卡诺图化简法课堂PPT

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1、2.2 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.2.1 2.2.1 逻辑变量的最小项及其性质逻辑变量的最小项及其性质1.1.最小项定义最小项定义:如：如：A A、B B、C C是三个逻辑变量，有以下八个乘积项是三个逻辑变量，有以下八个乘积项为此三个变量的最小项为此三个变量的最小项CBACBACBACBABCACBACABABC 设有设有n n个变量，若个变量，若m m为包含全部为包含全部n n个变量的乘积项（每个变量个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）则称必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）则称m m为该组为该组变量的最小项。变量的最小项

2、。2.2.特点特点(2)(2)每个变量均为原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次每个变量均为原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次(3)n(3)n个变量有个变量有2 2n n个最小项个最小项(1)(1)每个最小项均含有三个因子（每个最小项均含有三个因子（n n个变量则含个变量则含n n个因子）个因子）3.3.最小项的编号最小项的编号 最小项常用最小项常用m mi i表示，下标表示，下标i i即为编号。在最小项中，即为编号。在最小项中，原变量原变量11、反变量反变量 0 0，所对应的十进制数即为，所对应的十进制数即为i i值。值。二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号0000m m0 0001

3、1m m1 1010011100101110111234567最小项最小项CBACBACBABCACBACBACABABC 以三变量为例以三变量为例或定义为：使最小项为或定义为：使最小项为“1 1”的的变量取值组合变量取值组合所对应的所对应的十进制数十进制数最小项的编号与变量的高、低位顺序有关最小项的编号与变量的高、低位顺序有关注意注意m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7对于乘积项对于乘积项ABCABC，若，若A A为高位为高位mm3 3 若若C C为高位为高位mm6 64.4.最小相的性质最小相的性质(1)(1)对于变量的任意一组取值组合，只有一个最小项的

4、值为对于变量的任意一组取值组合，只有一个最小项的值为1 1(2)(2)对于变量的任意一组取值组合，任意两个最小项的积为对于变量的任意一组取值组合，任意两个最小项的积为0 0(3)(3)对于变量的任意一组取值组合，所有最小项之和对于变量的任意一组取值组合，所有最小项之和(或或)为为1 10 0 1A B CA B C0 0 0m m0 0CBAm m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7CBACBABCACBACBACABABC 1-n20iimF1000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10000000

5、00000100000010000001000000100000010000001111111A A、B B、C C三变量的最小项三变量的最小项 最大项定义最大项定义:n n个变量有个变量有2 2n n个最大项，记作个最大项，记作i i设有设有n n个变量，若个变量，若M M为包括全部为包括全部n n个变量的和项个变量的和项,（每个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次），则称必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次），则称M M为该组变量的为该组变量的最大项最大项。最大项最大项补充补充v最大项编号：最大项编号：使使MiMi为为0 0的变量取值组合的变量取值组合作为二进制数

6、，作为二进制数，其对应的十进制数为其编号。其对应的十进制数为其编号。(1 0 1 0)(1 0 1 0)B B(10)(10)D DM M1010例例 A+B+C+DA+B+C+Dv 任意一组变量取值，只有一个最大项的值为任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为其它最大项的值均为1v 同一组变量取值任意两个不同最大项的和为同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1。即即Mi+Mj=1 (ij)v任意一组变量取值，全部最大项之积为任意一组变量取值，全部最大项之积为0，即，即120ii0Mn最大项的性质（与最小项相对照）：最大项的性质（与最小项相对照）：最小项与最大项的关系最小项

7、与最大项的关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即:mi=Mi Mi=mi若干个若干个最小项之和最小项之和的表达式的表达式F，其其反函数反函数可用相对应的可用相对应的最大项之积最大项之积表示。表示。例：例：7531mmmmF7531mmmmFm1m3m5m7=7531MMMM=即最小项之和与相应的最大项之积互为反函数。即最小项之和与相应的最大项之积互为反函数。逻辑变量逻辑变量最小项之最小项之和形式和形式标准的与或式标准的与或式2.2.2 2.2.2 逻辑函数最小项表达式逻辑函数最小项表达式用摩根定律去掉非号用摩根定律去掉非号(多个变量上多个变量上)直至只

