现代控制理论34习题及课件

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1、第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器现代控制理论基础现代控制理论基础E-mail:rj1219E-mail:rj1219 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-1 3-1 线性定常系统的综合线性定常系统的综合-引言引言 在第一章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的在第一章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的运动，从而了解系统的运动形态。第二章介绍了系统的能控性和运动，从而了解系统的运动形态。第二章介绍了系统的能控性和能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概括起来

2、说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性能或特性，即所谓系统分析问题。能或特性，即所谓系统分析问题。本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输

3、人，从而构成状态反馈系统。而构成状态反馈系统。采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有无影响呢采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有无影响呢?这是这是本章讨论的重要内容之一。同时研究一个能控的系统，引入状态本章讨论的重要内容之一。同时研究一个能控的系统，引入状态反蚀可以任意配置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的反蚀可以任意配置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测量但又要用它来瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构方法。设计状态观测器。实现反馈的情况，通过状态重构方法。设计状态观测器。第四章第四章 系

4、统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-23-2状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈一、经典控制理论：一、经典控制理论：在经典控制理论中，利用系统的输出进行反馈，构成输出在经典控制理论中，利用系统的输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较满意的系统性能；减小于扰对系统的负反馈系统，可以得到较满意的系统性能；减小于扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此，输出影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此，输出反馈控制得到了广泛的应用。在现代控制理论中，为了达到希反馈控制得到了广泛的应用。在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。这

5、里采望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。这里采用的反馈控制有状态反馈和输出反馈两种。用的反馈控制有状态反馈和输出反馈两种。二、状态反馈：二、状态反馈：线性定常系统方程为：线性定常系统方程为：DuCxyBuAxx其中状态其中状态x x、输入、输入u u和输出和输出y y分分别为别为n n、r r、m m维向量。维向量。A A、B B、C C、D D为满足矩阵运算的矩阵。为满足矩阵运算的矩阵。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器假定有可能设置假定有可能设置n n个传感器，使全部状态变量均可用于反馈。个传感器，使全部状态变量均可用于反馈。其反馈控制律为其反馈控制律为

6、：u=V-Kxu=V-Kx，其中其中 K K为为rnrn型反馈增益矩阵型反馈增益矩阵;V;V为为r r维输入向量维输入向量。构成的状态反馈系统如下图所示构成的状态反馈系统如下图所示：状态反馈系统方程为状态反馈系统方程为：DVxDKCyBVxBKAKxVBAxx)()()(比较与讨论：比较与讨论：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器1)1)状态反馈不增加新的状态变量状态反馈不增加新的状态变量;2)2)状态反馈对输入矩阵状态反馈对输入矩阵B B和直接传输矩阵和直接传输矩阵D D无影响；无影响；3)3)系统的系数矩阵由系统的系数矩阵由A A变成变成(A-BK)(A-BK)；4)

7、4)输出矩阵由输出矩阵由C C变成变成(CDK)(CDK)；系统的瞬态性能主要由系数矩阵决定。系统的瞬态性能主要由系数矩阵决定。A A、B B阵是已知的，阵是已知的，不能改变。不能改变。K K阵可以在一个很宽范围内选择。因此，通过适当阵可以在一个很宽范围内选择。因此，通过适当的方法选择反馈阵的方法选择反馈阵K K，就可以使系统达到希望的控制目的。，就可以使系统达到希望的控制目的。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-33-3状态反馈系统的能控性和能观测性状态反馈系统的能控性和能观测性DVxDKCyBVxBKAKxVBAxx)()()(线性定常系统方程为：线性定常系统方程

8、为：DuCxyBuAxx引入状态反馈引入状态反馈u=V-Kx后，系统后，系统方程为：方程为：对状态反馈系统来说，能控性和能观测性同样具有很重对状态反馈系统来说，能控性和能观测性同样具有很重要的意义。那么，引入状态反馈的系统能控性、能观测性与要的意义。那么，引入状态反馈的系统能控性、能观测性与未引入状态反馈的情况下的系统能控性、能观测性有什么关未引入状态反馈的情况下的系统能控性、能观测性有什么关系呢系呢?换句话说，状态反馈对系统能控性、能观测性有无影响换句话说，状态反馈对系统能控性、能观测性有无影响呢呢?这个问题的结论是状态反馈不改变系统的能控性，但可能这个问题的结论是状态反馈不改变系统的能控性

