第3章振动、波动和声详细答案

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1、思考题3-1 如何判断简谐振动？3-2 两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？3-3 旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？3-4 简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方 向相同吗？3-5 振动的能量由什么决定？3-6 什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？3-7 什么是共振？3-8 产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪 些量会变化？3-9 波动方程和振动方程有什么区别？3-10 简谐振动和简谐波的能量有什么特点？3-11 什么是波的干涉？两列波相遇后一定会

2、发生干涉现象吗？3-12 什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？3-13 什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？3-14 听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？3-15 声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？3-16 什么是多普勒效应？3-17 超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？参考答案3-1满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动： Fks: ds2s 0 : s Acos( t )；dt3-2 当相位差为的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要具备两个条件，分振动的相位差为的奇数倍，分振动的振幅相等，在相遇的区域满足这两个条

3、件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动3-3 位移S轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相，沿逆时针方向的夹角取正，般取3-4因为简谐振动的速度和加速度表达式为s Acos( t ),v=A sin( t ) A cos( t)2 2a A cos( t ) A cos( t)所以速度和加速度不一定是负值随相位值的不同可正可负，二者的方向也不是一定相同有时会一样有时会相反，在一、三象限方向一致，二、四象限方向相反，为正时方向和位移轴的正方向一致，为负时和位移轴正方向相反，显然，速度超前位移滞后加速度一 223-5 振动的能量守恒，能量 E kA2由组成系统的弹簧的倔强系数和振幅的大小来

4、决定3-6 因各种因素导致振动过程中，振动的能量和振幅都减少的现象称为阻尼振动简谐振动是理想的周期振动，在整个振动过程中周期，振幅和能量都保持不变，阻尼振 动严格意义上说不是周期函数，在振动过程中，振幅和能量在减少，如果以连续两次经过振动位移最小值的时间作为周期，则阻尼振动的周期比固有周期长，阻尼振动根据阻尼系数与固有频率大小的关系可以分为欠阻尼，过阻尼和临界阻尼只有欠阻尼的振动具有周期性和重复性，过阻尼和临界阻尼已经不具备周期性和重复性，过阻尼是缓慢地回到平衡位置就停止振动，临界阻尼则以较快的速度回到平衡位置停止振动受迫振动和阻尼振动不同， 阻尼振动只受弹性力和阻尼力，随时间振幅和能量越来越

5、小，而受迫振动在驱动力、阻尼力和弹性力的共同作用下，达到一定时间后振动将达到稳定状态， 振动的振幅保持不变，驱动力提供的能量刚好补偿阻尼力损耗的能量，振动的能量保持不变3-7当外界振动的频率与系统固有频率 满足2这个关系时，系统的振动振幅达到最大值，这一现象称为共振，阻尼系数越小共振振幅越大，阻尼系数越大，共振振幅越小，简谐振动是理想振动，阻尼系数为零，所以共振振幅趋于无穷大3-8机械波产生需要两个条件：波源和弹性介质波在不同介质中传播周期保持不变，而波速随介质不同而变化，因此，波长因波速不同也不同3-9振动方程和波动方程都是描写质点的位移振动方程是描写一个质点随时间的变化规律，而波动方程是描

6、写空间若干个不同质点随时间的变化规律，所以，振动方程的位移是时间的函数，而波动方程中的位移是时间和空间质点位置的函数当波动方程中空间质点的位置一旦确定，波动方程就变成这个确定质点的振动方程3-10简谐振动是理想的振动，能量守恒，能量的大小和振幅的平方成正比，一个周期内动 能和势能交替变化，但是和保持不变，在平衡位置，动能最大势能为零，在最大位移处，动 能为零势能最大简谐波虽然也是忽略介质对波的吸收，是理想的波动，但是波动的能量不 守恒呈周期性的变化， 任一体积元的动能和势能相等，波传到哪里，那里的质点就从前面的质点获得能量开始振动， 振幅达到最大值后就把能量逐渐传给后面质点，能量就这样由近及远

7、由波源沿波传播的方向传播出去，所以波动也是能量的传播过程3-11当两列波在空间相遇的区域内，某些地方振幅始终加强，某些地方振幅始终减弱，这 种现象称为波的干涉发生波的干涉要具备的条件是：两波源的频率相同，振动方向相同，相位差恒定3-12 两列相干波，振幅相同，沿相反方向传播，在它们叠加的区域有些点始终静止不动，在这些相邻点之间的各点有不同的振幅，中间的振幅最大，这样的波称为驻波驻波没有能量和相位的传播，也没有振动状态的传播，所以无所谓的传播方向，是一种波形驻定不移动 的特殊波，不是行波简谐波是一种行波，沿波传播的方向可以传播波的振动形式、相位和 能量，所以有传播方向3-13 引起人听觉的最低声

