结构动力特性与动力反应

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1、第四讲 结构动力特性与动力反应【内容提要】自由度体系周期、频率计算，简谐荷载与突加荷载作用下简单结构的动力系数、振幅与 最大动内力，阻尼对振动的影响。一、概念（一）动力荷载荷载大小、方向和作用位置随时间而改变。按时间可分为周期荷载、冲击荷载、突加恒 载和随机荷载。（二）动力问题的特征 结构在动荷载作用下，其上质点产生惯性力，抵抗变形还产生阻尼力，因此，结构的内 力和位移成为时间的函数。（三）动力响应 结构在动荷载作用下产生的动内力和动位移，统称为动力响应（动力反应）。它不仅与 动荷载有关，还与结构动力特征（固有频率、振型和阻尼）有关。（四）动力自由度 描述一个体系在振动过程中全部质点的位置所需

2、要的独立变量数目。二、单自由度体系的振动方程1.按平衡条件建立振动方程刚度法如图所示单自由度悴系.取质重的为隔离体口耳上作用力为动力荷载：F（t）弹性九耳炉-认）式中负号表瑚弹性力与质点的位移方向相反，亀拘刚度系数.EBJS九 F刃 $）= -讽负号表示与质壘加逋度步（f）右向相反，匚奘阻尼系数-惯性力：码 = -即负号表示与质量速度予E）方向相反.根据达朗贝尔原理，有平衡方程码）7池）+耳二陀）或肚步十b十上1/二总$）（G-4-1）2.扌雯位移协调建立方程一一柔度法设质鱼啊在单位力作用下的位移掏久厂则动位移 加卜国（+咼&） +叫）必 或疹 +y = F（t）（6-4-2）Ai_/ii称为

3、柔匿系数，fn = 三、单自由度障系的振动1.无阻尼自由振胡令尸（.）=。巳（）=、得无阻尼自由振动方程陌十上L1P 0（6-4-3）少称为体系的目掘频率.解式（5-4-3）I 口J 得式中其中丹*分别是质量刑的初位移和初速度，必为质点卿的振巾卸w为初相角n2-置迴折动（1）简谐荷载下阻尼体系的受迫振动疼+抄+叫）Ai（0-4-2）/订称为柔度系数* /m _七1或myA-cy+-y F（i）了口称为柔度系数，?；!= （S-4-2）三、单自由度悴系的振动 1-无阻尼自由振动 令巩“八、理 神 +&J = 0,得无阻尼自由振动方程C6-4-3)Q称为体系的自振频率.解式(6-4-3) 5可得尹

4、 = j4sin倣十”)式中A=rl-1tan其中儿址)分别是质量朋的初位移和初速度，盘为质点牌的振幅，为初相角-2.受迫振动(1简谐荷载下阻尼体系的覺诅振动3图642其振动模型如團所示.体系的阻尼S素用图中的E1尼器表示，C为粘滞阻尼系数，呛=吐为干扰力，两质点自静平衡位負算起时动位移，在任一矚时质点处于动平衝, 取图6-4-2 （3）所示隔蛊体，作用在质点上的力有I弹性力郭）二-見y（f）,阻尼力R（t） -Cy（t 干扰力 呛二仇in &t和惯性力码二-砂（小 干是可列出如下的动平衡方程加沪）十Q0）十对l/0）=尸述创）引入A = j 护=球4沽%耳中花叭+4称为动力系凱 儿二厶=号

5、为在干扰力幅值作用下质点鳴的静位移口 =-称为频出 由上 式可珈 动力系数E与0和百有关。当0咏QU.2龜围內（称此范S为共振区）冷对戸的彫响极大； 但在It范围以外.则占对戸的彫响较小.也就是说，在共振区范邇内要考虑阻尼的影响，而在共振区之 外，可按无阻尼若虑。口的最大値发生在0= Jl_2处，因f通常很小，近必地认为炉1时悴系发生共振，此时动力系数 由式（皿可猖U =（呂）严迖由解可知，因阻尼的存在，位移总杲湍后于掠动荷载.在简谐荷载作用下，无阻尼的单自由度体系的受迫插动.将上述有阻尼情况所得的计算公式中，令占刃（或CPh艮卩可得元限尼时的计算公式口动平衙方程为&）= F 血別其稳态解为皿