9、，但可能改变系统能观测性。改变系统能观测性。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器定理一：对于任何常值反馈阵定理一：对于任何常值反馈阵K K，状态反馈系统能控的充分必要条，状态反馈系统能控的充分必要条件是原系统能控件是原系统能控。IKIBAIBBKAIK0)(阵，均有证明：对任意的)(KK0BAIrankBBKAIrankIKI，都有和意的非奇异的，因此对于任都是，对任意常值矩阵上式中等式右边的矩阵因此引入状态反馈不改变系统的能控性。因此引入状态反馈不改变系统的能控性。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器测性。后系统的能控性和能观，引入状态反馈例：系统

10、方程为：xVuxyuxx1321101321能控，能观测。解：可以验证，该系统，系统不能观测，系统能控，：状态反馈后系统方程为12121221100021rankrankQrankQxyuxxoc第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器统的能观测性。取某些值时，会改变系反馈阵，试说明当状态系统方程为：K13103210 xyuxx故能观测。，解：能观测性矩阵2,0213oorankQCACQ21021213)(kkBKACCQkkKk，则状态反馈后的令状态反馈阵。时，其秩为显然，当13221kk第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器能控又能观测。，故，没有

11、零点和极点相消原系统的传递函数233)(2ssssG)(1)(3(33)3(3)(32)2()3(3)(2222221122ksksssksksssGkkksksssGkk时，化为当函数引入状态反馈后，传递系统的能观测性。则不会改变环极点和零点无对消，反馈阵参数选择使得闭性，当状态而改变了系统的能观测环极点和零点对消，从选择使得闭性是由于状态反馈参数即状态反馈改变能观测统不能观测，所以状态反馈后的系产生了零点和极点相消第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-33-3极点配置极点配置 状态反馈系统购稳定性和瞬态性能主要是由系统极点决定状态反馈系统购稳定性和瞬态性能主要是由系

12、统极点决定的。如果引人状态反馈将系统的极点配置在的。如果引人状态反馈将系统的极点配置在S S左半平面的希望左半平面的希望位置上，则可以得到满意的系统特性。位置上，则可以得到满意的系统特性。一个系统引入状态反一个系统引入状态反馈可以任意配置极点的条件是原系馈可以任意配置极点的条件是原系统能控统能控。现在介绍单输入现在介绍单输入单输出系统的极点配置单输出系统的极点配置 一、极点配置介绍一、极点配置介绍系统方程为系统方程为 KxVuCxyBuAxx，状态反馈为CxyBvxBkAx)(：则反馈后的系统方程为A A、B B一定，配置系统的极点，就是确定一定，配置系统的极点，就是确定K K阵。通过计算合适

13、的阵。通过计算合适的K K阵，将系统极点配置在阵，将系统极点配置在S S平面上所平面上所希望的位置。希望的位置。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器，则有：或标准形，令将其变成能控利用线性变换假设系统能控，则可以xPxPxxP1xyuxaaaxnn110110100100001011011nkkkKPKxKVxKPVKxVu引入状态反馈阵为：则状态反馈后的系数矩第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器)()()(10000010111100nnkakakaKbA)()()()(det)(00222111kaskaskasKbAsIsnnnnnnnK则特征

14、多项式为：*02*21*11*21)()()(,asasassssssssnnnnniniKKn，且记成，其特征多项式点为设状态反馈后希望的极1*11*10*0nnaaaaaaK：比较以上两式，可得到KKPK，可求由1_ 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器。求再由可由上式求得，的状态反馈阵控标准形，能控标准形变换成能的系统经过坐标变换解题步骤：将完全能控KKPKKP判断系统的能控性；)1；个系数特征多项式的点要求，确定期望由给定的动态指标或极*)2ian；个系数标准形的特征多项式的确定与系统对应的能控ian)3K计算反馈阵)4P求变换矩阵)5K)K6求PK第四章第四章

15、系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器例：线性定常系统状态方程为例：线性定常系统状态方程为 uxx100310200010引入状态反馈配置系统的极点为引入状态反馈配置系统的极点为S S1,21,2-1 j,s-1 j,s 3 322，试确定，试确定反馈阵反馈阵K K。此系统为一能控标准形解：1)2)2)希望的状态反馈系统特征多项式为希望的状态反馈系统特征多项式为)(sk比较464)(2313sssssii144)31*11*10*0nnaaaaaaK由144)4KK此为能控标准形，故第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器()方法二 解联立方程的求法：适用于阶次较低的系

