苏教版一轮复习双曲线导学案

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1、双曲线【知识梳理】1. 双曲线的定义平面内与定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|FiF2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2 .双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2 y20?泊=1（a0, b0）y2 x2弓=1（a0，b0）图形性质范围x a 或 x a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原占八、顶点A1（ a,0）, A2（a0）A1 （0， a），A2（0， a）渐近线y=离心率e= c, e （1 ,+s ），其中 c=pa2 + b2a实虚轴线段A1A?叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2=鸟；

2、线段 BB?叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|= 2b; a叫做双曲线的实半轴长， b叫做双曲线的 虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为出aa、b、c的关系c2= a2+ b2（ca0，cb0）【基础自测】1 若双曲线方程为 x2 2y2= 1，则它的左焦点的坐标为 解析：双曲线方程可化为 x2 羊=1,. a2= 1, b2=c2= a2 + b2=3 c= J6.2左焦点坐标为一 6, 0 .2x22. 若双曲线 丐一y2= 1的一个焦点为（2,0），则它的离心率为 a解析:依题意得a2 + 1= 4,a2= 3,故e=2 = 2 = 23a2333.设Fi, F2是双曲线x

3、2 24i的两个焦点,p是双曲线上的一点，且3|PFi|= 4|PF2|,贝忆 PF1F2的面积等于解析：由 P 是双曲线上的一点和 3|PFi|= 4|PF2可知，|PFi|PF2|= 2，解得 |PFi|= 8, |PF2|= 6又|FiF2|i=2c= iO,所以 PFiF2为直角三角形，所以 PFiF2的面积S= 2X 6X 8= 24.4 .双曲线X2 y2 = i(a 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 .a解析：由题意 ：+ 1 = ；i+ a 2= 2,得a=，故渐近线方程是.3x= 0，即y= , 3x.5.已知Fi(O, 5), F2(0,5)，曲线上任意一点斜率为

4、k,该曲线的离心率为 e,则|k|e=.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在M满足|MFi| |MF2|= 8,若该曲线的一条渐近线的 y轴上的双曲线的上支，c= 5, a= 4, Ab = 3, e= |= 4, |k|= 4.|k| e= |X4 = 5说明：1区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2= b2+ c2,而在双曲线中c2= a2+ b2.双曲线的离心率e i;椭圆的离心率 e (0,i).e2 i.可以看出，双曲线的渐2 .渐近线与离心率：羊一 = i(a0, b0)的一条渐近线的斜率为 =近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.注意当ab0时，双曲线的离心率

5、满足ie0时，e= 2(亦称为等轴双曲线);当 ba0 时，e , 2.3. 直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线 相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.【考点探究】考点一双曲线的定义及标准方程例i已知双曲线c: x2 y2= i的焦距为i0,点P(2,i)在c的渐近线上，则c的方程为a b(2)已知双曲线x2 y2= i,点Fi, F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若 PFi丄PF2,则|PFi|+ |PF2|的值为.解 寺一活=i的焦距为i0,Ac= 5 = ：a2+ b2又双曲线渐近线方程为y=

6、x，且P(2,i)在渐近线上，a号=i，即a = 2b.aa由解得a= 2 .5, b = .5.故C的方程为彳=i.又因为 |PFi|PF2|= 2,所以(|PFi| |PF2|)2= 4,可得 2|PFi|PF2|= 4,则(|PFi|+ |PF2|)2= |PFi|2 + |PF2|2 + 2|PFi| |PF2|= 12,所以 |PFi|+ |PF2|= 2 3.【由题悟法】1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点 (焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” 若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线

7、的mx2 + ny2= 1(mn 1,二 |PF2|= 17.考点二双曲线的几何性质例2如图，F1, F2分别是双曲线C:羊一=1(a, b 0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线FiB与C的两条渐近线分别交于P, Q两点，线段PQ的垂直平分线与 x轴交于点M.若|MF2|= |F1F2|,则C的离心率是解设双曲线的焦点坐标为F1( c,0), F2(c,0).tB(0, b), AF1B 所在的直线为一g+ * = 1双曲线渐近线为by=护,by=ax, 由x v _+ = 1,c bac得Qc abe二I .由by=ac be 得 P a+ c a+ c ,PQ的中点坐标为a2c,2be2

8、c2 a2 c2 a2 .由a2+ b2= c2得，PQ的中点坐标可化为帀2，c2b 直线F1B的斜率为k= -,PQ的垂直平分线为c2 y bc-bx-a2c 彦.a2c令y= 0,得x=申+ c,M 兽 c, 0|F2M|=亍a2ca2c由 |MF 2|= |F 1F2得b2:c 2= 2c,即 3a2= 2c2,e2= 3,c2 a22【一题多变】若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为a，且4a扌，求双曲线的离心率的取值范围.解：根据题意知1 a ；3，即1 0)或m= b，故离心率有两种可能.2 解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用.2 2【以题试法】

9、2. (1)已知双曲线务一y = 1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于a 5解析：由题意知c= 3,故a2 + 5= 9，解得a= 2,故该双曲线的离心率c 3 e= a = 2.2 2已知双曲线 字一-2 = 1(a0, b0)与抛物线y2= 8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P,若|PF|= 5，则双曲线的渐近线方程为解析：设点P(m, n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y2= 8x 上,m+ 2 = 5,且PF= 5得gm,由此得m = 3,a2+ b2= 4,n2= 24.于是有9 24孑b2 =1,由此得a2= 1, b2= 3，该双曲线的渐近线方程为