8、强称为闻阈，人耳能够忍受的最高声强称为痛阈，每个频率都对应有相应的闻阈和痛阈，人耳对声音的反应主要取决于两个因素：声强和频率3-14人耳听觉的频率范围是 20-20000HZ，所以人的听觉范围是 20Hz频率线、20000Hz频率 线，闻阈曲线和痛阈曲线所围城的区域人耳最敏感的闻阈频率是 1000 Hz -5000H z.3-15 声强级大的响度级不一定高 例如，有可能 30dB的声音响度级小于 10dB的响度级 在声强级一定的情况下，频率不同响度级不同，例如，50dB的声音响度级在20-20000Hz范围内有可能是0方-50方中的任何一个值，而且也不是频率越高响度级越大3-16 当波源或者观

9、察者有相对运动，观察到的频率和波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应3-17 次声波(小于20Hz)的频率低波长长，超声波(大于20000Hz)的频率高波长短，所以， 次声波很容易在传播，很难用什么东西可以阻挡次声波， 超声波不宜在空气中传播，衰减很 快，所以很容易就可以阻挡超声波的传播 计算题3-1 作简谐振动的质点分别在下列情况下，位移、速度和加速度的大小及其方向如何？初 相是多少？在正的最大位移处；负的最大位移处；平衡位置，向负方向运动；平衡位置，向正方向运动解：s Acos( t )v= A sin( t ) A cos( t-)2 2a A cos( t ) A cos( t) s

10、A, a A2 ,0 ; v=0 s A, a A ,; v=0 s 0,a0,; v=- A2 s 0,a0,； v= A23-2. 一简谐振动的振幅为 A，周期为T，以下列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式：(1)物体过平衡位置向 s轴负方向运动；(2)过A处向s轴正方向运动2然会向s轴负方向运动时，取负号时物体必然会向s轴正方向运动，由题意得初相为:-，取正号时物体必解：由旋转矢量图示法可知，物体过平衡位置时对应的初相为，振动的表达式为：s Acos( t ) Acos(2 t )；2T 2由旋转矢量图示法可知，物体过A处,2，取正号时物体必然会向s轴负方向3运动，取负号物体必

11、然会向s轴正方向运动，由题意知向s轴正方向运动初相为:，振动的表达式为 s Acos( t3)Acos(2Ft J3-3、 一弹簧振子放置在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端连接一质量为0.2kg的物体，设弹簧的劲度系数为 1.8N m 0.04cos( t )m，以2.0 m s无衰减地向 X轴正方向传播, 439求：波动方程， x=8m处振动方程； x=8m处质点与波源的相位差.解：波动方程s 0.04cos-(t 害)拓0.04cos-(t |)区(m)x=8m处振动方程O.gcosjt方 0.4 *叫 t 監伽x=8m处质点与波源的相位差38，求在下列情况下的谐振动方程 .(1)将物

12、体从平衡位 置向右移0.05m后释放.(2)将物体从平衡位置向右移 0.05m后给与向左的速度0.15m s解:待.影 3rad s1 将物体从平衡位置向右移0.05m后释放，说明物体处在正的最大位移处，下一时刻向位移的负方向运动，所以，A 0.05 m, 0.振动方程为s 0.05 cos 3t (m)(2)将物体从平衡位置向右移0.05m后给与向左的速度0.15m s 1 ,则s Acos 0.05， v0= A sin 0.15,0A0.052 (0.15)20.05 2 (m)， arctan( 0.15 )V30.05 34振动方程为 s 0.05 .2cos(3t ) (m)3-4

13、、质量为m物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有周期为 T ,当它作振幅为 A的简谐振动时,其振动能量E是多少?解:2T2m2a222_m A2T23-5、一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，230.05cos(4 t )，3解:0.03cos(4-)，求合振幅的大小是多少?3令(A A1A20.05 0.030.08(m)合振动的振幅为 0.08m .总能量是多3-6、弹簧振子作简谐振动时，若其振动振幅和频率都分别为原来的三分之一,少？，若振幅增加到原来的两倍，而总能量保持不变，如何实现？解：E Im 1 1 213939A2!m-)2(A)211 2.2 m AE223381281总能量

14、是原来的81分之一/ E Im 2A2 1m2 22(2A)241 2.2 m A丄m 2 A2222，即要保持总能量不变，频率必须是原来大小的一半23-7、两个同频率同方向的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm，与第一个简谐振动的相位差为，若第一个简谐振动的振幅为10.3 cm = 17.3 cm,则第二个简谐振动的振1 6幅是多少？两个简谐振动的相位差(12 )是多少？解：已知1 討 20cm, A1 10心由矢量关系可知：A22A2 A 2AAcos( ) 202 (10 3)2 2 20 10 3cos 1001 1 1 6A210cmA2A2 A21 22A A cos( )1 2

15、1 2202(10、3)2102 210、3 10cos(1 2)cos(1 2)0,(2 k1)2,k0,1,2,.3- 8、波源的振动方程为s0.40 m,u 0.08 m s i ,2T0.405,u0.0820.4T(i)波动表达式：解：从图中可知:A 0.04 m,s 0.04cos0.4 (t 誌)-(m)P处质点的振动方程.s 0.04 cos0.4 (t0.20080.04 cos(0.4 t32)(m)3-10、 Oi, O2是两列相干波源，相距 2.5入，Oi超前O2相位3n,两列波的振幅都是 A , 波长为入，两列波无衰减地传播， P、Q分别在Oi, O2的连线上，P在0

