信号与系统第二版第8章离散时间系统的Z域分析2

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1、一线性a,b为任意常数。为任意常数。212121 )()()()()()()()(RzRzbYzaXnbynaxZRzRzYnyZRzRzXnxZyyxx 则则若若ROC：取二者的重叠部分：取二者的重叠部分),min(),max(2211yxyxRRzRR 即即某些线性组合中某些零点与极点相抵消，某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。则收敛域可能扩大。(叠加性和均匀性）叠加性和均匀性）二位移性二位移性1.1.双边双边z变换变换2.2.单边单边z变换变换(1)左移位性质左移位性质(2)右移位性质右移位性质nO)(nx4nO)2(nx4nO)2(nx411 211 211 2 原序

2、列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。()()x nzZ x nX z若序列的双边 变换为1 1双边双边z变换的位移性质变换的位移性质()()mZ x nmz X z则：()()mZ x nmzX z则:根据双边根据双边z变换的定义可得变换的定义可得 nnzmnxmnxZ )()(，则则令令kmn ()()mkkZ x nmzx k z证明双边z变换的位移性()mzX z()()mZ x nmz X z同理：2 2单边单边z变换的位移性质变换的位移性质nO nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 的长度有所增减。较n

3、unxnumnx,numnx若若x(n)为双边序列，其单边为双边序列，其单边z变换为变换为 )()(nunxZ左移位、右移位性质左移位、右移位性质 )()()(zXnunxZ 若若 10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ则则为正整数为正整数其中其中m 1)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ则则nO nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 证明左移位性质证明左移位性质根据单边根据单边z变换的定义，可得变换的定义，可得 10mkkmzkxzXz 0nnzmnxnumnxZ 0nmnmzmnxz mnk 令令 mkkmzkxz

4、 100mkkkkmzkxzkxz证明右移位性质证明右移位性质根据单边根据单边z变换的定义，可得变换的定义，可得 0nnzmnxnumnxZ 1mkkmzkxzXz 10 mkkkkmzkxzkxz 0nmnmzmnxz mnk 令令 mkkmzkxz 0)(1zxzzXnunxZ 10)(222zxxzzXznunxZ10()()()()mmkkZ x nm u nzX zx k z1()()()()mkkmZ x nm u nzX zx k z 1)(11xzXznunxZ 21)(212xxzzXznunxZ)()()(zXznumnxZm 0,0nx n对于因果序列，结论：三序列线性加

5、权性质三序列线性加权性质zzXznnxzXnxZd)(d)()()(则若)(dd)(zXzznxnmm 推推广广 )(ddddddddddzXzzzzzzzzzzm表表示示共求导共求导m次次 z0求导两边同时对nnznxzX四序列指数加权四序列指数加权 为为非非零零常常数数则则若若aRazRazXnxaRzRzXnxZxxnxx )()()(2121 同理同理 21 )(xxnRazRazXnxa 21)(1xxnRzRzXnx azXaznxznxanxaZnnnnnn00)()()(证明：证明：（z z域尺度变换）域尺度变换）五初值定理五初值定理 )(lim)0()(0zXxznxnxZz

6、Xnxznn 则则，为为因因果果序序列列，已已知知若若证明略，见书证明略，见书P68。六终值定理六终值定理 )()1(lim)(lim )(10zXznxznxnxZzXnxznnn则为因果序列，已知若。收敛，才可用终值定理注意：当)n(x,n证明略，见书证明略，见书P68。七时域卷积定理七时域卷积定理 )()()(*)()()()()(2121zHzXnhnxZRzRnhZzHRzRnxZzXhhxx 则则已知已知),min(),max(2211hxhxRRzRR 收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即即描述：时域作卷积，描述：时域作卷积，z z域域作乘法

