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1、1、直线与平面垂直的判定方法：、直线与平面垂直的判定方法：（1）定义；）定义；（2）判定定理；）判定定理；（3）例）例12、直线与平面垂直的性质：、直线与平面垂直的性质：（1）定义；）定义；（2）性质定理；）性质定理；（3）例）例33、直线直线与与平面平面垂直和垂直和直线直线与与直线直线垂直是可以相互转化的垂直是可以相互转化的.4、应用判定定理时，一定要弄清条件、应用判定定理时，一定要弄清条件.5、两个、两个唯一唯一结论结论.P引例引例:正方体正方体ABCD-ABCD (1)(1)找平面找平面AC的斜线的斜线BD在平面在平面AC上的射影上的射影;(2)(2)BD与与ACAC的位置关系如何的位置
2、关系如何?(3)(3)BD与与AC所成的角是多少度所成的角是多少度?ABCDABCDOED射影射影斜线斜线平面平面的垂的垂线线去掉多余线段后去掉多余线段后的模型的模型平面内平面内的直线的直线AaOP 已知已知 PA、PO分别是平分别是平面面 的垂线、斜线，的垂线、斜线，AO是是PO在平面在平面 上的射影。上的射影。a ，aAO。求证：aPO在在平面内平面内的一条的一条直线直线，如果它和这个平面，如果它和这个平面的一条的一条斜线斜线的射影垂直，那么它也和这条的射影垂直，那么它也和这条斜线斜线垂直。垂直。三垂线定理AaOP证明：证明：aPOPA a AOaa平面平面PAOPO 平面平面PAOPA
3、a三垂线定理三垂线定理：在在平面内平面内的的一条一条直线直线，如果和这个平面的，如果和这个平面的一条一条斜线的射影斜线的射影垂直，那么，垂直，那么，它就和这条它就和这条斜线斜线垂直。垂直。证明：aPOPA a AOaa平面平面PAOPO 平面平面PAOPA aAaOPPCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平平面面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂
4、线定理得 PC BCM例例2 2 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点求证：求证：POBD，PCBD(3)在正方体在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为为对角线对角线BD的中点，的中点，求证：求证：POBD，PCBDPOABCD证明证明:AB
5、CD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD又又AOAO是是POPO在在ABCDABCD上的射影上的射影POBD 同理，同理，ACACBD AOAO是是POPO在在ABCDABCD上的射影上的射影PCBDPMCAB(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMBCAM证明证明:PB=PCM是是BC的中点的中点PM BCPA平面平面PBCPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影(3)在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C
6、是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾解题回顾，怎么找？，怎么找？三垂线定理解题的关键：找三垂！三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的
7、 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解题回顾解题回顾PAOaPAOabcde三垂线定理三垂线定理是平面是平面的一条斜线与平面内的的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：这两条直线可以是：相交直线相交直线异面直线异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾解题回顾直线直线a 在一定要在在一定要在平面内，如果平面内，如果 a 不在平面内，定理不在平面内，定理就不一定成立。就不一定成立。PAOa例如：当例如：当 b 时，时，bO
8、A注意注意：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条件的条件去掉，结论仍然成立去掉，结论仍然成立吗？吗？b但但 b不垂直于不垂直于OP 解题回顾解题回顾若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b垂直于垂直于 a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 ab （）若若a是平面是平面的斜线的斜线,b,直线直线 b垂直于垂直于a在平面在平面内的射影，内的射影，则则 ab （）若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b 且且b垂直于垂直于a在另一平面在另一平面内的射内的射 影则影则ab （）若若 a是平面是平面的斜线，平面的斜线，平面内内 的直线的直线b垂直于垂直于a在平面在平面内的射内的射
9、影，则影，则 ab （）练习：练习：判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 bADCBA1D1C1B1面面ABCD 面面面面B1BCC1面面直线直线A1C 斜线斜线 a直线直线AB 垂线垂线 b面面ABCD 面面直线直线A1C 斜线斜线 a直线直线B1B 垂线垂线 bPAOal已知：已知：PA，PO分别是平分别是平面面 的垂线和斜线，的垂线和斜线，AO是是PO在平面在平面 的射影，的射影，a ,a AO，l 平行于平行于 a 。求证：求证：l 垂直于垂直于POPAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直PA
10、Oa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂直线垂直线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂
11、直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PA，PO分分别是平面别是平面 的垂线和斜的垂线和斜线，线，AO是是PO在平面在平面 的射影的射影,a ,a PO求证：求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂么，它也和这条斜线的射影垂直。直。三垂线定理三垂线定理：在平面在平面内的一条直线，如果和这个平内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。么，它就
12、和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定定理理逆逆定定理理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理例例3若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：BAC在平面在平面 内，点内，点P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：求证：BAO=CAO分析：分析：要证要证 BAO=CAO只须证只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B A O F E?证明：证明：PO OE、OF是是PE、PF在在 内的射影内的射
13、影 PE=PF OE=OF由由OEOE是是PEPE的射影且的射影且PEAB OEAB同理可得同理可得OFAC结论成立结论成立例例4 在四面体在四面体ABCD中，已知中，已知ABCD，ACBD求证：求证：ADBCDOBC，于是，于是ADBC.证明：作证明：作AO平面平面BCD于点于点O，连接连接BO，CO，DO，则，则BO，CO，DO分别为分别为AB，AC，AD在平面在平面BCD上的射影。上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理同理COBD，于是于是O是是BCD的垂心，的垂心，应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:“一垂一垂”:找平面及平面的垂线找平面及平面的垂线“一垂二射三证明一垂二射三证明”“二射二射”:找斜线在平面上的射影找斜线在平面上的射影“三证明三证明”:用定理证明直线垂直用定理证明直线垂直
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