16、统)(1)同前成期望特征多项式由给定的期望极点，写n21kkkKK2)的诸元素为未知数设待求的状态反馈阵3)f(s)det(sI-A+BK)n写出上述未知数的闭环特征多项式令其与期望多项式相等，则可得到 个联立方程。21K1394322,1jsuxx极点使闭环，求状态反馈阵程如下：例：受控系统的状态方判断系统的能控性解：)1第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器，状态是完全能控的。系统的能控矩阵23193ccrankQABBQ52)()()2221*sssssssf征多项式确定闭环系统的期望特得闭环系统的特征式为方法一：设状态反馈阵21)3kkK 2121221211424

17、30)311(943332det)(kkskkskskkksBKAsIsfk514243023112121kkkks的同次幂系数相等可得由第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器 8.76.521kkK可得：化能控性计算方法230119432detdet)(20ssssAsIsf：计算系统的特征多项式24143118101111319301111PaAbbP可得矩阵8.76.51*10*0PaaaaPKK而第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器处；于行配置，使闭环极点位试用状态反馈对系统进一个最小实现；求系统状态空间描述的例：设系统传递函数为20202)1

18、)5100)(2jsssG求最小实现解：1)是一个最小实现实现，可知其能观测标准形由10,0100,51005100)(2cbAsssG配置极点意，故系统能控，可以任极点配置，210000100)2Abbrank第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器511001002121kkbKAkkK，闭环系统矩阵设状态反馈阵)100500()1005()(det2112kksksbKAsI闭环特征多项式80040)2020)(2020(2ssjsjs而期望多项式为25.635.0800100500401005211kkkk，则有令对应系数相等，则有第四章第四章 系统的状态反馈及观测器

19、系统的状态反馈及观测器的可能性。配置闭环极点，采用状态反馈函数例：研究受控系统传递jsssssG1,2)2)(1()1(10)(系统。观测的实现不是一个能控又能在零极点对消，故三阶函数存输入单输出系统，传递解：受控系统是一个单意配置其闭环极点。完全能观测的。可以任，但是不，则状态是完全能控的如果选择按能控性实现1)100,01010,310201000)2CBA选择能观测实现而如果第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器)103020()2104030()31010(det)(3213212213321kkkskkkskksBKAsIsfkkkK，闭环特征多项式令反馈阵。，则

20、不能任意配置极点则状态是不完全能控的，比较相应系数可得：令而期望特征多项式)()(464)(:*23*sfsfssssf410302041040301101032132121kkkkkkkk第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器征值。状态反馈不能改变的特的不能控模态，它也是形成系统的相消因子，说明中有设传递函数进一步的讨论1)1()()3ssG作因式分解：对闭环特征多项式)(sf)103020()21010()1()(321212kkkskksssf的极点。终有一个如何选择，闭环系统始说明不论1,321skkk243)2)(1()(1,1232*ssssssssfj，则期望

21、多项式为例如，使闭环极点为，相应系数相等，得：令)()(*sfsf第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器2.002103020210403001010321132132121kkkkkkkkkkkk，解出为任意常数。，其中反馈阵配置的状态环极点解不唯一，所以实现闭aaaaKj2.0 1,1第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器.11000010010020000021112222313334xux例设系统状态方程为给定三组期望特征值，问哪组可用状态反馈配置？222解：这个系统只有一个特征值不可控，前面两组期望特征值均包含这个特征值，而第三组期望特征值集合

22、中未能包括这个特征值。因而不能用状态反馈达到配置第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-43-4状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器 引入状态反馈可以得到较好的系统性能，而实现状态反引入状态反馈可以得到较好的系统性能，而实现状态反馈的前提是状态变量必须能用传感器测量得到，但是由于种馈的前提是状态变量必须能用传感器测量得到，但是由于种种原因，状态变量不是都可以测量得到的。种原因，状态变量不是都可以测量得到的。这就要求用系统的输入量和输出量重新构造全部状态。这就要求用系统的输入量和输出量重新构造全部状态。一、状态观测器的定义一、状态观测器的定义，简称观测器。的状态观测是受