7、。作乘法。注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。相抵消，则收敛域可能扩大。证明时域卷积定理证明时域卷积定理 mmzHzmx因为因为 所以所以()()()()Z x nh nX z H z nnznhnxnhnxZ nnmzmnhmx mmnmnzzmnhmx八z域卷积定理1c1vdv)v(HvzXj21)n(h)n(xZ 1c1vdvvzHvXj21)n(h)n(xZ 或描述：时域作乘法，描述：时域作乘法，z z域域作卷积。作卷积。例8-5-1 1121 LTIS nxnxnyny的差分方程为的差分方程为 。，求，求，21,0

8、121nyyxnunxn 解解:112111 xzXzzXyzYzzY 0112111 zzXzYzzY方程两边作方程两边作z变换变换代入边界条件代入边界条件整理为整理为 212123212123 211111121zzzzzzzzzzzzY 0112111 zzXzYzzY nunynn 212123 所以所以例8-5-1 解：解：。变换的求zXz)n(unanaz,azz)n(uaZn 因为 22n)az(za)az(zazzzdazzdz)n(unaZ所以az 例8-5-2。求，)n(h)n(x)n(y,)n(ub)n(h),n(ua)n(xnnazazz)z(X bzbzz)z(H 2

9、()()()()()zY zX zH zza zbmax(,)za b解解：a bO zRe zImj收敛域收敛域 bzbzazazbazY1)(因因为为 )()(1)(nubbnuaabanynn 所所以以 )(111nubabann sTzsze ,关关系系TTTz j)j(eee sT Tr2:e:幅幅角角半半径径所所以以 代入代入比较比较一一z平面与平面与s平面的映射关系平面的映射关系 esTzz 在引入 变换的定义时，引入ssj)(：直直角角坐坐标标 Oj0j0 sj s平面平面 je)(rzz：极极坐坐标标 jerz )Re(z)Im(jzOz平平面面0r0 情况讨论s平面平面z平

10、面平面0 0 0 :为为常常数数 1 r1 r1 r0:为常数为常数r左半平面左半平面虚轴虚轴右半平面右半平面左向右移左向右移单位圆内单位圆内单位圆上单位圆上 单位圆外单位圆外半径扩大半径扩大（2 2），正实轴平面：实轴平面0z0s（3 3）zs映射不是单值的。映射不是单值的。见书见书p76p76，图，图8 8111122ss （1 1）Tre 二二z变换与拉式变换表达式之对应变换与拉式变换表达式之对应 ,?x tx nL x tX sZ x nX zX sX z能否借助写出成项指数序列相加组合而由若序列NnTx 成项指数信号相加组合而由若连续时间信号Ntx txtxtxtxn21 tuAtx

11、NitpiNiii 11eN1iiipsAtx LnTxnTxnTxnTxN21nTueAnTxN1inTpiN1iiiN1i1Tpize1AnTxZi 可以展成部分分式于是，sX 变换。的序列，求抽样的拉式变换为已知正弦信号znTunTsinstutsin020200 tutsintx0 2020ssX 1020jj,X sss 显然的极点位于，其系数为 00js2jjs2jsX解：解：2jA2jA21及例8-6-2 变换为的可以得到znTunTsin0 Tj1Tj100ez12jez12jzX20101zTcosz21Tsinz8.7 用z变换解差分方程Z Z域分析法域分析法序言u描述离散

12、时间系统的数学模型为差分方程。描述离散时间系统的数学模型为差分方程。u求解线性时不变离散系统差分方程两种方法：求解线性时不变离散系统差分方程两种方法：时域方法时域方法第七章中介绍第七章中介绍 Z Z变换方法变换方法u差分方程经差分方程经Z Z变换变换代数方程；代数方程；u求解过程自动包含了初始状态（相当于求解过程自动包含了初始状态（相当于0 0-的条件）的条件）一应用一应用z z变换求解差分方程步骤变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行单边对差分方程进行单边z变换（移位性质）；变换（移位性质）；(2)由由z变换代数方程求出响应变换代数方程求出响应Y(z)；(3)求求Y(z)的反变换，得到的反

