就积分4.2.2 方差的计算1.由方差定义直接计算(2)若X为连续型随机变量，其概率密度为(),则分部积分法GD 2.由下列重要公式计算证： GD注意：记忆常见分布的数学期望和方差（最好都推导一遍）例2.设 求 解：前面已求得 于是例3.设 解：前面已求得 ，于是4.2.3方差的性质（注意：相加时期望没要求相互独立）思考：如果二者独立D(X-Y)=
8、D(X)-D(Y) ?实际上D(X-Y)=D(X)+D(Y) 性质4.设X为随机变量，则D(X)=0的充分必要条件为其中c为常数。例4.设X为随机变量，E(X),D(X)存在，又设 ， 例5.设XB(n,p),求E(X), D(X)解：设在贝努里试验中，事件A出现的概率为p,将此贝努里试验独立重复进行几次，构成n重贝努里试验,令Xi01i=1，2，n另一方面，令X表示n重贝努里试验中事件A出现的次数，则XB(n,p) 4.2.4切比雪夫不等式定理1：设X为随机变量，且E(X),D(X)存在，则对任意实数 ， 成立证：只证X为连续型随机变量的情况设()为X的概率密度，则有例6.设电站供电网有10
9、000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。解:令X表示夜晚同时开着灯的数目，XB(10000,0.7)可用车比雪夫不等式进行估计此概率4.2.5常用分布的数学期望与方差以下结果要熟记1. 二点分布XB(1,p)X010 q=1-p, E(X)=p, D(X)=pqpqp2. 二项分布XB(n,p).三 协方差及相关系数4.3.1协方差1协方差的概念滚动滚滚动 2.协方差的性质滚动例2：甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和Y (单位：百个)已知（X，Y）的分布律和边缘分布律由下表给出：XY1231
10、0.20.10.010.3120.150.300.060.5130.030.050.100.180.380.450.171 滚4.3.2相关系数1相关系数的概念例3： 解：由前面得到的结果可知 ，且2 相关系数的性质性质1 性质2 证： （ ）相关系数为0，能否说二者无关了？NOX -1 0 1 P 例4：设X的分布律为解： 滚动于是 而 所以 万学教育公共课事业部1/2Pi滚动 滚动问题：相关系数到底说明什么问题？似乎并不能完全反映两个变量的相关程度。由此问题引出性质3相关系数实际上叫“线性相关系数”更准确滚动讨论如下：积变偶不变，符号看象限（1） （2） 。（3） 。性质3 滚动 4.3.
11、3协方差矩阵为（X1，X2，Xn）的协方差矩阵，简称为协差阵。性质1. V为对称阵，即Vij=Vji,一切i,j2. V主对角线之 元素为X1,X2,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,n滚动滚动四 n维正态分布4.4.1 n维正态分布的概率密度对二维正态分布的随机变量（X，Y），其概率密度为滚动可见，（X，Y）的概率密度便可表为定义1.如果n维随机变量（X1，X2，XN）的概率密度为4.4.2 n维正态分布的几个重要性质滚动 由性质3可知（X，Z）服从二维正态分布，而即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。 - 17 -北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080 全国公共课客服电话：01062682299关注您的未来 关注中国的未来
概率论基础知识归纳 第四章
