第9章梁的应力

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1、1 3 V剪力剪力，切切于横截面的内力合力于横截面的内力合力 M 弯矩弯矩，垂直垂直于横截面的内力系的于横截面的内力系的 合力偶矩合力偶矩弯曲内力弯曲内力:MVVM纯弯曲和横力弯曲纯弯曲和横力弯曲（+）（-）VMFFFa51 1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 一、一、纯弯曲纯弯曲6中性层：中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力作用，此层纤维称中性层。受拉应力和压应力作用，此层纤维称中性层。中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。中性层中性层中中性性轴轴 3.3.假设和推论假设和推论。8dxmmnnod

2、dxmmnnFFydddyyE)(ayEMM中中性性轴轴dAdAAdA NAdAz yMAdAy zMAydAE0AzydAE0AdAyE2ZEI)(bEIMZZ1zzIyM (式得由)b)(azyozy4 4、梁的正应力公式推导、梁的正应力公式推导9zzIyMMZ：横截面上的弯矩横截面上的弯矩y:到中性轴的距离到中性轴的距离IZ：截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩dxmmnnozyMM中性轴yzdAzmaxmaxWMM中性轴MzzWMmaxWZ：称为抗弯截面系数称为抗弯截面系数10 1 1、横力弯曲各截面上任一点的正应力、横力弯曲各截面上任一点的正应力二、横力弯曲时梁横截面上的正应力二

3、、横力弯曲时梁横截面上的正应力Z)(IyxM 弹性力学精确分析表明，当跨度弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高与横截面高度度 h 之比之比 l/h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲时，各截面的弯矩随截面位置横力弯曲时，各截面的弯矩随截面位置X X发生变化，发生变化，对任一截面上任一点的正应力可按下式计算：对任一截面上任一点的正应力可按下式计算：11二、横力弯曲时梁横截面上的正应力二、横力弯曲时梁横截面上的正应力ZmaxmaxmaxIyM 或：或：ZmaxmaxWM 横力弯曲全梁的最大正应力：横力弯曲全梁

4、的最大正应力：12长为长为L L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F F，已知已知b120mm120mm，h180mm180mm、L2m2m，F1.6kN1.6kN，试求试求B B截面上截面上a a、b b、c c各点的正应力各点的正应力。2LF2LABCbh6h2habcFLFLMB21123bhIZZaBaIyM123213bhhFLMPa65.10bZcBcIyM122213bhhFLMPa47.2（压）13试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。正应力，并加以比较。m4mkNq

5、2100200200100竖放竖放ZWMmaxmax6822bhqLMPa6横放横放ZWMmaxmax6822hbqLMPa1282qL14三、弯曲正应力强度条件三、弯曲正应力强度条件 zmaxIyMmaxmax（1 1）由同种材料制成且拉、压强度相同的等直梁：）由同种材料制成且拉、压强度相同的等直梁：危险截面：危险截面：弯矩最大的截面弯矩最大的截面 危险点：危险点：危险截面上离中性轴最远的点危险截面上离中性轴最远的点（3 3）脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 tt max,cc max,（2 2）变截面梁要综合考虑）变截面梁要综合考虑M M

6、与与I IZ Z ZmaxmaxWM 对梁强度的计算主要是限制弯矩引起的最大正应力不对梁强度的计算主要是限制弯矩引起的最大正应力不得超过许用数值。得超过许用数值。、校核强度：max MWz maxzWM ZmaxmaxWM16图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力 =160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。2m4m100200mKN/10ABQ()kN20251520图M25.11解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m MPa30zWMmax6200100102026该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全17图示结构承受

7、均布载荷，图示结构承受均布载荷，AC为为10号工字钢梁，号工字钢梁，B B处用直径处用直径d=20mm的钢杆的钢杆BDBD悬吊，梁和杆的许用应力悬吊，梁和杆的许用应力 160MPa 。不。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷考虑切应力，试计算结构的许可载荷q。m2m1ABDCqdFAFBkNqFA43kNqFB49329qq21ZWmaxM ZWq5.0 mkNWqZ/68.155.0 ANBD梁的强度梁的强度杆的强度杆的强度 24149dq 291dq mkN/3.22 mkNq/68.1518铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F20kN。梁的截。

