精选平面向量压轴填空题

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1、uur uu1.在ABC中，已知 AB= 4 , AC = 3 , P是边BC的垂直平分线上的一点，则 BC AP =【答案】解析:BC AP(AC AB) (AQ QP)(ACAB) AQ (AC AB)扌(ABAC)C2.已知OA1, OB.3,OA OBC 在 AOB 内，AOC 30o.uuur 设OCuuu uuumOA n OB(m,nR），则【答案】解析:法一：建立坐标系，设C(x, y)uuur 则由OCuu mOAuuunOB(m,nR)得m(1,0) n(0, 3)x m而 AOCy 3n300故 tan 300y mx 3nuuuruuuuuu法二：OCmOAn OB(m

2、, nR）两边同乘OA或OB得OCOAmOC虔m两式相除得一32OCOB3nOC1 V3n3n2(x,y)3.在ABC中，若AB?AC AB?CB 4，则边 AB的长等于2.2一 一- 一 2解析：AB?AC AB?CB 4 AB(AC CB) 8 AB 8UUUTAC,则的取uuu uuu4.已知点G是 ABC的重心，点P是 GBC内一点，若AP AB2值范围是(一,1)3解析：AP AG GP 2 AG GP30t 1,m n 1)1 - 一 一-(AB AC) t(mGB nGC)(其中 31 -=(AB AC) tm1 1=(1 mt)AB -(133(Ab CB)nt)AC，则-(A

3、C3BC)5.已知O为 ABC所在平面内一点，满足uuu2uuu2uuu2uuuOABCOBCA垂心心21 23(3123uuur2uuuOCAB则点O是ABC的2uuu2uuiu2uuu2uuuOABCOBCA解OC0 ,可知2OCBA2(OA OB)(OAOB)(BCCA)(BC CA) 0AB，其余同理2夕 夕c 1则BC AO的取值6.设点0是ABC的外心，AB = c , AC = b ,1范围才解析:c2 2b b200BC AO (AC AB) AO bRcoscRcosbR cR - (b22R 2R 2c2)b2 b (b 2)2 4 _1，27在ABC和AEF中，B是EF的

4、中点,AB= EF=1 ,BC=6 ,CA .33，若 AB AE AC AF则EF与BC的夹角的余弦值等于解析：（2007 全国联赛38.39 题AB AE AC AF 2AB (AB BE) AC (AB BF) 2 ABAB BE AC AB AC BF 2 。2因为ABAC AB 、33 133 1 3612 .33 1，BEBF1 BF (AC AB)2因所212，即 BF BC设EF与BC的夹角为 0,则有 |BF | | BC | cos 9i ir r iir8.已知向量，满足| 1,|u2，即3cos0=2，所以 cos 0值和最小值分别为解析：数形结合.CD,BD而 AC

5、BC, ABir|,mDm, n则对任意9.已知向量a , b ,CD2BC 1irir| |,(n的最小值是AB3rlt r)()0 .若对每一确定的12,AC ,BC,ADirui,| |的最大BD，点D在以BC为直径的圆上运动，m n就是BC ,1BC（ A，B,C共线时取等号）和 9题相同.c 满足 | a | = 1 , |a - b | = | b |, (a - c) (b - c ) = 0，右对每为32解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8 0 10.设ei ,e2是夹角为60 的两个单位向量，已知OMe,ON e2 ，OP xOM yON，若PMN是以M为直角顶点的直

6、角三角形,则实数x y取值的集合为1解析：画图解即可11.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上正半轴上滑动,则OB OC的最大值为24D/、VBjO Ax解析：(OA AB)(OD DC) sin2 112.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为1200。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 AB上变动，若OCxOA yOB，其中 x, y则x y的最大值是2解析：R，2xy (x y) 3xy 1 2OC x2 y2 2xyOA OB x2 y2OA (1,0),OB(x y)21 3xy 1 3 (号)2【研究】如果要得到 x, y满足的准确条件，则建系