23、控系统态重构，称的渐进估计，又称状是状态，则称间满足：状态与原系统的状态或输出量，使重新构造动态系统做为输入量和输出，用其输入对受控系统 0)()(),(00limeteexxtxtxxxyuCBA第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器BAABCuxyx x.模型 图图4-5 开环估计方案开环估计方案 由于图由于图4-5 中未能利用系统的输出信息对误差进中未能利用系统的输出信息对误差进行矫正行矫正,所以该图得到的估计值是一个开环估计值所以该图得到的估计值是一个开环估计值一般系统的输入量一般系统的输入量 和输出量和输出量 均为已知均为已知,因此希因此希望利用望利用 的偏差信号

24、来修正的偏差信号来修正 的值的值,这样形成了图这样形成了图3-4的闭环估计方案的闭环估计方案 uyxCyCxy,x 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器BBHCAACuxy_x x.估计器 闭环估计方案闭环估计方案 在上图中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器它是在上图中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器它是一个动态系统，以原系统的输入量和输出量作为一个动态系统，以原系统的输入量和输出量作为 它的输入量，而估计器的输出量是原系统的状态变量的估它的输入量，而估计器的输出量是原系统的状态变量的估 计值，应当满足下式计值，应当满足下式x)0(),0(,0)(limxx

25、uxxt第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器二、全维观测器的结构二、全维观测器的结构是观测器增益矩阵维重构状态是观测器的如下：全维状态观测器的模型eeeKxyKBuxCKAx)n()(。与受控系统的维数相同全维观测器的特点是：)1的反馈构成。加上观测误差似的模型由受控系统状态模块类)2xxBuAxx)()3xxCKAxxe观测的误差方程为：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器三、相关定理三、相关定理1)系统的状态观测器存在的充分必要条件是系统能观测或系系统的状态观测器存在的充分必要条件是系统能观测或系统不能观测但其不能观测的子系统的特征值有负实部。统

26、不能观测但其不能观测的子系统的特征值有负实部。2)系统的状态观测器可任意配置特征值的充分必要条件是系系统的状态观测器可任意配置特征值的充分必要条件是系统能观测。统能观测。四、计算方法四、计算方法。待设计参数阵同次幂系数相等解出含由相等，特征多项式式与期望的状态观测器特征多项令含有待设计参数eeeKSsfCKAsIsfsfK)(det)()()1*阵。统对应的然后经过反变换，求系，器增益矩阵算能观测标准型的观测成能观测标准型，先计统坐标变换法不便计算，可以把系对于高阶系统，上述方eeKK)2第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器两重根。极点为试设计状态观测器，使例：已经受控系

27、统301,10,1012CBA。满秩，状态完全能观测能观测矩阵判断能观测性解：12011)CACQo96)3()(2)22*ssssf征多项式为：由期望极点确定期望特置。故状态观测器可任意配112011012,)3babaCKAbaKeTe则阵确定观测误差输出反馈第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器43)()()2()3(det)(*2baKsfsfbasascKAsIsfee，可以解出令项式为：则状态观测器的特征多yuxyKBuxCKAxee43101415)()4为：状态观测器的状态方程第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器上。极点配置在试设计状态

28、观测器，使例：已知受控系统5,4,3100,112,020113001ACB的极点可以任意配置。观测，所以状态观测器满秩，状态完全能判断能观测性解：226020100)12CACACQo10002012622602010000101010323det)()23PssAsIsf变换阵系统的特征多项式为确定能观测标准形第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器10002106161611P则125058)32*21*10*0aaaaaaKe在标准形下的1225201250581000210616161)41eeKPK原系统下的系统期待的多项式系统期待的多项式f*=（s+3)(s+4

29、)(s+5）=s3+12s2+47s+60第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器yuxyKBuxCKAxee122520112122024132001)()5状态观测器的模型。其特征值为观测器，要求设计系统的状态例：系统方程为5,4,3011,101200120001xyuxx第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器可知该系统能观测。检验系统的能观测性，解：1)100133,51080140048533)(2)232cbAssssssg准形，可直接写出其能观测标其传递函数173964604712s(s)f3)2*21*10*023*aaaaaaKsse可得