8、梁的截面为面为T T字形，形心坐标字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为压缩许用应力分别为+40MPa，100MPa。试校核梁。试校核梁的强度是否安全。的强度是否安全。1400600FF2ACBzy15050200504.96kNm16kNm12ZlAAIyM831002.14.962501016MPa09.24ZyAAIyM831002.14.961016MPa12.15ZyBBIyM02.14.9625010123MPa07.1819假设：假设：横截面上的横截面上的方向与方向与V平行平行沿截面宽度是均匀分布的沿截面宽度是均匀分

9、布的zyV1 1 几种常见截面梁的剪应力计算公式几种常见截面梁的剪应力计算公式(1)(1)矩形截面梁的剪应力矩形截面梁的剪应力2 2 梁内的切应力梁内的切应力 切应力强度条件切应力强度条件 20bIVSzz式中：式中：V 所求横截面上的剪力；所求横截面上的剪力；Iz 横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩；AyScz)4(2)2(2222yhbyhbyh SZ宽度线一侧的面积对中性轴的静矩宽度线一侧的面积对中性轴的静矩 b、h横截面的宽度和高度。横截面的宽度和高度。maxbzyAy0y2/h2/hAVbhV5.123max矩形截面梁矩形截面梁 横截面上剪应力的分布规律：横截面上剪应力的

10、分布规律：)4(6223yhbhVbIVSzz y=0（中性轴上）时：（中性轴上）时：0,2 hymaxbzy2/h2/h22(2)(2)工字形工字形截面梁截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力zzIbVS1 翼缘翼缘腹板腹板翼缘翼缘横截面上的切应力横截面上的切应力95由由腹板承担腹板承担,而翼缘仅承担了而翼缘仅承担了5,为了满足实际工程中为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力。腹板上的切应力。11maxhbVAVf zzIbVS1maxmax 翼缘翼缘腹板腹板翼缘翼缘24zydAV34max42dADdAVmax2(3)(3)圆形和圆环形截面梁的最大剪应

11、力圆形和圆环形截面梁的最大剪应力4)d(DA2225弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较22max66bhFlbhFl bhF23max hlFbhbhFl43262maxmax 当当 l h 时时，max max2 2、梁的剪应力强度条件、梁的剪应力强度条件 zzbISVmax*maxmax27Fm2L 100b 200h 叠加在一起承受荷载如图示叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为若材料许用应力为=160MPa,=160MPa,材料许用切应力为材料许用切应力为=80MPa,=80MPa,其许可荷载其许可荷载F为多少为多少?zzWMmaxmax6bhFL2 梁中性轴上切

12、应力梁中性轴上切应力AV23max bhF23梁截面边缘处正应力梁截面边缘处正应力KN3.53F KN7.1066F KN3.53F 取28ZmaxmaxWM 4 4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施一、选择合理的截面形状一、选择合理的截面形状62bhWZ29AhbhWZ6162 竖竖AbhbWZ6162 横横矩形截面梁的合理放置矩形截面梁的合理放置横横竖竖ZZWW 30DahbDdhbd31MyI z3 3、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gzy1y2 ctct 21z2maxz1maxmaxmaxyyIyMIyM 脆性材料：脆性材料：抗拉强度远小于抗压强度，即抗

13、拉强度远小于抗压强度，即t t c c，最好使用，最好使用T T字形类字形类的截面，并使拉应力（最大）发生在距中的截面，并使拉应力（最大）发生在距中性轴较近的一缘。中性轴的位置应符合以下条件：性轴较近的一缘。中性轴的位置应符合以下条件：为了使截面上最大拉应力和最大压应力同时达到各自的为了使截面上最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用值：许用值：塑性材料：塑性材料：抗拉强度与抗压强度相同，即抗拉强度与抗压强度相同，即t=c，最，最好使用对称于中性轴的截面。好使用对称于中性轴的截面。33钢筋钢筋xxx混凝土混凝土合理利用材料合理利用材料钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越的钢筋混凝土材料在合