7、,OC (x知于2 2y)，则满足（x1 、22y)(戶2 1 xy2 xy 1 ，且1x 2y2，y【变题】给定两个长度为 1且互相垂直的平面向量 OA和0B，点C在以0为圆心的圆弧2 2AB上运动，若OC xOA yOB，其中x、y R,则(x 1) y的最大值为解析：建系，利用坐标法是可以得到x,y最准确的满足条件，如 0A (1,0),0B (0,1)OC (x,y)，点C在以0为圆心的圆弧 AB上运动，故满足x2y21( x 0,y 0)13.在平行四边形 ABCD中，已知AB 2,AD 1, DAB60，点M为AB的中点，点解析:分两种情形，结合图形分析。(1)当P在BC上时，AP

8、 AB BP，则APDMABDM BPDM 1BP-,1；同理，当P在CD 上时，22111 1APDM-DM ,222 2uuuu uuu14.在周长为16的PMN中，MN6，则PM PN的取值范围是7,161P在BC与CD上运动(包括端点)，则AP? DM的取值范围是,122ab2ab 2uuuui uur故ab(a-)225，PMPN 32ab7,或者用消兀的方法2uuuu uuuraba(10a)(a5)22525，当 ab5时取等号，故PM PN32ab7;同时ab610 a 6a8，当 a 8 时 ab 16，故 ab 16，uuuuuuiTPMPN32ab 16解析：PMU PN

9、 abcos ab 匚H 匚4 32 ab，因 a b 10，另法：本题可以得出 P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P坐标来解决uuu uuu UULTuuu UUU15.已知 |OA|4,1 OBI 6,OCxOAyOB,且 x 2y 1， AOB 是 钝角，若uuu uuuL uuuf (t) |OA tOB I的最小值为2、3，则|OC I的最小值是解析：OC xOA yOB C, A,B共线，用几何图形uuu uuuG解)f(t) |OA tOB |的最小值为 2、3根据几何意义即uuu为A到OB的距离，易得 AOB 1200，要使|OC I最6、11137小，贝y C AB，利用面积

10、法可求得16.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点,P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量uuurACuuirDEuuuAP，则的最小值为解析：坐标法解,AC(1,1),DEuuur uuur AC DE1 一(2, 1),APuuuAP(cos,sin )cossin2si n2cos sin2cos2si n2 cos2 cos sin3 ，sin2cos1 sin2cos sinf(1 sin2cossin。三，f()2si n(2 cos sincos2得12f()最小值为f(0)17.已知P为边长为1的等边 ABC所在平面内一点，且满足CPCB2CA，则PA PB

11、=解析：如图CPPBBA PBCB 2CABP2CA，PA PB =(PB BA) PB2 cos120M N=(46,62)1 32 4 解析：152 42 5 19.等腰直角三角形ABC 中，A 90，AB2，AD是BC边上的高，P为AD的中R，N=a=(1,2)+(3,4)18.已知向量 M= aa a =(-2,2)+(4,5) R ，则ujun umr点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线 AD对称，当PM PN时,AMMB3解析：PM PN (PA AM)(PA AN)20.如图在三角形 ABC中，E为斜边 AB的中点，CD丄AB , AB = 1,uuu uuu

12、 uur uur 贝V CA CD CA CE的最大值是227A解析:uuu uur uur iuu CA CD CA CE-CD2 CAcosA232CA sin A cos A 24sin A cos A2227C是平面上不共线上三点，动点P满足错误!未找到引用源。错误！未找到引用源。，则P的轨迹一定通过 错误!未找到引用源。 的 心解析：设重心为G , OP OG -(OA OB 2OC)GP - (CA CB)CDCG，故C,G,P三点共线22.已知点O为ABC的外心，且|ac 4, AB 2,则AO ? BC 6一 2 1解析：AO BC AO(AC AB) 4Rcos CAO 2R