13、变换，得到y(n)。差分方程差分方程ZZ域方程域方程N N阶阶:初始状态初始状态:y(-1),y(-2),y(-N):y(-1),y(-2),y(-N)激励激励:因果信号因果信号k=0k=0接入接入.x(-1)=x(-2)=0.x(-1)=x(-2)=0MrrNkkrnxbknya00100()()()NMklrKrklkra zY zy l zb zX z对方程两边取对方程两边取Z变换变换（单边）：（单边）：)()()(zYzYzYzizs若系统无激励，响应仅由系统的起始状态产生，为零输入若系统无激励，响应仅由系统的起始状态产生，为零输入响应响应Yzi(z)。若系统起始状态为零，仅由激励（为

14、因果信号）产生的响若系统起始状态为零，仅由激励（为因果信号）产生的响应为零状态响应应为零状态响应Yzs(z)。100()()NklKklkziNkKka zy l zYza z00()()MrrrzsNkKkb zYzX za z100()()()NMklrKrklkra zY zy l zb zX z例8-7-1求系统的完全响应。若边界条件达式为已知系统的差分方程表,1)1(y)n(u05.0)1n(y9.0)n(y 105.019.01 zzyzYzzY 9.019.09.0105.02 zzyzzzzY解解：方程两端取方程两端取z变换变换 1210.9Y zAAzzz 1210.9A z

15、A zY zzz45.0 5.021 AA 0.50.4510.9zzY zzz 0 9.045.05.0 nnyn例8-7-2解解：已知系统框图已知系统框图列出系统的差分方程列出系统的差分方程。（1）列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手 nynynynxnx 22131 12213 nxnxnynyny所所以以E1 nxE1E12 3 ny 求系统的响应求系统的响应 y(n)。,010,0002yynnnxn 452,211 yy 21213121 yyzzYzyzYzzY 1 01221 xzzzzz（3）差分方程两端取）差分方程两端取z变换，利用右移位性质变换，利用右移位性质

16、（2）由方程迭代出用变换求解需要用0y,1y,2y,1yza.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应 2123121zs zzzzzY零状态响应为零状态响应为 nunnyzYn21zszs 22zs2 zzzY即即 31221y ny ny nx nx n()(2)()nx nu n b.由储能引起的零输入响应由储能引起的零输入响应 221312231121zi yyyzzzzY 1223121zi zzzzzzzzzY 01223zizi nnyzYnn即即零输入响应为零输入响应为)()(nynynyzszi全响应为全响应为8.8 离散系统的系统函数系统函数的定义系统函数的定义H(z)

17、系统函数的零极点分布对系统特性的影响系统函数的零极点分布对系统特性的影响h(n)的时域性能的时域性能 系统稳定性系统稳定性 系统因果性系统因果性M0rrN0kkrnxbknya一、离散时间系统系统函数定义一、离散时间系统系统函数定义线性时不变离散系统由线性常系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为数差分方程描述，一般形式为 M0rrrN0kkkzbzXzazY 00MrrzsrNkkkb zYzH zX za z 021 xx 021 yy激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态在零状态条件下两边取在零状态条件下两边取z变换得：变换得：只与系统的差分只与系统的差

18、分方程的系数、结构有方程的系数、结构有关，描述了系统的特关，描述了系统的特性。性。zH Hz：等于零状态响应与激励的Z变换之比。h(n)和H(z)为一对z变换 1zXnnx，则若 zs()*()()ynh nx nh nnh n 1h nZH z系系统统)(n)(nh ()1()zsYzH zX zH zH z 例8-8-1 12213 nxnxnynyny，121321zszszsYzz Yzz YzX zz则则 zsYzH zX z解：解：零状态响应零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为