14、理使用材料方面是最优越的34二、采用变截面梁和等强度梁二、采用变截面梁和等强度梁 3536台风战斗机台风战斗机朱德的扁担朱德的扁担 变截面梁变截面梁37海鸥海鸥松树松树变截面梁变截面梁38 ZmaxmaxWM MW Z变截面梁：变截面梁：横截面沿梁轴线变化的梁，称为变截面梁。横截面沿梁轴线变化的梁，称为变截面梁。等强度梁：等强度梁：梁的各个截面的最大正应力均达到材料的许用应梁的各个截面的最大正应力均达到材料的许用应力的变截面梁。力的变截面梁。39三、改善梁的受力条件三、改善梁的受力条件 ABlq lqlAB2/lq l4/l4/l2/8ql2/4ql2/8ql40合理布置梁的形式和荷载，以降低

15、最大弯矩值合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值lqBAl 6.0qBAl 2.0l 2.02125.0ql2025.0ql2025.0ql2025.0ql41适当增加梁的支座适当增加梁的支座lqBAlqBA2125.0ql2l2l20175.0ql203125.0ql42 为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除了在跨中除了在跨中底部会发生竖向裂缝外底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会发生斜向裂纹其他部位还会发生斜向裂纹?5 5 梁的主应力、主应力迹线梁的主应力、主应力迹线431.1.一点应力状态的描述一点应力状态的描述0dzdydx,44 图示为一矩形截面铸

16、铁梁，受两个横向力作用。从梁表面图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。应力。BACFFaaABC452、轴向拉压任一点的应力状态、轴向拉压任一点的应力状态同一横截面上各点应力相等：同一横截面上各点应力相等：AFFF同一点在斜截面上时：同一点在斜截面上时：2cos2sin2即使同一点在不同方位截面上，它的应力也各不相同即使同一点在不同方位截面上，它的应力也各不相同463 3、梁上任一点应力状态的分析、梁上任一点应力状态的分析符号规定：符号规定：正应力：拉应力为正，压应力为负正应

17、力：拉应力为正，压应力为负切应力切应力:使单元体顺时针方向转动为正；反之为负使单元体顺时针方向转动为正；反之为负自自x轴开始到斜截面的外法线方向逆时针转向为正，反之为负轴开始到斜截面的外法线方向逆时针转向为正，反之为负47(1)面上的应力：面上的应力：ex y fx b ey tf nx yyx 0 tF 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx 48?maxmin在何

18、处在何处?该处该处?2sin2cos22xxx2cos2sin2xx0)2cos2sin2(2xxddxx22tan0（2 2）主应力及其作用平面）主应力及其作用平面4922minmax)2(2xxx即即:0面上有面上有maxmin 主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主平面。平面。主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。213、用代数值确定，排列为用代数值确定，排列为32150三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态1233 3、应力状态的分类：、应力状态的分类：51平面（二向）应力状态

19、平面（二向）应力状态52xyxy单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态xyxxy53maxmin,0dd02sin22cos22xx=?=?在何处？在何处？令令0)2sin2cos2(2xxxxtg220即即:方位方位:大小大小:22maxmin)2(xx 二、梁内主应力及主应力迹线二、梁内主应力及主应力迹线1 1、梁内主应力、梁内主应力2 2、主应力迹线：主应力方向的变化图、主应力迹线：主应力方向的变化图称主应力迹线。称主应力迹线。55 例题：梁内某点应力单元体如图，已知例题：梁内某点应力单元体如图，已知x x4040Pa,Pa,x x-6060Pa,Pa,求：（求：（1 1）该单

20、元体）该单元体45450 0斜面上的应力；（斜面上的应力；（2 2）该点的）该点的主应力大小及其方位，画主应力单元体；（主应力大小及其方位，画主应力单元体；（3 3）最大剪应力数）最大剪应力数值及其方位，画最大剪应力单元体。值及其方位，画最大剪应力单元体。x xxy 解：（解：（1 1）45450 0斜面上的应力斜面上的应力2cos2sin22sin2cos22xxxxxMPa2090cos6090sin240MPa8090sin6090cos240240004500450056 （2 2）主应力大小及其方位）主应力大小及其方位2231)2(2xxxMPa3.43MPa3.8360)240(2