13、cos BAO 4R 2R 6 R R24. O是锐角ABC所在平面内的一定点，动点uuu P满足：OPuurrOAuuuABLiLiiDAB Sin ABC22sin x(1)sin x10在0,2 ）上恰有两解，则实数的取值范围是4或2、21解析：令tsi nx则2t2(1)t 10 在(1,1)上恰有一解，f ( 1)f(1)04或2，或者02 2 1又ADAB(1)ACCDCB0所以4或2、2 123.设D是 ABC边BC延长线上一点，记 AD AB (1 )AC，若关于x的方程数形结合知uuirACUUUTAC Sin ACB0,，则动点P的轨迹一定通过ABC的内心解析：设高为AD，

14、则AP(ABAC 1、) 显然成立AC ADuuu25.已知错误!未找到引用源。为坐标原点，OPx, y错误！未找到引用源。uuu，OA a,0umr错误！未找到引用源。，错误!未找到引用源。，0CuurruuuuuuPA、PB、PC中的最大3,4，记值为M，当a取遍一切实数时， M的取值范围是解析：不妨设冲PB，即y x，此时M max PA, PC ,当a取遍一切实数时，点A在x轴上滑动，而到点 C的距离等于到x轴为准线2的抛物线，其方程为(x 3)8(y2),它交直线y x于点P (72j6,72J6)，显然此时 pA |pc，而A为PA x的垂足时M最小，即最小是72 = 6法2 :对

15、于某个固定的a,到M的最大值显然可以趋向，M最小值呢？实际上就是当 P为ABC外心时，此时A PB Pc M的最小值，因为当P不是外心时,Pa|,|pb|,|P|至少有一个会变大，这样M就变大.解得外心坐标为P a225 a2(2a 14,2a2514要使得 网 |PB |PC| 最小，则圆与坐标轴相切，此时a225a2a 14a 72.6UUUUULTxAB yAC，贝U x y 的值ULT26.已知 ABC 中，I 为内心，AC 2,BC 3,AB 4,且 AI3一一 一212解析：延长 AI 交 BC 于点 I,则一AI AI AB -BC - AB AC233327.设 G 是 ABC

16、 的重心，且(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35sin C)GC 0,则角B的大小为6035c ,下面用余弦定理解析：由重心性质知 56si nA 40 s inB 35si nC 56a40b即可求解范围是解析：数形结合。28.平面内两个非零向量，满足1，且与的夹角为1350，则利用正弦定理得,1sin 45的取值3(0,4 )29.在ABC 中,AB1, AC 2 ,O为ABC外接圆的圆心，则AO BC解析:AO (AC AB) 2(AO AD2AO AE) 2(AD-2AE) 230. KBC内接于以O为圆心的圆,uu mu uuu3OA 4OB 5OC0 则 C

17、135uun uuu ujir解析：3OA 4OB 5OCr- 20 9OA2-16OB 24OA 2OB 25OCOA OB OC rAOB 90031.在 AABC 中，AB = 8 ,BC= 7 , AC=3，以A为圆心,r=2为半径作一个圆，设 PQ为解析:CAB(BA的任意一条直径，记 T= BP?CQ ,则T的最大值为60，故 BP?CQAP)(CA AQ) BA CABA设BC, AQ的夹角为 ，注意到由余弦定理知AQAPCA AP AQ8 3 cos600 AQ (BA CA) 4AQ32.如图，在 ABC中，ADAB ,uurBCBC 8 14cosuuuruuurBD ,A

18、D1 ,36,22uuur umr则 AC AD =33.已知点 O 为ABC 内一点，且 OA + 2OB + 3OC = 0，则AOB、M0C ABOC的面积之比等于3:2:1则O为ABC重心，然后法一：延长 OB,OC 至 B ,C,使得 OB 2OB,OC 30C ,由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y),2a 3c6x02b 6y0b3yS AOC - S ABC1 :334.已知 A.B.C是 AABC的三个顶点，AB2ABAC AB CB BC CA,贝U ABC 为三角形.直角三角形解：注意到AB2AC AB CB AB，故 BC

