新教材高中数学第二章平面解析几何28直线与圆锥曲线的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册

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1、2.82.8直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系第二章第二章2021内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习核心素养思维脉络1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.(数学运算)3.加强数形结合思想的训练与应用.(直观想象)课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨

2、丹青画卷.这幅画卷中不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识,比如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的是方形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段,同学们能找出直线和抛物线的哪些关系?知识点拨1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重

3、合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).若a0,设=b2-4ac.0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;0时,直线和圆锥曲线没有公共点.微判断(3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.()答案(1)(2)(3)微思考椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?提示 不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用轴上两

4、点间距离公式直接运算微练习顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为.答案 y2=12x或y2=-4x 解析 设所求抛物线的方程为y2=ax(a0).直线方程变形为y=2x+1,设抛物线截直线所得弦为AB.将代入,整理得4x2+(4-a)x+1=0,课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一点与椭圆位置关系的判断点与椭圆位置关系的判断例1已知点P(k,1),椭圆 =1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为.反思感悟处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:延伸探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k

5、)”呢?探究二探究二直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系判断例2已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,(1)l与C无公共点;(2)l与C有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点.分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.解(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去y得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.要使l与C无公共点,即方程无实数解,则有1-4k20,且0,即64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-

6、4k+5)0,则直线l与曲线C相交;若=0,则直线l与曲线C相切;若0,n0,mn),P(x1,y1),Q(x2,y2).=4n2-4(m+n)(n-1)0,即m+n-mn0.由OPOQ,得x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,反思感悟若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1

7、),B(x2,y2),则当k=0时,直线平行于x轴,|AB|=|x1-x2|.变式训练2抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于()答案 A 探究四探究四中点弦问题中点弦问题(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.解 设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B两点均在椭圆上,要点笔记对中点弦问题,常用的解题方法 平方差法,其解题步骤为:(1)设点,

8、即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.变式训练3已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()答案 C 解析 依题设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,素养形成素养形成存在性问题之探究存在性问题之探究案例已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.【规范答题】若存在,则直线l为y-1=2(x-1),即y=2x-1,而=-80.故m=1.4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为.(1)求ABF2的周长;(2)若l的倾斜角是45,求ABF2的面积.本本 课课 结结 束束