10、y= ax= + 3x.考点三直线与双曲线的位置关系例3已知双曲线x2 y2= 1(ba0), O为坐标原点，离心率 e= 2,点M(.5, 3)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线I与双曲线交于 P, Q两点，且1 . .求 |OP?+ |OQp 的值.解(1)ve= 2,.c= 2a, b2 = c2 a2 = 3a2,双曲线方程为 字3= 1，即3x2 y2= 3a2.x2点M(一5, ,;3)在双曲线上， 15 3 = 3a2.a2= 4. 所求双曲线的方程为 -(2)设直线0P的方程为y= kx(kz 0),联立X4 = 1,得12 = 1.X2 3 k2212k2y =

11、32，12 k2+11|O吩 X2 + y2=.则 OQ 的方程为 y= 1x，同理有|OQ|212(1 + k2) 12 k2+ 1113 k2 + 3k2 12+ 2k213k2 1 , *|OP|OQI _12 k2+ 1_ 12 k2+ 1 _ 6.13 k2【由题悟法】1 解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入.2 与中点有关的问题常用点差法.注意根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系.【以题试法】3 F1, F2分别为双曲线X2 y2_ 1

12、(a0, b0)的左，右焦点，过点 F2作此双曲线一 a条渐近线的垂线，垂足为M ,满足|,1= 3|,|,则此双曲线的渐近线方程为=a, |解析：由双曲线的性质可得|,|= b，则 |,|= 3b.在AMFiO 中，|aa2+ c2 3b 2,|_ c, cos ZF1OM _ a,由余弦定理可知矿a-，又 c2= a2 + b2,所以 a2 = 2b2,c即=孑，故此双曲线的渐近线方程为y= 2乂【巩固练习】1 已知双曲线的渐近线为 y= 土3x,焦点坐标为(一4,0), (4,0),则双曲线方程为x2 y29= 0,b 0)，由已知条件可得a a bc= 4,b= 3，a2+ b2= 4

13、2,a2= 4,x2 y2解得b2= 12 ,故双曲线方程为4- 12= 1.y22已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2+ m= 1的离心率为解析： m2=16，二m=t,故该曲线为椭圆或双曲线当m=4时，e=a,a2 b24时，e_ a _逅尹_逅故离心率为书或取3.如图，中心均为原点 O的双曲线与椭圆有公共焦点，M , N是双曲线的两顶点.若 M , O, N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 .卩解析：设焦点为F( ,0)，双曲线的实半轴长为 a，则双曲线的离心率 e1= c,ace1椭圆的离心率e2= 所以孑2.L.V0x2 v254 已知P是双曲线了一 b2

14、= 1(a 0,b 0)上的点，F1,F2是其焦点，双曲线的离心率是4,且=0，若 PF1F2的面积为9，则a + b的值为解析： 由，丄,，设|,1= m, |,|= n,不妨设 mn,贝Um2+ n221c 5a =4,=4c2, m n=2a，1mn=9，a=5,解得 c= 5,.b=3，.a+ b= 7.5 .平面内一固定线段 AB,|AB|= 4，动点P满足|PA|PB|= 3,0为AB中点，则|0P|的最小值为_ 解析：依题意得，动点 P位于以点A, B为焦点、实轴长为 3的双曲线的一支上，结合图形可知,该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于|.6

15、 已知双曲线C1： X2 = 1(a0 , b0)与双曲线C2： x4 16= 1有相同的渐近线，且C1的右焦点为 F(5, 0)，贝U a=, b =.解析：双曲线X 16 = 1的渐近线为y= i2x,则 = 2,即b = 2a，又因为c= 5, a2 + b2= c2，所以a=1, b= 2.7 .过双曲线a2-y2= 1(a 0, b 0)的左焦点F作圆x2 + y2 =-的切线，切点为E,延长FE交双曲线 b4右支于点P,若E为PF的中点，则双曲线的离心率为解析：设双曲线的右焦点为 F .由于E为PF的中点，坐标原点0为FF的中点，所以EO/PF , 又E0丄PF，所以PF 丄PF，

16、且|PF = 2X a= a，故|PF|= 3a,根据勾股定理得|FF |= .10a所以双曲线的离心率为严=严.2a 2MF0.m)在双曲线上.求双曲线方程；求证:8.已知双曲线的中心在原点，焦点F1,坐标轴上，离心率为-2，且过点(4, .10).点M(3,解：(1)ve= 2，.可设双曲线方程为x2 y2= w 0).过点(4, -10),.16 10 =入即 =6.a双曲线方程为X y6 = 1.证明：由(1)可知，双曲线中 a= b=.6,.c= 2 3,.Fi( 2 . 3, 0), F2(2 . 3, 0),2 2mmmm .，一，,、.kMF1=, kMF2=, kMF 1 kMF2=丁. ：点(3, m)在双曲线上,3 + 233 2寸 39 123.9 m2= 6, m2= 3,故 kMFi kMF2= 1,.MFi 丄 MF 2. a