21、40223134060222tan0 xx000008.12590,8.35 x xy xy05.38n3 y08.125x08.353 1 1 57 （3 3）最大剪应力）最大剪应力 及其方位及其方位13max83.3(43.3)63.3MPa22 0000078.8090,22.9 x xy xyMPa3.63min 334.0)60(240220 xxtg580000078.8090,22.9 x xy xy022.9 20MPa y078.80 x022.9 078.80 022.9 min max 0009.224040cos2(9.22)(60)sin2(9.22)22 00080

22、.784040cos2(80.78)60sin2(80.78)22 20MPa 2sin2cos22xxx59例：如图，已知例：如图，已知 F=250kNF=250kN，b b1 1=9=9，h h1 1=270=270，h=300h=300，b=120b=120，试求，试求C C截面稍左截面上截面稍左截面上a a、b b两点的应力，并绘出应力单两点的应力，并绘出应力单元体，然后求出其主应力。元体，然后求出其主应力。20050RACFABmkN80 Mab()b a 解：（解：（1 1）求支反力，绘）求支反力，绘V V、M M图图（2 2）绘）绘a a、b b点的应力单元体点的应力单元体60b

23、1=9，h1=270，h=300，b=120，MC=80kN.m，V=200kNab b a（3 3）截面几何性质）截面几何性质zIMy zzIbVS 3311()1212Zbhbb hI*3363120 15(1507.5)256 10 mm256 10mZacSA y 135,150abymmymm（4 4）b b点的应力：点的应力：3680 100.1588 10136MPabbzMyI 0b 336464120 300(1209)270121288 10 mm88 10m 61b1=9，h1=270，h=300，b=120，MC=80kN.m，V=200kNab b a zIMy zz

24、IbVS 6488 10mZI *63256 10mZaS 135,150abymmymm（5 5）a a点的应力：点的应力：3680 100.135123MPa88 10aazMyI 1zzVSb I 3636200 10256 109 1088 10 64.6MPa 62b1=9，h1=270，h=300，b=120，MC=80kN.m，V=200kN b a（6 6）a a点的主应力：点的主应力：122322()22150.7123123()64.6MPa2227.7xxxy 022 64.6tan21.05123xyxy 0000023.2,9066.8 23.201123MPa y0

25、66.8x023.21 3 max 63易剪断 不易剪断就象推动某物一样：易动 不易动 5 5 二向应力状态下的强度条件二向应力状态下的强度条件强度理论强度理论641 1=2 2=0 =0 1 1=2 2=3 3 单向压缩，极易破坏单向压缩，极易破坏 三向均有受压，极难破坏三向均有受压，极难破坏石材石材12365一、构件破坏的两种基本形式：一、构件破坏的两种基本形式：（1 1）断裂破坏：包括拉断、剪断；）断裂破坏：包括拉断、剪断；（2 2）塑性流动破坏。构件发生较大的塑性变形，影响正常）塑性流动破坏。构件发生较大的塑性变形，影响正常使用。使用。根据材料在不同应力状态下强度失效共同根据材料在不同

26、应力状态下强度失效共同原因的假说，利用单向拉伸的实验结果，建立复杂应力状原因的假说，利用单向拉伸的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件，这就是强度理论。态下的强度条件，这就是强度理论。661、最大拉应力理论、最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论)这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原因是它的最大拉应力因是它的最大拉应力1 1达到该材料在简单（单向）拉伸时达到该材料在简单（单向）拉伸时的最大拉应力的极限值的最大拉应力的极限值0 01 1。破坏条件：破坏条件：二、工程中常用的几个强度理论二、工程中常用的几个强度理论011 强度条件：强度条