8、在一个变量上有非号为止直至只在一个变量上有非号为止用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式配项得到最小项表达式配项得到最小项表达式由一般逻辑式由一般逻辑式最小项表达式方法最小项表达式方法F(AF(A、B B、C C、D)D)D C BADCBADC B AD C B A8510mmmm)8 5 1 0(m、如习习 题题求函数求函数F(AF(A、B B、C)C)CB ABA的最小项的最小项表达式表达式解：解：F(AF(A、B B、C)C)CB ABACB A)CC(BA123mmm)3 2 1(m、CB ABACB ACBABCA例1ABCBAABABCL

9、)()(ABCBAABABCBAAB6753mmmm)6,7,5,3(mABCBABA)()(CCABCBABCACABABCCBABCA例2结论结论：任一个：任一个逻辑函数都可化逻辑函数都可化成为唯一的最小成为唯一的最小项表达式项表达式对于一个具体的逻辑问题，逻辑表达式是对于一个具体的逻辑问题，逻辑表达式是不唯一不唯一的的唯一唯一真值表真值表最小项表达式最小项表达式真值表真值表实际上是函数最小项实际上是函数最小项表达式的一种表达式的一种表格表格表示表示如如ABCY00000010010001111000101111011110CABCBABCAY 最小项表达式的一种图形表示最小项表达式的一种

10、图形表示卡诺图卡诺图可利用可利用对逻辑函数进行化简对逻辑函数进行化简2.2.32.2.3用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1 1、n n变量的卡诺图变量的卡诺图将将n n个逻辑变量的个逻辑变量的2 2n n个最小项分别用一个小方块来表示，个最小项分别用一个小方块来表示，并按照逻辑上相邻的小方块在几何位置上也相邻的规则并按照逻辑上相邻的小方块在几何位置上也相邻的规则排列成的一个方格图形。排列成的一个方格图形。逻辑上相邻逻辑上相邻：两个最小项只有一个变量不同。例：两个最小项只有一个变量不同。例CBACBA与2、n变量卡诺图的引出卡诺图的引出（P48P50 P48P50 自学）自学）折叠展开法

11、折叠展开法目的：使逻辑上相邻的最小项（小方块）在几何位置上也相邻。目的：使逻辑上相邻的最小项（小方块）在几何位置上也相邻。3 3、n n变量卡诺图的具体画法：变量卡诺图的具体画法：二变量卡诺图的画法与书上不同，二变量卡诺图的画法与书上不同，由一变量卡诺图折叠展开的方法不同造成的由一变量卡诺图折叠展开的方法不同造成的2)2)三变量的卡诺图三变量的卡诺图 L(A,B,C)L(A,B,C)3)3)四变量的卡诺图四变量的卡诺图 L(A,B,C,D)L(A,B,C,D)0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m

12、11ABCDABC0100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m71)1)二变量的卡诺图二变量的卡诺图 L(A,B)L(A,B)A AB B0 01 1B B1 10 00 01 13 32 2AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3由由0111 10,0111 10,只只有一个因子变化有一个因子变化 n n个变量函数的个变量函数的k k图有图有2 2n n个小方格，分别对应个小方格，分别对应2 2n n个最小项个最小项；k k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使使几何相邻几何相邻的最小项之间具有的最小项之

13、间具有逻辑相邻性逻辑相邻性。几何相邻包括：几何相邻包括：邻接、行列两端、四角相邻。邻接、行列两端、四角相邻。卡诺图具有循环邻接性，是使用卡诺图具有循环邻接性，是使用K K图化简逻辑函数的主要依据。图化简逻辑函数的主要依据。4 4、n n变量卡诺图的特点：变量卡诺图的特点：注：变量卡诺图画法注：变量卡诺图画法不唯一不唯一。但必须满足但必须满足循环邻接循环邻接的原则。的原则。即即 逻辑上邻接的最小项几何位置也邻接。逻辑上邻接的最小项几何位置也邻接。(1)(1)已知逻辑表达式已知逻辑表达式)逻辑表达式化成最小项表达式逻辑表达式化成最小项表达式)画变量卡诺图画变量卡诺图)在最小项表达式中包含的最小项对

