线性方程组n维向量课件

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1、线性方程组n维向量1 第二节：第二节：n 维向量维向量.当线性方程组有无穷多解时当线性方程组有无穷多解时，这些解之间的关，这些解之间的关系如何系如何？以及如何表示这些解？以及如何表示这些解？是我们关心的问？是我们关心的问题题，在这一节我们将引入，在这一节我们将引入 n 维向量维向量的概念的概念，并，并研究向量间的线性关系以解决这一问题研究向量间的线性关系以解决这一问题。本节主要讨论以下两个问题本节主要讨论以下两个问题：1.n 维向量空间维向量空间的定义的定义。2.n 维向量维向量间的间的线性关系线性关系，主要有主要有线性表示，线性表示，线性相关线性相关，线性无关，线性无关，以及它们之间的关系以

2、及它们之间的关系。线性方程组n维向量2 .,:2121维维向向量量一一个个上上的的称称为为数数域域元元有有序序数数组组组组成成的的个个数数上上的的数数域域定定义义nFaaanaaanFnn向量一般用小写希腊字母向量一般用小写希腊字母 表示表示。1212:,.nniaaabbbai 例例如如并并且且称称为为向向量量的的第第 个个分分量量一一.n 维向量及其线性关系维向量及其线性关系。n 维向量维向量。1122,.nnababab 根根据据需需要要有有时时也也将将向向量量记记为为线性方程组n维向量3 前者称为前者称为 n 维维行向量行向量,后者称为后者称为 n 维维列向量列向量。向量是数学中的一个

3、极为重要的概念向量是数学中的一个极为重要的概念,在数学的各在数学的各分支及其它学科中分支及其它学科中，向量的概念及有关性质都有广，向量的概念及有关性质都有广泛的应用泛的应用。n 维向量是平面维向量是平面(空间空间)解析几何中，解析几何中，2(3)维几何维几何向量的推广，只不过当向量的推广，只不过当 n 3 时，它没有几何上的直时，它没有几何上的直观意义，只是沿用几何上的术语而已。观意义，只是沿用几何上的术语而已。例如，导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成例如，导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成一个七维向量，一个七维向量，zyxvvvzyxm,其中其中m 表示导弹的质量表示导弹的质量，.,速速

4、度度分分量量表表示示导导弹弹在在空空中中的的三三个个表表示示导导弹弹在在空空中中的的位位置置zyxvvvzyx线性方程组n维向量4例例 1.线性方程组线性方程组 的一组解的一组解 nncxcxcx 2211,也可以记为也可以记为 c1 c2 cn 并且称并且称 是线性是线性方程组方程组 的一个的一个解向量解向量，简称，简称 是线性方程组是线性方程组 的的一个解一个解。122112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa .0,00,00,.1:简简记记为为记记为为零零向向量量分分量量全全是是零零的的向向量量称称为为零零向向量量特特殊殊向向量

5、量 线性方程组n维向量5 12122.,.nnnaaaaaa 负负向向量量维维向向量量称称向向量量为为的的负负向向量量记记为为 .,.2,1,:2121 记记作作相相等等与与则则称称若若设设定定义义nibabbbaaaiinn向量运算向量运算:1.加法加法：12121122:,.nnnnnaaabbbnababab 定定义义 设设维维向向量量称称维维向向量量为为与与的的和和 记记作作线性方程组n维向量6 由向量的加法与负向量的定义，还可以定义由向量的加法与负向量的定义，还可以定义 向量的减法运算，向量的减法运算，2.数乘数乘：(数与向量的乘法数与向量的乘法)1212:,.nnFnaaaFknk

6、 ak ak akk 定定义义 设设数数域域上上的的维维向向量量与与中中的的数数称称维维向向量量为为数数与与向向量量的的乘乘积积 简简称称数数乘乘记记作作 向量的向量的加法加法与与数乘数乘运算统称为向量的运算统称为向量的线性运算线性运算,由定义不难证明向量的线性运算适合下述由定义不难证明向量的线性运算适合下述八条运算性质八条运算性质 1122,nnab abab 线性方程组n维向量7.,中中的的任任意意数数为为数数域域维维向向量量上上的的为为数数域域设设FlknF 加法适合的加法适合的 4 条运算性质条运算性质：1.2.30.40.交交换换律律结结合合律律数乘适合的数乘适合的 4 条运算性质条

7、运算性质：5.6.7.8 1.分分配配律律分分配配律律结结合合律律线性方程组n维向量8 求求适适合合设设向向量量已已知知例例,023,5,2,1,3,2,0,4,1.22121 于于是是由由题题设设条条件件可可得得解解21212320223:.8,2,7,235,2,1,32,0,4,1232323212121 定理：定理：对数对数 k 与向量与向量 ，则，则 k =0 的的充分必要条件充分必要条件是是 k=0 或 =0。(请你自己给出证明请你自己给出证明)线性方程组n维向量91.线性表示线性表示。.n约约定定在在维维向向量量中中讨讨论论12121122121212:,.ssssssskkkk