30、：征多项式由期望极点确定期望特第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器421011111011134124001011)412221PCACACaaaP可得变换矩阵yKBuxCKAxKPKeeee1)(210103120173964421011111故系统的状态观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器yux210103120101221021011051300120119 设计状态观测器时，需要选择希望的特征值。确定希望设计状态观测器时，需要选择希望的特征值。确定希望特征值的原则有如下几点：特征值的原则有如下几点：1、希望的特征值一定要具有负实部，而且

31、要比原系统的特、希望的特征值一定要具有负实部，而且要比原系统的特征值更负，这样重构的状态可以尽快地趋尽状态征值更负，这样重构的状态可以尽快地趋尽状态x。2、状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太、状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负。若特征值太负，状态观测吕的频带很宽，抗干扰能力负。若特征值太负，状态观测吕的频带很宽，抗干扰能力低。低。3、系统的参数严格地说，随着运行情况不同，是变化的。、系统的参数严格地说，随着运行情况不同，是变化的。因此选择状态观测器的特征值时，应考虑到不致因为参数因此选择状态观测器的特征值时，应考虑到不致因为参数的变化引起状态观测器的性能有大的变化

32、，以致于失衡。的变化引起状态观测器的性能有大的变化，以致于失衡。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-53-5降阶观测器降阶观测器 在上一节所介绍的状态观测器，由于它的维数同原系统在上一节所介绍的状态观测器，由于它的维数同原系统的维数相同，这种状态观测器称为全维状态观测器。的维数相同，这种状态观测器称为全维状态观测器。1964年，龙伯格认为，一个年，龙伯格认为，一个n维系统，它的输出量维系统，它的输出量y(t)总总是可以直接测量的，因此状态观测器的维数可以小于是可以直接测量的，因此状态观测器的维数可以小于n。这。这种状态观测器就称为降阶观测器或龙伯格观测器。种状态观测器

33、就称为降阶观测器或龙伯格观测器。一、降阶观测器的维数一、降阶观测器的维数)(mnmrankC的最小维数是，则系统的状态观测器且定理：若系统能观测，当当rankC=m，表示，表示m个输出向量是线性无关的，可由它们组个输出向量是线性无关的，可由它们组成成m个状态变量的信息，这样只需要重构个状态变量的信息，这样只需要重构n-m个状态变量就可个状态变量就可以了，所以降价观测器的最小维数是以了，所以降价观测器的最小维数是n-m。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器对系统进行线性变换其中设系统方程为,221mrankCCCCCxyBuAxx11,CPCPBBPAPAPxx则对系统进行

34、线性变换210CCIP采用变换矩阵221212122211211210 xxxIyuBBxxAAAAxx得到如下系统方程：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器进行估计即可。维的需对，于是估计状态时，只直接给出输出12)(xmnxy二、降阶观测器的存在条件及其构成二、降阶观测器的存在条件及其构成可得到：我们对上式进行分解，uByAxAuBxAxAx11211112121111uByAxAuBxAxAyx22212122221212121222xAuByAy令第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器1211121111xAuByAxAx则有 因此我们研究降阶

35、观测器的存在条件及构成方法就转化因此我们研究降阶观测器的存在条件及构成方法就转化为构造上式的子系统全阶状态观测器的存在条件和构成方法。为构造上式的子系统全阶状态观测器的存在条件和构成方法。则可得到如下结论：若系统能观测，子系统也能观则可得到如下结论：若系统能观测，子系统也能观测；如果子系统能观测，则可以任意配置它的状态观测测；如果子系统能观测，则可以任意配置它的状态观测器的特征值。器的特征值。为：其子系统的状态观测器一讲可知，统的状态观测器，由上我们就来构造这个子系eekuByAxAkAx112121111则有第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器ykyAkAuBkBxAk

36、Aeeee22122112111部。的所有特征值具有负实，使只要选择)(2111AkAkeeykxzykxzyee11，所以，因此引入有降阶观测器的方程中含yAkAuBkBxAkAzeee22122112111降阶观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器yAkAkAkAuBkBzAkAeeeee22122111212111ykzxe1xPxxzyIIIIkmmmnmne1)()(0而的渐进估计是可证明第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器解题步骤：1)能观测性判断。能观测性判断。，并进行线性变换。构造变换矩阵210)2ccIP。求ek)3求降阶观测器