14、应的小方块中填在最小项表达式中包含的最小项对应的小方块中填“1”1”；其余填入其余填入“0”0”5 5、逻辑函数的卡诺图画法、逻辑函数的卡诺图画法v这样，任何一个逻辑函数就等于其卡诺图中这样，任何一个逻辑函数就等于其卡诺图中 填填“1 1”的那些的那些最小项之和最小项之和ACCDADCBAY iiimDCBACDBADABCABCDCDBABCDADCBADDCBADDABCCDBABCDADCBACBBACDBBADCBA)15,14,11,10,9,7,3()()()()(0100011110001110CDAB1 11 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 00 0

15、0 00 00 0例例1 1：把函数化成最小项表达式，再画卡诺图：把函数化成最小项表达式，再画卡诺图。例例2：由函数的与或式直接画卡诺图：由函数的与或式直接画卡诺图将将F(AF(A、B B、C C、D)D)ACBCADCBABDCA的卡诺图画出的卡诺图画出解：解：0100011110001110CDABAB111111B CD11 ACD ABC11AC1111m14,m15两次填两次填10000例例2.2.32.2.3：在在 L L 的各最小项对应的方格中填的各最小项对应的方格中填0,0,其余各方格填其余各方格填1 1。L(A,B,C,D)=(L(A,B,C,D)=(A A+B B+C C+

16、D D)()(+B B+C C+D D)()(A A+B B+C C+D D)A A（A+A+B B+C C+D D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)求卡诺图求卡诺图0100011110001110CDAB1 11 11 10 01 11 10 00 01 11 11 11 10 01 11 10 0=m(0,6,10,13,15)m(0,6,10,13,15)ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCDABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCDL L=m mi i=1 =1 且且 L=1-LL=1-LL L 中应包含中应包含 L L 中没有的所有最小项中没有的所有最小项例例:已

17、知真值表如图已知真值表如图A BC L00000011010101111000101011011110A A0 01 1BCBC010100001111 10100 00 00 00 0 1 11 11 11 10011010101111101 将真值表中函数值为将真值表中函数值为1的的变量组合对应的小方块中填入变量组合对应的小方块中填入“1”1”；其余填其余填“0”0”即可即可(2)(2)已知真值表已知真值表卡诺图卡诺图2.2.4 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数1.1.卡诺图化简的依据卡诺图化简的依据：循环邻接性循环邻接性2)2)相邻相邻四个四个最小项求和时最小项求和时

18、,四项并一项并消去四项并一项并消去两个两个因子因子1)1)相邻相邻两个两个最小项求和时最小项求和时,两项并一项并消去两项并一项并消去一个一个因子因子3)3)相邻相邻八个八个最小项求和时最小项求和时,八项并一项并消去八项并一项并消去三个三个因子因子0 01 12 23 3ABAB00000101CDCD010100001111 10104 45 56 67 7111110101212 1313141415158 89 9101011114 46 69 91 110100 08 82 210100 08 82 24 4121214146 6如如:DCBDCBADCBAmm91DBADBCADCBA

19、mm64如如:DBDCBADCBADCBADCBAmmmm10820如如:Dmmmmmmmm14121086420保留相同因子；消去不同因子2.2.用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤1)1)将相邻的值为将相邻的值为“1”1”的小方块画成若干个包围圈的小方块画成若干个包围圈)每个包围圈中必须含有每个包围圈中必须含有2 2n n个小方块个小方块 (n=0,1,2,)(n=0,1,2,)小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其他小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其他 包围圈没有的新小方块包围圈没有的新小方块)不能漏掉任何值为不能漏掉任何值为1 1的小方块的小

20、方块)包围圈所含的小方块数目要尽可能多包围圈所含的小方块数目要尽可能多)包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由大包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由大小小2)2)将每个包围圈中的最小项合并成一项将每个包围圈中的最小项合并成一项乘积项乘积项 留下相同因子，消去不同因子留下相同因子，消去不同因子3)3)对各个包围圈合并成的乘积项求逻辑和对各个包围圈合并成的乘积项求逻辑和设已得到逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图原始表达式表示在卡诺图上原始表达式表示在卡诺图上识别识别8 8方格的包围圈方格的包围圈识别识别4 4方格的包围圈方格的包围圈识别识别2 2方格的包围圈方格的包围圈没有相邻项的单独画圈没有相邻

