用傅里叶变换解偏微分方程

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1、用傅里叶变换解偏微分方程一、傅里叶变换二、偏微分方程三、方程的求解一、傅里叶变换 1.傅里叶级数 2.积分变换 3.傅里叶变换 4.离散傅里叶变换 5.快速傅里叶变换（FFT）傅里叶级数01()cos()sin()kkkf xaakxbkx01()2af x dx1()cos()naf xnx dx1()sin()nbf xnx dx傅里叶级数形式an和bn称为f(x)的傅里叶系数傅里叶级数一般意义下：假设 f(x)是定义在(-,+)内的实函数，它在任一有限区间l,+l内是分段光滑的,则 f(x)可以展开为傅里叶级数：01()cos()sin()2nnnan xn xf xabll1()cos

2、()lnln xaf xdxll1()sin()lnln xbf xdxll01()cos()sin()2nnnan xn xf xabll1()cos()lnln xaf xdxll1()sin()lnln xbf xdxll01()cos()sin()2nnnan xn xf xabll1()cos()lnln xaf xdxll积分变换 对于一般的积分变换，我们有如下定义：令 I 为一实数集，K(s,w)是定义在 I a,b上的函数，如果函数 f(w)满足：(1)在a,b上有定义；(2)对每个sI,K(s,w)f(w)作为wa,b的函数是可积的。则带有参变量的积分 就定义了一个“从 f(

3、w)到 F(s)”的变换。这种通过积分运算把一个函数变为另一个函数的方法称为积分变换。()(,)()abF sK s w f w dw积分变换 每给定一个函数 K(s,w)就确定了一个积分变换，因此积分变换是由函数 K(s,w)生成的。通常称 K(s,w)为（积分变换的）核函数，称参与变换的 f(w)为初始函数或者原象函数，把变换成的 F(s)称为变换函数或者象函数。积分变换是作用是把初始函数变成另一类比较容易求解的象函数，因此用积分变换求解偏微分方程的方法与我们采用对数来计算数的乘、除、乘方和开方的技巧是完全类似的。傅里叶变换()()()iwxF f xF wf x edx11()()()2

4、iwxFF wf xF w edx傅里叶变换傅里叶逆变换由傅里叶级数推导出傅里叶积分，再推导出傅里叶变换，过程如下傅里叶变换cos()cos cossin sinababab1()sin()lnln xbf xdxll01()cos()sin()2nnnan xn xf xabll1()cos()lnln xaf xdxll将上两式代入前式，并利用三角恒等式：可以得到111()()()()cos2llllnnxwf xf w dwf wdwlll傅里叶变换11()()lim()coslllnn x wf xf wdwll 12/,2/,.,/,nllnl1/nnl现在假定 f(x)在(,+)内

5、绝对可积，那么当 l +时，就有：l 011()lim()cos()nlnnlnf xf wxw dw01()cos()df wxw dw上述积分的极限为：令以及当 时，011()lim()cos()nlnnlnf xf wxw dw01()cos()df wxw dw我们把上述积分表达式称之为傅里叶积分。傅里叶变换 傅里叶积分的两种形式：一种是 另一种是0()()cos()sinf xAxBx d1()()cosAf wwdw1()()sinBf wwdw1()()cos()sin()2f xdf wxwixw dw()1()2ix wdf w edw傅里叶变换()()i wFf w edw

6、引进新函数：1()()2i xf xFed便可以得出：傅里叶变换1212()()()F afbfaF fbF f1212()()()()f xfxf xt f t dt1212(*)()()F ffF f F f(1)线性性质。假定 a、b为任意两个实数,函数 f1(x)、f 2(x)满足傅里叶变换条件，则有：(2)卷积性质。假定函数 f1(x)、f 2(x)满足傅里叶变换条件，则称函数称为 f1(x)和 f 2(x)卷积如果 f1(x)、f 2(x)和 f1*f 2 均满足傅里叶变换条件，那么就有：11212*()()ffFF f Ff f12121()()*()2F f fF fF f傅里

7、叶变换 (3)微商性质。如果 和 均满足傅里叶变换条件，而且当|x|+时f(x)0，那么：进一步，如果 满足傅里叶变换条件，就有：()()F fxiwF f x()()()()mmF fxiwF f x()fx()f x()(),(),.,()mfxfxfx二、偏微分方程 1.什么是偏微分方程 2.定解条件与定解问题 3.二阶线性偏微分偏微分方程的概念 偏微分方程是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。偏微分方程的一般形式：偏微分方程的分类 如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数，则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。对于一个非

8、线性偏微分方程，如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。偏微分方程的例子定解条件 常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。定解条件定解条件定解条件定解问题 一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描述，称为定解问题。二阶线性偏微分 表达式为：其中A,B,C为参数并且取决于x,y。如果在xy平面上有 ，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为：该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，起分类方式为：:椭圆方程；:抛物线方程；:双曲线方程。2.0 xxxyyyAuBuCu222.0AxBxyCy20BAC20BAC20BAC2220

9、ABC三、傅里叶变换解偏微分 1.热传导问题 2.波动问题 3.基本步骤热传导问题 一维的齐次热传导方程柯西问题222,0.(1)(,0)(),.(2)uuaxttxu xxx 热传导问题 （一）将t视为参数，对（1）（2）两式两端进行对于x的傅里叶变换：记 ,则有 22(,)(,)0.(3)(,0)().(4)du w ta w u w tdtu ww(,)(,),()()F u x tu w tFxw 热传导问题2222(,)()(,)(,)d u x tFiw F u x tw u w tdx(,)(,)(,)du x tdF u x tdu w tduFdtdtdtdt(,0)(,0)

10、F u xu w ()()Fxw（微分性质）热传导问题（二）解（3）（4）式合并后带有参数w的的常微 分方程的初值问题，得22(,)().(5)w a tu w tw e 热传导问题（三）利用对w的傅里叶逆变换，来求原函数 （5）式的左端：右端：1(,)(,)Fu w tu w t221()a w tFew热传导问题考虑（5）的右端：由于 故只考虑 ，而 1()()Fwx221a w tFe222222222214121(cossin)21cos212aw taw tiw xaw taw txa tFeeedwew xiw x dwew xdweat热传导问题2222141()()2xa w ta tFewexat22()41(,)()2x wa tu x tew dwat卷积性质所以解为波动问题 由于时间问题，此问题是从网上照抄下来的，没有自己打。基本步骤 一般化用傅里叶变换求解偏微分方程的 4 个基本步骤：（1）选用偏微分方程中某个适当的自变量作积分变量，对方程作傅里叶变换，将方程中的自变量消去一个，化原方程为带参数的常微分方程（2）对定解条件作傅里叶变换，导出常微分方程的初始条件；（3）解此常微分方程的定解问题，得到原未知函数的傅里叶变换式；（4）对该式进行逆傅里叶变换，最后求得原问题的解。