37、方程。)4。特征值为，设计降阶观测器，其例：系统方程为301101012xyuxx，知系统能观求解：oQ1)第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器011010)221ccP构造变换矩阵1001,210111cPcPbbPAPA12xx估计一个一阶状态观测器来需要设计可由直接提供，现在只可见状态变量ykkuzkzeee)()1(2降阶观测器方程为：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3)(3*ssf，则期望特征多项式为值为系统降阶观测器的特征3)1()(det2111sksAkAsIee2:ek可得yzxyuzz2231，故降阶观测器为处的降阶观测器。试

38、设计所有检点都在例：系统方程为4111,100,100013021Acb第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器维系统。器的维数为态观测，所以此系统的最小状解：由题可得，21)(crank可知，系统能观。由oQ1)111010001,111010001)21PPP选择变换矩阵123124021222112111AAAAPAPA100Pbb1001cPc第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器ykzxxyAhAhAkAubkbzAkAzeeee2122122111212111)()()(为降阶观测器的动态方程2211121)4()(det:4sAkAsIkkk

39、eTe则有处的反馈增益向量位于设使系统的两个极点都TTekkk6.44.521可解得：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器4.236.286.44.56.44.5002.78.98.122.15236.44.5242122122111212111AkAkAkAbkbAkAeeeeeyzykzxxyuzze6.44.54.236.286.44.52.78.98.122.1521：于是降阶观测的方程为第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-63-6带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统 当系统能控时，引入状态反馈构成状态反馈系统，当系统能控

40、时，引入状态反馈构成状态反馈系统，可任意配置状态反馈系统的特征值；当系统能观测时，可任意配置状态反馈系统的特征值；当系统能观测时，可以采用状态观测器实现状态重构。可以采用状态观测器实现状态重构。但这个重构的状态是否可以代替真实的状态进行反但这个重构的状态是否可以代替真实的状态进行反馈，即构成带状态反馈器的状态反馈系统？馈，即构成带状态反馈器的状态反馈系统？首先来看两个问题：首先来看两个问题：1)状态反馈阵是根据真实状态状态反馈阵是根据真实状态x计算，当用估计状态时，计算，当用估计状态时，为保持状态反馈系统所希望的特征值，是否要重新计算为保持状态反馈系统所希望的特征值，是否要重新计算K。2)状态

41、反馈器是单独计算的，当它作为带状态反馈器的状状态反馈器是单独计算的，当它作为带状态反馈器的状态反馈系统的一部分时，是否要重新计算态反馈系统的一部分时，是否要重新计算Ke。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器一、结构形式与闭环方程态观测器时，能控又能观，当构成状系统方程CxyBuAxxykbuxckAxee)(系统方程为：，可得反馈后的方程为状态反馈为：xKvuCxybVxbKCKACxKxbVxbKAxxee)(0 xxCyVbbxxbKCKACKbKAxxee第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器二、闭环方程有分离性二、闭环方程有分离性 若对闭环方程

42、直接进行特征值的计算比较麻烦，我们可若对闭环方程直接进行特征值的计算比较麻烦，我们可先做线性变换：先做线性变换：得：，进行线性变换后，可变换矩阵IIIPIIIP0,01vbxxckAbkbkAvbbIIIxxIIIbkckAckbkAIIIxxeee00000ckAsIbkAsIckAsIbkbkAsIeedetdet0det第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器我们从上可观测到，特征值为采用真实状态反馈的状态我们从上可观测到，特征值为采用真实状态反馈的状态反馈系统特征值，加上状态观测器的特征值。反馈系统特征值，加上状态观测器的特征值。这个结果表明，采用估计状态代替真实状态

43、进行时，反这个结果表明，采用估计状态代替真实状态进行时，反馈阵馈阵K不改变；状态观测器作为系统一个组成部分时，不改变；状态观测器作为系统一个组成部分时，Ke也也不改变。不改变。当系统能控时，则当系统能控时，则(A-bK)的特征值可以任意配置，不受的特征值可以任意配置，不受状态观测器的影响；当系统能观测时，则状态观测器的影响；当系统能观测时，则(A-keC)的特征值可的特征值可以任意配置，不受状态反馈的影响，以任意配置，不受状态反馈的影响，这种互不影响的方法称这种互不影响的方法称为分离原理。为分离原理。需要注意的是：状态观测器的特征值大约是状态反馈系统的需要注意的是：状态观测器的特征值大约是状态