21、项的单独画圈最简与或表达式最简与或表达式大圈大圈小圈小圈DBBDL BD 例例2.2.4 :用卡诺图法化简下列逻辑函数用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式或表达式 解：解：(1)由由L 画出卡诺图画出卡诺图 m)D,C,B,A(L(0，2，5，7，8，10，13，15)L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 D A B DB 例例2.2.52.2.51 10 00 00 0ABAB00000101CDCD010100001111 10101 11 10 00 0111110101 10 00 01

22、11 10 00 01 1给定函数真值表，给定函数真值表，ABCDLABCDL00001100010001010010001001010100110101100100111001010111101001100111000111011111用卡诺图化简成最简与或式用卡诺图化简成最简与或式化成与非与非式化成与非与非式ABCDDBACBADCLL=CDL=CD ABCABC ABDABD ABABCDCD写出圈内的逻辑表达式写出圈内的逻辑表达式0 01 13 32 24 45 57 76 68 89 91010111112121313141415150100011110001110CDABA AB

23、BC CD DDCAA A0100011110001110CDAB0 01 13 32 24 45 57 76 68 89 9101011111212131314141515B BC CD DA A0100011110001110CDAB0 01 13 32 24 45 57 76 68 89 9101011111212131314141515B BC CD DBABDBDD DABABACDACD例例A A0 01 1BCBC010100001111 10101 10 01 11 10 01 11 10 0ACBCCALACBACAL结论：结论：逻辑函数最简与或式不是唯一的（但最小项表达式唯

24、一）逻辑函数最简与或式不是唯一的（但最小项表达式唯一）例例2.2.62.2.615,14,13,11,10,9,8,7,6,5,3,2,1,0),(mDCBALABAB00000101CDCD010100001111 1010111110101 11 11 11 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 1DCBLDCBDCBLL结论：结论：含含0 0较少时，化包围较少时，化包围0 0 的小圆圈的小圆圈,并项得反函数。并项得反函数。再求原函数。再求原函数。ABCDACBCBACBAL化简化简3.3.具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简具有无关项的逻辑函数的卡诺图

25、化简v 化简方法：视化简需要可作化简方法：视化简需要可作0 0或或1 1处理。处理。v 填函数的卡诺图时，只在无关项对应的格内填任意填函数的卡诺图时，只在无关项对应的格内填任意 符号符号“”、“d”或或“”在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。关项或任意项。例如例如 8421BCD8421BCD码码 4 4位二进制码后位二进制码后6 6种组合无意义且不会出现。种组合无意义且不会出现

26、。无关项的定义无关项的定义例例2.2.72.2.7：N ABCDL000000100011200100300111401000501011601100701111810000910011设计一位十进制数的判奇电路，当为奇数时输出为设计一位十进制数的判奇电路，当为奇数时输出为1 1，否则为，否则为0 0。解：解：无关项：无关项：1010 1010 11111111L L=mm(1,3,5,7,9)+(1,3,5,7,9)+dd(10(1015)15)L L=D D结论：结论：充分利用无关项，充分利用无关项，可将函数化为最简。可将函数化为最简。ABAB00000101CDCD01010000111

27、1 1010111110100 01 10 01 10 01 10 01 1x xx xx xx x0 01 1x xx x1 11 11 1 )13,4,3()15,14,5,1,0(),(.4)15,9()8,6,2,0(),(.3)15,14,13,12,11,10()9,8,7,6,5,3,2,0(),(.2)12,11,10,8,6,2,1,0(),(.14321dmDCBAFdmDCBAFdmDCBAFmDCBAF用卡诺图化简：CBADCADCACBAF 1DBCBDAF 2ABCCAFDCBDCAF 43111101111011110010110100ABCDxx1110 xxx