19、：zs2,()nx nu nH zh nyn 求系统函数和及零状态响应。2222zszzzYzH zX zzzz zs12nynnu n 22112311211 zzzzzzzzz)()2()()(1nuzHZnhn二、系统函数的零极点分布二、系统函数的零极点分布对系统特性的影响对系统特性的影响 的特性确定单位样值响应的零极点分布情况，所以可以从因为nhzHzHnh1 1由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值响应 NkkMrrzpzzG111111 NkkkMrrrzazbzH00极点极点零点零点:krpz展成部分分式：（假设无重根）展成部分分式：（假设无重根）NkkkNkkkp

20、zzAApzzAzH100 NkkkpzzAAZnh101 所所以以 zHnh 因为因为 NknkknupAnA10 OzRezj Im1 1 极点位置与极点位置与h(n)形状的关系形状的关系 1Nnkkkh nApu n NknkknupAnAnh10H(z)H(z)的极点决定的极点决定h(n)h(n)的形式，其规律如下：的形式，其规律如下：极点在单位圆上：等幅振荡极点在单位圆上：等幅振荡极点在单位圆内：减幅极点在单位圆内：减幅极点在单位圆外：增幅极点在单位圆外：增幅s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等

21、幅 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅利用利用zs平面的映射关系平面的映射关系2 2离散系统的稳定性离散系统的稳定性 nnh对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的。定是有界的。(2)(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义：定义：判据判据1 1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。可和。判据判据2 2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：对于因果系统，其稳定的充要条件为：H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单的全部极点应落在单

22、位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内位圆在内:。1 ,aaz(3)连续系统和离散系统稳定性的比较连续系统和离散系统稳定性的比较 tthd nnh连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充系统稳定的充要条件要条件极点极点H(s)的极点全的极点全部在左半平面部在左半平面H(z)的极点全部的极点全部在单位圆内在单位圆内3 3系统的因果性系统的因果性系统因果性的判断方法：系统因果性的判断方法：输出不超前于输入输出不超前于输入 nunhnh ：时时域域例8-8-2 1224.012.0 nxnxnynyny下面方程所描述的系统是否为因果系统？下面方程所描述的系统是否为因果系统？1224.012.0 nx

23、nxnynyny解：解：输出未超前于输入，输出未超前于输入，所以是因果系统。所以是因果系统。例8-8-3解：解：。，判断因果性，稳定性系统nunhLTI nnh不稳定系统不稳定系统 0,00,1nnnunh从时域判断从时域判断因果系统因果系统例8-8-4LTILTI系统，系统，判断因果性、稳定性。，判断因果性、稳定性。nunhn 5.0注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。从时域判断：从时域判断：3215.05.05.0nh 325.015.015.01 nnh 所所以以不稳定不稳定21 z21 z 112121225.0nnnnnzzzzzzzH从从

24、z域判断：域判断：收敛域收敛域 ，极点在处，极点在处 ，是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。从时域判断：从时域判断：不是因果系统不是因果系统 0,00,1nnnu见书见书P86例例819综合例题：综合例题：8.10 离散系统的频率响应特性 HzzHH jjjjeeee nx nyzs zH离离散散系系统统稳稳定定的的因因果果一、频响特性（正弦序列作用下系统的稳态响应）一、频响特性（正弦序列作用下系统的稳态响应）nxnO 1sinnA 1A nyzsnO 2sinnB 2B1()sin()x nAn激励激励2()sin()ssynBn稳态响应稳态响应1.若

25、输入是正弦序列，则系统的稳态响应也是同频率若输入是正弦序列，则系统的稳态响应也是同频率的正弦序列，只是幅值被加权，相位发生变化。的正弦序列，只是幅值被加权，相位发生变化。()|()|sin()jssynA H en2.系统对不同频率的输入，产生不同的幅值加权和相系统对不同频率的输入，产生不同的幅值加权和相位变化，这就是系统的频率响应特性位变化，这就是系统的频率响应特性H(ejw)。1()sin()x nAn2()sin()ssynBn(21)()|()|(21)jjjBH eeABH eA 见书见书p95说明：说明：二、由系统函数得到频响特性二、由系统函数得到频响特性 HzzHH jjjjee