27、件：1式中，式中，简单拉伸时的许用应力简单拉伸时的许用应力适用条件：适用条件：脆性材料。如铸铁在拉伸实验和扭转试验脆性材料。如铸铁在拉伸实验和扭转试验时的破坏时的破坏 。67 这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原因是最大拉应变因是最大拉应变1 1达到该材料在简单拉伸时最大拉应变的达到该材料在简单拉伸时最大拉应变的危险值危险值0 01 1。破坏条件：破坏条件：2 2、最大拉应变理论、最大拉应变理论(第二强度理论第二强度理论)强度条件：强度条件：式中，式中，简单拉伸时的许用应力简单拉伸时的许用应力适用条件：适用条件：脆性材料。脆性材料。例如混

28、凝土的压缩破坏与这一理论符合。例如混凝土的压缩破坏与这一理论符合。011 )(32168 这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原因是它的最大剪应力因是它的最大剪应力maxmax达到该材料在简单拉伸或压缩时达到该材料在简单拉伸或压缩时的最大剪应力的危险值的最大剪应力的危险值0 0。破坏条件：破坏条件：3 3、最大剪应力理论、最大剪应力理论(第三强度理论第三强度理论)强度条件：强度条件：式中，式中，为许用剪应力。为许用剪应力。0max max适用条件：适用条件：塑性屈服和剪断（包括脆性剪断）。一般适用塑性屈服和剪断（包括脆性剪断）。一般适用于塑

29、性材料，塑性流动是剪应力所引起的。于塑性材料，塑性流动是剪应力所引起的。如低碳钢的如低碳钢的扭转破坏。扭转破坏。69破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：max n0 在复杂应力状态下，在复杂应力状态下，231max 强度条件改写为：强度条件改写为：31而在简单拉伸时而在简单拉伸时 200 0max 3 3、最大剪应力理论、最大剪应力理论(第三强度理论第三强度理论)70 这一理论简称为能量理论。它认为，材料在复杂应力这一理论简称为能量理论。它认为，材料在复杂应力状态下引起单元体单位体积形状改变的能量状态下引起单元体单位体积形状改变的能量u ud d，达到简单，达到简单拉伸时单元体的单位体积形

30、状改变的能量的危险值拉伸时单元体的单位体积形状改变的能量的危险值u u0 0d d，即，即发生破坏。发生破坏。破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：0dduu 133221232221 适用条件：适用条件：塑性材料。塑性材料。按该理论计算的结果比按第三强度理论计算的结果经济。按该理论计算的结果比按第三强度理论计算的结果经济。71 三、应用强度理论时应注意的问题三、应用强度理论时应注意的问题 以上四种强度理论都有一定的局限性，不同情况下应以上四种强度理论都有一定的局限性，不同情况下应采用不同的强度理论。采用不同的强度理论。1 1、脆性材料：常因脆断而破坏，故应采用第一、第、脆性材料：常因脆断而

31、破坏，故应采用第一、第二强度理论；二强度理论；2 2、塑性材料：常因塑性屈服，出现明显的塑性变形、塑性材料：常因塑性屈服，出现明显的塑性变形而失去正常工作能力，故应采用第三、第四强度理论；而失去正常工作能力，故应采用第三、第四强度理论；3 3、在三向拉伸状态下，不管是脆性材料还是塑性材、在三向拉伸状态下，不管是脆性材料还是塑性材料，都将发生脆性断裂破坏，故应采用第一强度理论；料，都将发生脆性断裂破坏，故应采用第一强度理论；72 4 4、在三向压缩状态下，不管是脆性材料还是塑性材、在三向压缩状态下，不管是脆性材料还是塑性材料，通常都将发生塑性屈服破坏，故应采用第三或第四料，通常都将发生塑性屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。强度理论。5 5、强度条件中的许用应力、强度条件中的许用应力均是简单拉伸时的许均是简单拉伸时的许用应力。用应力。三、应用强度理论时应注意的问题三、应用强度理论时应注意的问题731 1、从危险点处截取单元体，计算出主应力；、从危险点处截取单元体，计算出主应力；2 2、根据材料性状和受力状态，选用适当的强、根据材料性状和受力状态，选用适当的强度理论度理论 ；3 3、确定材料的许用应力，进行强度计算。、确定材料的许用应力，进行强度计算。复杂应力状态下构件强度计算的一般步骤复杂应力状态下构件强度计算的一般步骤