28、x11111011110010110100ABCD2.8 用multisim进行逻辑函数的化简与变换例:已知逻辑函数Y的真值表如下,试用multisim求出Y的逻辑函数式,并将其化简为与-或形式ABCDY1000010010101001011X1100X110101110X11111ABCDY0000000011001000011X01000010110110101111逻辑函数各种描述方法间的相互转换逻辑函数各种描述方法间的相互转换一、已知逻辑图求逻辑表达式一、已知逻辑图求逻辑表达式用基本逻辑符号和连线构成的图形用基本逻辑符号和连线构成的图形描述逻辑函描述逻辑函数的方法：数的方法：逻辑表达式

29、逻辑表达式真值表真值表卡诺图卡诺图逻辑图逻辑图BABABABABAL方法：方法：逐级写出逻辑表达逐级写出逻辑表达式然后化简式然后化简BBAAABABL&11时序图时序图)BA)(BA(BABAY 例例:已知函数的逻辑图如下所示，试求它的逻辑函数式。已知函数的逻辑图如下所示，试求它的逻辑函数式。ABY1 1 1 11解：解：BABABA ABBA+A+BA+B二、已知逻辑表达式求逻辑图二、已知逻辑表达式求逻辑图方法方法：先化简：先化简转化为需要的形式转化为需要的形式画逻辑图画逻辑图BCDBCCDABAABCDL)(CDABCBACDABCBA对其二次对其二次求非求非解：解：非非门门表表示示求求最

30、最简简与与或或式式，并并用用与与例例)CDB()BCA()ABCD(LACL&DB例例:已知逻辑函数已知逻辑函数CCBACBAY对应的逻辑图。对应的逻辑图。画出画出&Y 1&1 11ABC1按照逻辑运算的优先顺序逐级画出逻辑图按照逻辑运算的优先顺序逐级画出逻辑图ABCY00000010010001111000101111011110CABCBABCAY 三、从真值表到逻辑函数式三、从真值表到逻辑函数式使函数为使函数为“1”1”的变量组的变量组合所对应的最小项之逻合所对应的最小项之逻辑和。辑和。四、从逻辑式列出真值表四、从逻辑式列出真值表解：解：ABCY000000110101011010011

31、01111011111例例:已知逻辑函数已知逻辑函数CBACBAY 求它对应的真值表。求它对应的真值表。真值表真值表ABL000101011110 五、真值表到波形图的转换五、真值表到波形图的转换用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系。表示电路的逻辑关系。1 0 1 0 1 1 1 0 0 t1 t4 t2 t3 0 1 0 A B L 1）当）当ABC为哪些取值时，下列函数值为为哪些取值时，下列函数值为02）用卡诺图化简该函数）用卡诺图化简该函数L=AB+BC+CA当当 ABC=011时，时，L=0L=A

32、+B+CABC010001111011110111卡诺图是另种形式的真值表卡诺图是另种形式的真值表写出以下组合逻辑电路输出写出以下组合逻辑电路输出L、F的表达式的表达式 1&1=1=1ABLFCL=AB+(AB)C=AB+(AB)C=AB+(ABC+ABC)=AB+BC+ACF=A B C1、用基本公式和定理证明：、用基本公式和定理证明：CBACBABABAABCBABABABAABACCBBACBAABCDBADCDABDBA .4)(.3.2.12、求下列函数的对偶式和反函数：、求下列函数的对偶式和反函数：CBADDCBAFDCBADCABF 21.2)(.1小测验小测验小小 结结 几种常

33、用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进 制以及相互间的转换制以及相互间的转换 码制部分：自然二进制码、格雷码、和常用的几种码制部分：自然二进制码、格雷码、和常用的几种BCD码码 逻辑问题的描述方法：逻辑表达式、逻辑图、逻辑问题的描述方法：逻辑表达式、逻辑图、真值表、真值表、卡诺图、时序图（卡诺图、时序图（相互转换相互转换）分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数 （基本定律、常用恒等式）（基本定律、常用恒等式）逻辑函数的化简：布尔代数法、卡诺图法逻辑函数的化简：布尔代数法、卡诺图法对于一个具体的逻辑问题，真值表、最小项表达式、卡诺图唯一；对于一个具体的逻辑问题，真值表、最小项表达式、卡诺图唯一；而逻辑式（包括最简与或式）、逻辑图不唯一。而逻辑式（包括最简与或式）、逻辑图不唯一。