6、）二小in乩式中卫坤严朽 动力系数为N = -_=”）1-0：共振时p = g现考察图6-4-3（所示单自由度体系，由于基础的水平方向简谐振动诚）=/血 肌所引起质点处 的振幅口不着虑阻尼口I-竺砂2图 6-4-3质点腕在某一瞩时的位移如图6-4-3所示，它由两部分位移昂成.一是随基础一超发生位移如 另一是与基硼的相对位移兄），故质点上的郵性力馳）=-站加）而惯性力山上-禰盹）+孔）,以 质点为隔离体（图心），可得动平衡方程为网国+加）妬3= 0或程池）+冷识C）=那魂）（y）w （/） = U sin & t代入上式，可得神）+屁识0）=那旷&血 乩H将上两式与式J）对昭可知，-硕）相当于动

7、荷载呛,而mV&2.则相当于简谓荷裁的幅值P,由此 可得质点灑相对于基础的位移幅值7为|于晶质点用忌的位移幅值为眉=7卄朋业LT =月H = -而褊越小或儿越尢 就越小，而0越大，#值随之越小口此时从式（门可知，质点巾的振勿幅值较之基础水平振动帽值要小得釦 琼常利用12特点来采取 隔扼措施如对精密仪器的工作台为了防振，将其支承在柔性弹簧上可以达到较好的隔掠效果. 四、多自由度库系的自由据功奈士古E研究备自由度体系的自由振动主要是求体系的自振点页率和相应的振型-如S1S-4-4 （a ）所示两个自由屣 際系，可按图4-4（町所示在两个惯性力作用下，夢照图6-4-4（c）s （）所示柔度系数 可列

8、出两个 底点的位移方程为；旳（H二一脾诲0）九一码 P ）元皿卜-叫Vi （鴻-吗C）心设Ji&)= A sin (皿 丫 + 巒) ,)= sm(w t+p)将式（口）代入方程消去因子迎（庆十沙 并加以整理*可得因4、耳不能全沏零I故应有令;I二展开上式并解之可得;=也:必* Jr丘;和品了十泌仏鳧+盃）两个自振频率为1称対第一频率1 %称为第二频率.由式2）第一式氏求出对应于2两个频率的两种振动里式（称之为主振型）即 第一振型再罟丄第二振型为据此可分别作出两个主振型虱可用据型的止交性叭理吆鸯）哥）二0进行校积亠值得扌S出；当牡系沏寸称时，则体系主掠型必然是对称曲和反对称旳自由振动.如團&4

9、冃（口）所示刚衆，它为两个自由度恥爲 列两橫梁的动平衝方程时，先设想在两橫梁处加上附 加水平链杆！如圏窈-4-5心）所乔根据两附加链杆总的水平反力应淘零芥参照图-5（匚1、td ） 2） 所示册链杆反力，可列出动平衡方程対（玖丄_码力K 4= 0 為百+幅 叫旳 = oj 因厶不能全为零，故应有 爾-0小）虬丨陽I叫川展幵上式并解之可蒔2（叫叫丿叫丿=0矗必（扌）十应疔血+叫讯）=Q&必仍+禺小仍十蚀诽）=0 将式（& ）代入上式并小曲因于sin（ftt +间加以整理可得2）据此可求得第一频率的和第二頻率少2 .由式C Q ）第一式可求得相应的两个振型分别为: 齊 一R朗 _-i,It据此可以

10、作出振型图.【例题1】分析图6-4-6（a）、（c）、（e）、（g）、（i）所示体系的自由度。不计杆件的分布质量图e_4_6图4-所示体系有一个质点.不计杆的轴向娈眼 刚质点:只於水平运动，不醴竖向运动，只有一个位移分量丿(故自由便为1，若在质点上加一个水平支杆，则质点不能发生任何运动(图厂4旳，也可艇旦自由度为X3s-4-e(c)所示悴系有两个质点.不计杆的轴向变形，两个质点的水平位移目同均为均无竖向 傥移，若在其中一个质点_t加一个水平支杆测两个质点均不能运g(ffi6H-6d)D覘该体系具有一个自由度 为单自由度体系.可见 自由度数不一定等于閒点个點 自由匿2体系是静定结构还有超静定结构

