初中平面向量复习教案

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1、姓 名学生姓名上课时间12年10月7日12:00-14:00辅导科目数学年级九年级课时2教材版本沪教版课题名称平面向量复习教学目标掌握向量的基本概念；掌握向量加法与减法的定义、运算法则和几何意义；理解掌握实数与向量积的意义和运算律；理解和掌握平面向量的线性运算的意义，掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示的方法。教学重点实数与向量积，向量的线性运算。教学难点实数与向量积的意义和运算律；平面向量的分解方法。教 学 及 辅 导 过 程 一、概念梳理 （一）向量的基本概念 1、什么叫向量？ 2、什么是向量方向与模？ 3、什么是相反向量？什么是平行向量？（二）向量的加法1、 向量的加法定义向量

2、加法的定义：如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2、 向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。（2）向量加法的平行四边形法则（平行四边形法则）如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和。我

3、们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。3、 向量a，b的加法也满足交换律和结合律：对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。当a，b不共线时，|a+b|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；上海育才苑教学设计方案教 学 及 辅 导 过 程当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度

4、小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我们有|a+b|a|+|b|。如图5，作=a，=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则=b，=a。因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a 。如图6，因为=+=(+)+=(a+b)+c，=+=+(+)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。（三）用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回归物理问题，从而解决物理问题。（四）向量的减法由于方向反转两次仍回到原来的

5、方向，因此a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。1、平行四边形法则图1如图1，设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b。又b+=a，所以=a-b。由此，我们得到a-b的作图方法。图22、三角形法则如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。与数x的相

6、反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a 。（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。（五）实数与向量相乘我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|=|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反。由(1)可知，=0时，a=0。根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下

7、面的运算律。实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1)(a)=()a；(2)(+)a=a+；(3)(a+b)=a+b.特别地，我们有(-)a=-(a)=(-a)，(a-b)=a-b。向量共线的等价条件是：如果a(a0)与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a。共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量； (2)两个都为零向量； (3)同向且模相等；(4)同向且模不等； (5)反向且模相等； (6)反向且模不等。数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直

8、线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。(六) 向量的线性运算1、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b，以及任意实数、，恒有(ab)=ab。2、一般来说，如果a、b是两个不平行的向量，c是平面内的一个向量，那么c可以用a、b表示，并且通常将其表达式整理成c=xayb的形式，其中x、y是实数。3、平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。（即，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。二、应用拓展例1、 化简：(1)+ (2)+ (3)+例2 、若=+，=-当、满足

9、什么条件时，+与-垂直？当、满足什么条件时，|+|=|-|？当、满足什么条件时，+平分与所夹的角？+与-可能是相等向量吗？例3、已知：平行四边形ABCD，点M，N分别是边DC,BC的中点，射线AM与BC相交于点E。设：=， =，分别求向量，关于，的分解式。 例4、在三角形ABC中，已知=，=，G是重心，请写出关于，的分解式。 例5、已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点 求证：三、巩固练习1、已知正方形ABCD的边长为1，=a，=c，=b，则|a+b+c|为( )。A.0 B.3 C. D.22、设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。ab； a

10、+b=a； a+b=b； |a+b|a|+|b|； |a+b|=|a|+|b|。A. B. C. D.3、下列等式中，正确的个数是( )。a+b=b+a a-b=b 0-a=-a -(-a)=a a+(-a)=0A.5 B.4 C.3 D.24、如图，D、E、F分别是ABC的边、的中点，则-等于( )。A. B. C. D.5、下列式子中不能化简为的是( )。A.(+)+ B.(+)+(+)C. D.-+6、已知A、B、C三点不共线，O是ABC内一点，若+=0，则O是ABC的( )。A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心7、(2a+8b)-(4a-2b)等于( )。A.2a-b B.2b-a

11、C.b-a D.a-b8、设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为( )。A.1 B.-1 C.1 D.09、若向量方2x-3(x-2a)=0，则向量x等于( )。A. B.-6a C.6a D.- 10、设向量a，b都不是零向量：(1)若向量a与b同向，则a+b与a的方向_，且|a+b|_|a|+|b|；(2)若向量a与b反向，且|a|b|，则a+b与a的方向_，且|a+b|_|a|-|b|。11、如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，设=a，=b，=c，则=_ _。(用a 、b 、c表示) 12、在ABC，=，EFBC，EF交AC于F，设=a，=b

12、，则用a、b表示的形式=_。13、在ABC，M、N、P分别是AB、BC 、CA边上的靠近A、B 、C的三等分点，O是ABC平面上的任意一点，若+=e1-e2，则=_。14、某人在静水中游泳，速度为km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为4 km/h，则他实际以多大的速度沿何方向游?15、在中心为O的正八边形A1A2A8中，a0=，ai=(i=1，2，7)，bj=j(j=1，2，8)，试化简a2+a5+b2+b5+b716、已知ABC为直角三角形，A=90，ADBC于D，求证：|2=|+|2+|+|217、已知两向量a和b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直。18、已

13、知ABC的重心为G，O为坐标原点，=a，=b，=c，求证：=(a+b+c)四、全课小结 本次课你有哪些收获？还有什么问题？五、课后作业（见附页） 课 后 记学生课堂亮 点对学生或家长建议教学反思学生家长签字教务部门签章平面向量复习课后作业一、 填空题1、 若是非零向量，则的方向是：当时，与_方向2、 如果两个非零向量满足(是非零实数)，那么和一定是_；当时，它们是_的向量；当时，它们是_的向量3、 设是非零实数，是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_4、 如果是两个不平行的向量，那么叫做的_5、 对于非零向量，它的长度为，如果把与它同向的单位向量记作，那么向量可以记作_6

14、、 设是单位向量，若与方向相同，且满足，请用表示：_7、 如果则_8、 在四边形中，设，如果那么四边形一定是_（填四边形的名称）9、 已知的重心是点，则_10、 设是平行四边形的对角线的交点，点为平面内与不重合的任意一点，设，试用表示：_二、选择题11、 下列式子中，错误的是（ ）A. B. C. D. 12、 向量化简后的结果等于( )A. B. C. D. 13、 点在线段上，且，若，则的值等于（ ）A. B. C. D. 14、 给出下列个命题，其中真命题的个数是( )个（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等A. B. C. D.15、 已知一个单位向量，

15、设是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 三、解答题16、 计算：17、 已知向量关系式，试用向量表示。18、 已知非零向量，请用作图方法验证（不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程。） 19、 在中，为的三等分点，为三等分点，写出关于的线性组合。ABCEGFH20、 如图，已知平行四边形中，点分别是边的中点，与对角线分别交于点，设，（1） 试用分别表示向量；（2） 作出向量分别在方向上的分向量。BACEFGH21、 在中，是边的在中点，是延长线上的点，且。（1） 用表示向量（2） 用表示向量ABDEC22、 在四边形中，请判断四边形的形状，并证明你的结论。 虹口校区 电话：02136395361