44、反馈系统的特征值的特征值的4倍，从而保证状态观测器的快的瞬态过程。倍，从而保证状态观测器的快的瞬态过程。态反馈系统。于降阶观测器构成的状上面的方法也同样适用第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器方案。，求重构两维状态反馈无阻尼自然震荡频率要求实现闭环阻尼比例：已知受控系统sradwCBAn/10,707.001,1000,5010能控及能观测。，都满秩，故状态完全能观测性）验证系统的能控性和解：100150010010001CACQABBQoc习题课习题课第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器。以分别独立地进行设计由极点分离性原理，可10014.14)(

45、:07.707.7)22*2,1sssfjs多项式为，则期望特征，由题可得，期望极点为馈阵确定闭环极点配置的反12221100)1005(det)(ksksBKAsIsfkkK：，则闭环特征多项式为令反馈阵0914.0,1)()(21*kksfsf，可得：令第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器构状态反馈系统设计全维观测器构成重)310020)10()(,1022*21ssssfssBKA，则期望多项式为：致引入更多的噪声干扰的衰减速度又不以保证观测误差有较快的极点略负，如取为取观测器的期望极点比)5()5(51det)(2basassbasckAsIsfbakeTe特征多

46、项式为，是观测器的馈阵为令观测器的观测误差反第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器25,15)()(*basfsf，可得令yuxx25151000525115则观测器的方程第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器9().(2)0.707,20;onG ss sKw例：某单位反馈位置随动系统，其控制系统的开环传递函数为试确定反馈增益向量，使其状态反馈系统具有阻尼比无阻尼自动振动频率K解：确定状态反馈增益向量系统闭环传递函数为第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器，其能控型实现为：929)(2sss09,10,2910cbA：而期望闭环传递

47、函数为14.1414.14140028.284002)(22,12222*jwwssswwswsnnnnn期望闭环极点为：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器，则闭环系统矩阵为：增益向量，令状态反馈状态反馈进行极点配置由于系统能控，故可用21kkK)9()2()(291012221kskssfkkbKAA闭环特征多项式为：与期望特征多项式特征值相比，有：28.26391,400928.28212Kkk第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器改变。否由于引入状态反馈而说明系统的能观测性是。求出反馈增益，若可以特征值配置到是否可以用状态反馈将。，求状态若初始

48、条件稳定。，是否判断系统是否渐进稳定例：系统方程为)4K)3,3()3)()(1,11)0(2)111,103410txtuxBIBOxyuxxT第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器)1)(4(341detdet1)ssssAsI系统特征方程解：故系统非渐进稳定。系统在右平面有根，及系统的特征值有：4121ss)4(1)4)(1(11)4)(1(111034111)()(11sssssssssBAsIcsG系统的传递函数：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器稳定。根，故系统为系统的传递函数有负实BIBO)()(1)(,11)0(2)txttux，求初

49、始条件 ttttttttAteeeeeeeessssAsILe444411444451413)4)(1(1第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器tttttttttttttttAAteeeedeeeeeeeedBueextx440)(4)(4440)(7475.1451451832351)()0()(通过反馈任意极点。系统能控，则能够系统的能控性检查,2,3110)3ccrankQABBQ第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器96)3()(43)(22*2ssssfsssf期望特征多项式为：系统特征方程为：系统的能观测性。引入状态反馈不会影响则)4313K

50、21kk第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器状态反馈。的状态观测器实现前述设计特征值为征值设置在用状态反馈将闭环的特例：系统方程为：)4,3(,112,112011jxyuxx。要求系统能控且能观测极点处于要求位置，故，以配置模拟状态变量作反馈量解：本题是设计观测器故系统能控。，,22121ccrankQABBQ第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器故系统能观测。，,22312oorankQCACQ配置极点。系统按要求设计全维状态观测器对系统能控又能观，故可22)(2)(2)2*2sssfssAsIsf特征多项式为：系统的期望系统的特征方程为：1421

51、kkK故反馈阵第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器127s(s)f 3,-4-h3)2*s特征多项式为，则期望要求系统的特征值为观测器参数设计全维观测器，确定故比较上两式，可得：程为：阵参数的观测器特征方具有2)12(2212122122211hshhshshhhsAsIh2421hh第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器1224100437)(xxcyyuxHyBuxHCAx：故状态观测器的方程为第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器系统是否渐进稳定？输出传递函数系统的输入应满足的条件，求系统能控且能观测时均为实数其中例：系统方程