26、ee 系统的频率响应特性系统的频率响应特性:Hej输出与输入序列的幅度之比输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：幅频特性输出对输入序列的相移输出对输入序列的相移 ：相频特性：相频特性 。为为周周期期函函数数，其其周周期期为为为为周周期期函函数数，所所以以2 e ejjH 离散系统区别于连续系统的一个突出的特点。离散系统区别于连续系统的一个突出的特点。离散系统（数字滤波器）的分类离散系统（数字滤波器）的分类Os Hje带带通通Osc Hje低通低通Os Hje高高通通Os Hje带带阻阻O2ss Hje全全通通2s2s2s2s当当T1时，时，ws2例例:已知离散系统的系统函数为已知离散系统的系统函

27、数为,21,122)(zzzzH求系统的频率响应。求系统的频率响应。解：解：()()|jjz eH eH z221jjee2(cossin)2cos12 sinjj|H(ej)|o22 2(a)()o2 2(b)44系统的幅频曲线：系统的幅频曲线：系统的相频曲线：系统的相频曲线：三、频响特性的几何确定法三、频响特性的几何确定法 kNkrMrpzzzzH 11 kNkrMrHpzeH jjj1j1jeeee krkkrrBpAz jjjjee ee 令令 kNkrMrBAH11je 幅频响应幅频响应 NkkMrr11 相位响应相位响应 zRe zImj1 1p2p1z2zO1A2A1B2B1 2

28、 1 2 DjeCE几点说明几点说明 。零点的作用与极点相反零点的作用与极点相反趋于无穷大。趋于无穷大。，则频率响应的峰值，则频率响应的峰值落在单位圆上，落在单位圆上，若极点若极点值附近愈尖锐；值附近愈尖锐；愈短，则频率响应在峰愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，越靠近单位圆，若极点若极点 0iiiiBpBp例例 已知离散系统的系统函数为已知离散系统的系统函数为 14)1(6)(zzzH41z 解解:由于由于H（z）的收敛域为）的收敛域为 ，所以，所以H（z）在）在单位圆上收敛。单位圆上收敛。H（z）有一个极）有一个极 点点 ,有一个零点有一个零点z1=1。系统的频率响应为。系统的频率响应为:4

29、1z411p41123)()(jjezjeezHeHj求系统的频率响应，粗略画出幅频和相频响应曲线。求系统的频率响应，粗略画出幅频和相频响应曲线。)(令,1,41jjjjeBeeAe则有)()(23)(jjjjjeeHAeBeeHABeHj23)(AejBejRezImzo(a)114oT|H(ejT)|4222(T)(b)二傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系1三种变换的比较 tx 连续信号连续信号 nTx 离散信号离散信号jsj sTze 变换名称变换名称傅里叶变傅里叶变换换拉普拉斯拉普拉斯变换变换z z变换变换信号类型信号类型变量变量 nsnTsnTxsXe拉氏变换拉氏变换 nnTzsT,e

30、 nnznxzXz变换变换2频率的比较模拟角频率模拟角频率 ，量纲：弧度，量纲：弧度/秒；秒；数字角频率数字角频率 ，量纲：弧度；，量纲：弧度；是周期为是周期为 的周期函数的周期函数关系：关系：T je2本章小结：本章小结：u Z Z变换的定义，典型序列的变换的定义，典型序列的Z Z变换变换u Z Z变换的收敛域变换的收敛域u 逆逆Z Z变换变换(部分分式展开法）部分分式展开法）u Z Z变换的基本性质变换的基本性质u Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系u Z Z域分析法求解系统响应域分析法求解系统响应u 离散系统的系统函数离散系统的系统函数H(zH(z）u 离散系统的因果性与稳定性的判定离散系统的因果性与稳定性的判定u 离散系统的频响特性离散系统的频响特性H(eH(ej j)本章作业：本章作业：P1038 81 1 （7 7、8 8、9 9）8 810 10（1 1、2 2）8 812128 829298 83636