16、2的外侧1.5入，Q 在Oi的外侧2.0入，求： Oi, O2连线中点处质点的振幅？ P点处质点的振幅？ Q 点处质点的振幅？解： xi X2,i 2 2(Xi X2)3 J 3，AAiA,0,所以连线中点处质点的振幅为零2 (XiX2)i 2322.5A A A2 2AP点处质点的振幅是 2A2 (XiX2)门i 232( 2.5 )A Ai A2 2AQ点处质点的振幅是2A3-II、一波源以s 0.03cos( t i.9 ) m的形式作简谐振动，并以i00m s i的速度在某种4介质中传播.求：波动方程； 距波源40m处质点的振动方程；在波源起振后i.0s ,距波源40m处质点的位移、速

17、度及初相 ？解：已知 A 0.03,-,u I00,i.9 ，则波动方程为：s 0.03cos4(t 盘 i.9 (m) 距波源40m处质点的振动方程s 0.03cos (t )i.9 0.03cos( t 2 ) (m)4i004 在波源起振后i.0s，距波源40m处质点的位移、速度及初相s 0.03cos(1.0 2 ) 0.03 -20.02(m)v=- A sin( 421.0 2 )0.03 -与 0.02( m s 1 )3-12、初相相同的两相干波源 A和B相距40m频率为50Hz,波速为500 m s 1，求两相干 波源的连线上产生相干加强和相干减弱的位置？解：以A为坐标原点，

18、A和B连线为X轴，方向由A向B:则波程差为rArBx (40 x) 2x 40,u5005010 m相干加强的位置2x40k ，X205k(k0,1,2,3)相干减弱的位置2x40(2k1)2x205(k0.5)(k0,1,2,3)3-13、沿绳子传播的波动方程为s 0.05cos(0.10X 3 t y)m，求波的振幅，频率，传播解：s 0.05cos(0.10 x 3t )0.05cos3振幅A 0.05 m，频率1.5 Hz，传播速度为u130 m s ，速度，波长，绳子上某点最大的横向振动速度波长为横向最大振动速度Vmax= A0.05(3 3.14)47.1 cm3-14、弦线上驻波

19、相邻波节的距离为 度.解：驻波相邻波节之间的距离为半个波长，所以波长为2 65 130 cm=1.3m1.3 3.2 102416 m s 165cm，振动频率为3.2102Hz，求波长和波的传播速3-15、在空气中某点声波的强度为2.0 105 Wm 2，振幅为32mm，空气密度 1.29kg m ，波速为344 m s1，求波长和平均能流密度 解： I 1 u 2A222 2.0 1051.29344 (2 10 3)21.5 104乙0.00121033440.41103 kg2 1 m sZ22 U21.01610315001524103 kg21m sZ33u31.658103336

20、05571103 kg21m s中传播的 声速分别为344、1500、3360（组织与颅骨交界面上的声强反射系数？解：空气、软组织和颅骨的声阻抗分别为41.5 102 3.1432.39 103442.39 1014.4 cmi 2a2u3-16、某声音的声强级比声强为 多少？52.0 1034410 6W m581 J m 32的声音的声强级大20dB时，问此声音的声强是解：L210lg106% 60(Db)L120 6080 10lg 丄 10lg 毎Io1010 4 WI3-17、频率为5Mhz的超声波进入人体软组织，求: 次所需要的时间解：（超声波在体内软组织的传播速度为嚅 3.08

21、1。5）波长；在1540 m s0.31mm3-18、已知空气、20cm处软组织中往返一0.21540软组织、2.60 10 4(s)颅骨的密度分别为2600.0012、1.016、1.658 ( g cm 3),对应在其s 1），求超声波垂直入射时空气与软组织、软空气与软组织的反射系数:1524103041103 )103)15241030.415571103152410355711031524103)()2 (z3z2、2z3z2)20.5757%20.99999.9 %z2 乙）2Z2乙软组织与颅骨的反射系数:340 m/s).3-19、一列火车以20 m/s的速度行驶，若机车汽笛的频率

22、为600 Hz，某人站在机车前和机车后所听到的声音频率分别是多少？（设空气中声速为uu Vs34034020600637.5 (Hz)解：在车前听到的频率在车后听到的频率uu Vs34034020600566.7(Hz)3-20、蝙蝠在洞中飞行，发出频率为38000Hz的超声，在一次朝着表面垂直的墙壁飞行时,飞行速度是空气中声速的38分之一，问蝙蝠自己听到从墙壁反射回来的超声频率是多少?解：蝙蝠飞向墙壁时,蝙蝠发出超声波,自己作为声源在运动,而墙壁作为接收者不动,接收到的频率升高为:i (1丄u38 )u3938从墙壁反射回来的超声波以墙壁作为声源不动，蝙蝠作为接收者在向着声源运动， 因此, 蝙蝠听到自己发出的超声波的频率应为2 (13938(H)2 38000 40026 Hz.3-9、如图3-9图所示一平面简谐波在 t 0时刻的波形图，求(1)该波的波动表达式；(2)P处质点的振动方程.