52、如下：)3-2),1),)(10)()(01)(0001000)(dcbadcbatxdtytuctxbatx第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器31000122cbbccarankbAAbbrank0)(10001det2bcabcbbcca可得：0,0,bbab即：有：系统能控且能观测，则解：1)第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3110222dbaabdadcAcAcrank若系统能观测，则有0)(110det22bdbadbaabdad可得：0,0,dbab即：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器0,0,0,dcbba

53、观测的条件为：总之，系统能观测且能)()1(0110001)(100110)()()221bsassbsacdcdscbsasasssdbAsIcsG系统传递函数：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器0)()det()3bsassAsI稳定性分析，因不是渐进稳定的。特征值，故系统仍有即使故系统特征值为0,0,0,0321abba第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器围渐进稳定的。时，系统的原点是大范，当二法证明：，试用李雅普诺夫法第例：设系统状态方程为001021212121aaxxaaxx为唯一平衡点。原点为非奇异阵，故时，当证明：0A0,01021

54、21exaaaaA要条件：是大范围渐进稳定的充0ex。由李雅普诺夫方程证明第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器，则有：令，由李雅普诺夫方程：22121211,ppppPIQQPAPAT，则有：1001101021221212112212121121aappppppppaa2111121122212121212aaaaaaaaaaP第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器020,021121211121aaaaapaa时，因为当。在原点大范围渐进稳定以系统阵为正定对称矩阵，所故P042det222122112131aaaaaaaP，则有：令，由李雅普诺夫方

55、程：22121211,ppppPIQQPAPAT第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器，则有：1001101021221212112212121121aappppppppaa2111121122212121212aaaaaaaaaaP020,021121211121aaaaapaa时，因为当。在原点大范围渐进稳定以系统阵为正定对称矩阵，所故P042det222122112131aaaaaaaP第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器 实验一(极点配置)：二阶系统方框图如下所示：1)由图得：，X10.05S1)X(R211XRXX0.0522令:，XX212

56、0R20X20XX212R200X202010XX01Xy1第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器则电路图为：则电路图为：2)2)检查能控性检查能控性 因为因为 240020200rankAbbrank所以系统完全能控，即极点能任意配置所以系统完全能控，即极点能任意配置 3)3)由性能指标确定希望的闭环极点由性能指标确定希望的闭环极点 令性能指标：令性能指标：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器，0.25Mp0.5sTp 0.25Mpe21选择 0.707210.5s1Tp 2n选择 10n于是求得希望的闭环极点：07.7 j07.7S21，希望的闭环

57、特征多项式为:10014.14SSj7.07)7.07j7.07)(S7.07(S(S)*2f第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器4)确定状态反馈系数K1和K2引入状态反馈后系统的特征方程式为 2120K20S20K201SbK)(ASI2020K)S20K(20S1220.3K4,K解，可得：215)引入状态反馈后的方框图和模拟电路图为：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器则状态反馈后的电路图为：其中：Rx1=50K，Rx2=666.6K 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器实验二(状态观测器及其应用)：系统框图如下：xyux

58、x01,101010系统方程为：可知系统能控和能观，当状态变量X1和X2均不能测量,试用状态反馈使闭环系统的阻尼比 211n第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器可求得系统的闭环极点可求得系统的闭环极点：22j221jS2nn1,2相应的特征方程为相应的特征方程为:1S2S)22j22)(S22j22(S(S)2f令令K=k1,k2，则状态反馈后系统的闭环特征多项式为：则状态反馈后系统的闭环特征多项式为：0K)SK(1SbK(AdetSI122可解：可解：K K1 1=1,K=1,K2 2=0.414第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器2 2、状态观测

59、器的设计、状态观测器的设计 状态观测器的状态方程为状态观测器的状态方程为:GybuxGc)(Ax令令 21ggG)g(g1)S(gSGc)(AdetSI2112为使为使x x尽快地趋于实际的状态尽快地趋于实际的状态X,X,要求观测器的特征值远小于闭要求观测器的特征值远小于闭环极点的实部环极点的实部,现设观测器的特征值现设观测器的特征值S S1,21,2=-5,=-5,据此得据此得 ：2510SS5)(S22可解出可解出g g1 1=9,g=9,g2 2=16=16 169xy169u10 x11第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器观测器的方框图观测器的方框图:观测器的模拟电路观测器的模拟电路:第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器