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1、第七章定 积 分 积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分目录 上页 下页 返回 结束 第一节第一节一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义定积分的概念定积分的概念 第七章第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线()()0)yf xf xx及 轴，以及两直线以及两直线,xa xb所围成所围成,求其面积求其面积 A.?A()yfx矩形面积矩形面积ahahahb梯形面积梯形面积()2habyOxab目录 上页 下页 返回 结束 1xix1ixxabyO解决步骤解
2、决步骤:1)划分划分.在区间在区间 a,b 中任意插入中任意插入 n 1 个分点个分点0121nnaxxxxxb1,iiixx用直线用直线ixx将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2)近似替代近似替代.在第在第i 个窄曲边梯形上任取个窄曲边梯形上任取作以作以1,iixx为底为底,()if为高的小矩形为高的小矩形,并以此小并以此小矩形面积近似代替相应矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,iA得得1()()iiiiiiAfxxxx,1,2,)ini目录 上页 下页 返回 结束 3)求和求和.1niiAA1()niiifx4)取极限取极限.令令1max,ii nx
3、 则曲边梯形面积则曲边梯形面积01limniiAA01lim()niiifx1xix1ixxabyOi目录 上页 下页 返回 结束 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,12(),vv tC T T且且()0,v t 求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)划分划分.1,iiitt将它分成将它分成 n1,(1,2,),iittin在每个小段上物体经在每个小段上物体经2)近似替代近似替代.任取任取 得得()iiisvt12,1,T Tn在中任意插入个分点(1,2,)isin(1,2,)in已知速度已知速度个小
4、段个小段过的路程为过的路程为目录 上页 下页 返回 结束 3)求和求和.1()niiisvt4)取极限取极限.01lim()niiisvt1(max)ii nt 目录 上页 下页 返回 结束 3.总成本问题总成本问题设边际成本设边际成本 C(x)为产量为产量 x 的连续函数，的连续函数，求产量求产量 x从从 变到变到 时的总成本时的总成本.解决步骤解决步骤:1)划分划分.分成分成 n2)近似替代近似替代.任取任取 ，()iiiCCx(1,2,)in(1,2,)in个小产量段个小产量段在区间在区间,1,iixx1,iiixx()iC段的近似平均成本，有段的近似平均成本，有中任意插入中任意插入 n
5、 1 个分点个分点,把把作为第作为第 i目录 上页 下页 返回 结束 3)求和求和.1()niiiCCx4)取极限取极限.01lim()niiiCCx1(max)ii nx 上述三个问题的共性上述三个问题的共性:解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同:“划分划分,近似替代近似替代,求和求和,取极限取极限”所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限目录 上页 下页 返回 结束 Oabx二、定积分定义二、定积分定义(P165)若对若对a,b上任一种分法上任一种分法012,naxxxxb1,iiixxx令任取任取1,iiixxi1max0ii nx 只要时,
6、1()niiifx总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I,则称此极限则称此极限 I 为函数为函数()f x在区间在区间,a b上的定积分上的定积分,1xix1ix()dbaf xx即即()dbaf xx 01lim()niiifx此时称此时称 f(x)在在 a,b 上可积上可积.记作记作函数函数 f(x)在在a,b上有界，上有界，目录 上页 下页 返回 结束()dbaf xx 01lim()niiifx积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和,a b 称为积分区间目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:()0,()d
7、baf xf xxA曲边梯形面积曲边梯形面积()0,()dbaf xf xx曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A12345()dbaf xxAAAAA各部分面积的代数和各部分面积的代数和AO目录 上页 下页 返回 结束 质点以速度质点以速度 v=v(t)作直线运动，从时刻作直线运动，从时刻 T1 到到 T221()dTTsv tt所通过的路程为：所通过的路程为：边际成本边际成本 C(x)在产量在产量 x()dCC xx从从 变到变到 时的总成本：时的总成本：目录 上页 下页 返回 结束 1、定积分仅与被积函数及积分区间有关、定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分
8、而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即()dbaf xx()dbaf tt()dbaf uu说明说明:不定积分不定积分 定积分定积分 所有的原函数所有的原函数一个确定的数值一个确定的数值注：注：目录 上页 下页 返回 结束（1）()d0aaf xx 规定规定:（2）()dabf xx()dbaf xx 2、可积的充分条件、可积的充分条件:定理定理1.(),f xa b函数在上连续(),.f xa b在可积定理定理2.(),f xa b函数在上有界且只有有限个间断点且只有有限个间断点(证明略证明略)(),.f xa b在可积目录 上页 下页 返回 结束 O1xyin1inx,
9、iin取取(1,2,)in例例 利用定义计算定积分利用定义计算定积分120d.xx解解:将将 0,1 n 等分等分,分点为分点为iinx(0,1,)in2yx2()iiiifxx则23in1()niiifx2311niin311(1)(21)6n nnn目录 上页 下页 返回 结束 1()niiifx311(1)(21)6n nnn111(1)(2)6nn122001dlimniiixxxlimn13111(1)(2)6nn注注 O1xyin2yx注注 利用利用332(1)331,nnnn得得332(1)331nnnn332(1)3(1)3(1)1nnnn332213 13 11 两端分别相加
10、两端分别相加,得得3(1)1n3(12)nn即即3233nnn213nii3(1)2n nn21nii16(1)(21)n nn2223(12)n目录 上页 下页 返回 结束 112(2)limppppnnn11limnpninin10dpxxiix例例2.用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:11(1)lim1nniinn112(2)limppppnnn解解:11(1)lim1nniinn11lim1nniinniix101dx xOx11inin目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限()dbaf xx 01lim()ni
11、iifx()0,()dbaf xf xxA曲边梯形面积曲边梯形面积21()dTTsv tt()dCC xx直线运动物体的路程直线运动物体的路程总成本总成本2.定积分的意义定积分的意义目录 上页 下页 返回 结束 4、可积的充分条件、可积的充分条件:定理定理1.(),f xa b函数在上连续(),.f xa b在可积定理定理2.(),f xa b函数在上有界且只有有限个间断点且只有有限个间断点(),.f xa b在可积()dbaf xx()dbaf tt()dbaf uu3、5、()d0aaf xx()dabf xx()dbaf xx 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.用定积分的几何意义求用定积分的几何意义求:21(1)(1)dxx20(2)sin dx x120(3)1dxx9204
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