19、CA035.平面上的向量PA,PB满足pA PB?4，且PA PB 0,若向量PC -PA - PB33，则PC的最大值为解析：两边平方后知 PCPC -，即P, A重合时.321216-(4 3PB ) 9910 OP OM 1,0OP ON 1.则OP OQ的最大值为0解析：即已知0x 2yy 1求2x 3y最大值问题，线性规划问题37、在 ABC 中,已知ABBC 3， ABC 60，AH BC 于 H ， M 为 AHuuuu的中点，若AMuuu uurAB BC，解析:-AH2ABBC，两边同数乘BC得 3；两边同数乘AB得863解方程组得2,ABC和AEF 中,B是EF的中点，AB

20、EFuuu若ABuuu AEiuurACuuir AF 7解析：39题类似,EFEF BC(AFAE)(ABAFAEAC)27 ABABBF /38.如图，在uuu，则EF与BC的夹角的余弦值等于BCuur=7 4 1EF2BC2 36，下面求(AC AB) (AB AE AC AF)7 AB (AB BF)AC BF AC 72，解方程得EF BC(AB BE) AC4 BF CB ABAC36.已知在平面直角坐标系中，0(0,0),M(1q)，N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y),满足39.如图，在ABC 和AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1 ， CA=CB=2 ，若

21、iuur uuu uuu ulltuum uuuAB AE AC AF 2，则EF与BC的夹角等于 ；uui ILUTunruuirurn uuiuuuAB AEACAFAB(ABBE)ULIL ULIL UUL AC (AB BF)E解析：解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。3uuuUlIDuuirUlIDUUUUlU1 ABBEACABACBFuuu uuuuuu uuuuuuEF与BC的夹角EF与BC的夹角t BEurn BF ,uuruuuuuruuuuuiruuruuuuururnABAEACAF1 (ACAB)BFACABuuiruuuuuruuu1 BCBFACA

22、B2而在等腰ABC中作底边的高CD，则在Rt AACD 中由已知边长可得12 cos CAB 2uur uurEF与BC的夹角为uuu uuu1 | BC | | BF |cosuuir uuu| AC| |AB|cos CAB从而1 cos2，又 0, o340.如图，已知Rt BCD的一条直角边BC 与亍等腰Rt ABC的斜边AB2CBD30ouuvuuvAD mABuuv nAC则mn =1uuuuuvuuu解析:ADmABnAC两边分别同乘AB, AC分别得到ADAB4m, ADAC4n 4(mi n)ADCB(AC CD)2，CB41.在 ABC中，若I是其内一点，满足 a IA b

23、 IB c IC 0,求证：I为内心AB AC 证明：a IA b(IA AB) c(IA AC) 0 (a b c)IA bc()c b红Jia Ab Ac，注意到些，些是单位向量，则I在角平分线上，同理可 bcc bc b得I是内心.uuu42.已知向量OA,OB,OC满足条件：OA是 ABC内一动点，贝U AB AP BC BPuiurUULTruuuuuuuuOBOC0,且OAOBOC=2，点 PCACP18 .43.如图所示，A , B, C是圆O上的三点，解析:设ODOC(1)OCmOAnOBODmOA nOB，由于A, B, D共线1,0)44.如图，APmABn AC，点P在阴

24、影区域内（不含边界）m, n满足的条件是1， m 0,n0解析：设AP与BC交与点P，APAP( 1)1AP (mAB nAC)，m n45.在ABC 中，A n , D 是6uu 2 unr 2 uur ujlt| AB | |AD | BD DC，贝U B 等于一BC边上任意一点(D与B、C不重合），且512uuu 2 luir 2 uuu uurAD) DB BD DC(AB AC) DC 0解析：| AB |2 | AD |2 BD DC(AB说明AD是BC边中垂线，得 AB=AC46.在Rt ABC中， C 90 , AC BC 2, D是 ABC内切圆圆心，设P是O D外的三角形 ABC区域内的动点，若CP CA CB，则点（，）所在区域的面积为24