11、无关 S6-4-6 (e)所示郎系耳一个质点。由于杆件可发生弹性弯曲殳形，质点胃竖向和水平的两个位移分童，这 两个位移相互独立.故有萌自由度.加盍杆确定时如图6-4-6 (f)所示口图6-4-6(g)所示体系有两个质点，杆件可发生弹性弯曲变形，质点有竖向和水平的两个位移分量，这两个位移相互独立，故有两个自由度。加支杆确定时如图6-4-6(h)所示。图6-4-6(i)所示体系有两个质点，质点有竖向两个位移分量和水平向一个位移分量，这三个位移相互独立，故有三个自由度。加支杆确定时如图6-4-6 (j)所示。【例题M图6-4-7 U）所示再二层房屋的动力计算简图，柱子无质量（质量已集中到横梁），不计

12、 梁的弯曲W（SZ = CK）s确定其自由度*解：由于不计杆的轴向变形，梁的购端不能上下运动；衣因再梁元弯曲空形，梁上各点只能水平运 动且位移相同只雯在两个梁端加水平支杆，则所有质嚣均不能运动（如图七）。故此体系有两个自由度.【例题$】列出ffi6-4-S（a）所示简支梁B5运动方程.图6-4-8解：设A监为质点重力班引起的蕭位秽，歹为从静平衡位直重起的附加位移，沖质点的总 位移（见0S-4-8a）B在质点上加惯性力一那（小 列位移方程，有几驰）_肮時）+网卜 玲）式申左端三项分别河动荷ft惯性力、重力引起册位移.将那XM）+g,二讯）代A上式,得 Ju冋小呦f）+叨二p （+ J注意到fui

13、r =代入上式得质点的运动方程 舟邛）-栩（”=加）式中：柔產系数可由图乘法求得7；! = （图e-4-sb）n由此可见重力对动位移加）没有影晌列运动方程时可不予着虑.【例题4】列出图0-4-9 （a）所示粹系的运动方邕解；图示悴系是单自由度体系，设质点位移向右为正，沿位移正向加惯性力（團旷4眈人用柔壓*列 位移方程加）=-说） +耳式电 柔度系数Zl和位移iir （Ss-4-St. d）可由图乗法求得为皿飞矿 lf =3217 代A上式冒远动方程为或【例题5】如图&-410G）背钢制悬臂梁，梁端觥有一个质fi0123kS的电.机.已知梁长两m 彈性模童童二206幻屮时/輕2,截而惯性矩IT&

14、4 不计梁的自重.求自振频率和周期.图6-4-10KJ：123x2.074 xl0_c2x3.1462.6O.k【例题6】求图6-4-11 (a)所示拄架水平据动粕自振频率.不计横梁变形.IFf； QIf耳卅解；单位力作用下的单位弯矩图如图旷410 (b)所示，由圈乗法计算柔庫换 为ylO31x7S 10_ = 2 ?4 X1 诃5-4-11解：图示库系次单自由庫体甌 潟求刚度系飯 在质量上沿位移方向加雜帕 并令琏杆沿位移 方向发生单位移动(?D0-4-llh)P求出谁杆反力(如图0-4-11 c)即対剛度系数 3园n 测Z, =x 2 -则体系的自振频率为【例题T】QSa-4-12所示剛架的

15、自振频率口各杆出为漲t解：图示体系有两个质点.均无竖向位移.仅有水平位移且位移相同，故是单自由度体系.由于两个简 点上的惯性力共线，列方程时可合并，所以可按一个质点的惰况考虑.作出单位力引起的弯矩图(affl6-4-12b),揑圈乘法求得柔度系数再(注意总质量次2图6-4-12【例题&】求如圈6-4-13(a)所示体系的自振频率.已知杆的刚度为无奇大.不计杆的质墾 弹簧刚度 为忌图6-4-13解：團示体系为单自由度I*系-由于两个肪自上的惯性力不共纯 所以不能将质量合并摟单自由窿体 系的目振频率公式计算求自振频率n利用幅值方程求解以质点C的位移作基亭位移琴数，其最大位移 设为山则门质点最大位移为 彈簧B处位移为兰在位移为幅值时哉惯性力也为幅值，体系上的畳 33力情况见图6-4-13 (b)-以点作柜心列力矩方程，方xJ - -_4#fx2J + pl4ld 1 x3i = 0 33因弧丘6所以有【例题9】求如图日-4-14 (a)所乔体系右端质点的振幅-斛 设所求振幅为九将惯性力幅值加在质点上 如图6-4-14 (h)所示，以矩心列力矩平衝方 程，KJW：Fl + -mA + mA x3l033解方程得；丄一养LQm少-4恵l-dP-b-i_A图 6414感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考