8、kkkkk 定定义义 给给定定向向量量与与向向量量组组若若有有数数使使得得则则称称向向量量是是向向量量组组的的或或者者称称向向量量可可由由向向量量组组为为线线性性表表示示的的组组合合系系数数线性组合线性组合线性表示线性表示例例 3.零向量可由任意向量组线性表示零向量可由任意向量组线性表示，只要取只要取组合系数全部为零组合系数全部为零即可即可。二二.向量间的线性关系向量间的线性关系线性方程组n维向量10 .1,00,000,1,0,00,121向向量量组组单单位位维维基基本本为为称称向向量量组组nn 121122:,.nnnnaaaaaa 则则有有 任任意意一一个个维维向向量量均均可可由由其其线

9、线性性表表示示 因因为为恒恒有有成成立立 12:2,1,0,0,1.n 注注时时就就是是平平面面上上直直角角坐坐标标系系的的两两个个坐坐标标向向量量例例4：m 个方程个方程 n 个未知量的线性方程组个未知量的线性方程组 122112222212111212111 mnnmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa线性方程组n维向量11的系数矩阵的系数矩阵 A 的第的第 j 列与列与 的常数项均可由的常数项均可由m 维的向量来表示维的向量来表示，(也可取増广矩阵的第也可取増广矩阵的第 j 列列).2,12121 mjmjjjbbbnjaaa .1,21的的列列向向量量组组的的系系数数

10、矩矩阵阵为为称称An 212211 nnxxx可可以以表表示示为为于于是是线线性性方方程程组组提示：提示：方程个数方程个数=向量维数向量维数，未知量个数未知量个数=A 中列向量的中列向量的向量个数向量个数。线性方程组n维向量12.,21 n増増广广矩矩阵阵的的列列向向量量组组为为称称 为线性方程组为线性方程组 的的向量表示向量表示。3:.,1,22112211 nnnnccccxcxcx则则有有有有解解如如果果线线性性方方程程组组显显然然 .,:1,3,2211nncxcxcx 有有解解则则线线性性方方程程组组式式成成立立若若反反之之因此我们有因此我们有定理定理：(书上书上P70,P57）向量

11、向量 可以用向量组可以用向量组 1 2 n 线性表示线性表示 的的充分必要条件充分必要条件是是线性方程组线性方程组 有解有解。(解向量的解向量的分量分量即为即为线性表示的线性表示的组合系数组合系数)线性方程组n维向量13 例例6：设向量组设向量组(向量相等即向量的对应分量相等向量相等即向量的对应分量相等)123123121,1,0,1,2,1,0,0,1,1,2,3.1,?2,?是是否否可可由由向向量量组组线线性性表表示示是是否否可可由由向向量量组组线线性性表表示示 322121321,2,1,0,01,2,10,1,13,2,1xxxxxxxxx 3322111 xxx 设设解解 13221

12、322121 xxxxxx ;2,1,011321 xxx有有唯唯一一解解求求解解线性方程组n维向量1412312323,:0122.可可由由向向量量组组线线性性表表示示且且有有 23221,1,2,10,1,13,2,1222121212211 xxxxxxxxx 设设解解(理由同前理由同前)这是一个矛盾方程组这是一个矛盾方程组，无解，无解。.,21线线性性表表示示不不能能由由向向量量组组所所以以 向量向量 可以由可以由 1 2 3，线性表示，而不能，线性表示，而不能由由 1，2 线性表示线性表示，这与向量组，这与向量组 ，1，2 和向量组和向量组 ，1 2 3 本本身的属性有关身的属性有关

13、。线性方程组n维向量15因此，我们引入下面的概念因此，我们引入下面的概念：(第二个线性关系第二个线性关系)2.向量组的向量组的线性相关线性相关(无关无关)。定义定义：设向量组：设向量组 ,21222122121111 snsssnnaaaaaaaaa .,10212211ssskkk 则则称称向向量量组组有有非非零零解解向向量量表表示示若若齐齐次次线线性性方方程程组组 线性相关线性相关 s 21,1则则称称向向量量组组只只有有零零解解若若线性无关。线性无关。(本定义本定义要求要求知道向量的分量知道向量的分量)线性方程组n维向量16 由于齐次线性方程组要么由于齐次线性方程组要么只有零解只有零解，

14、要么，要么必有必有非零解非零解，两者必有一个成立，两者必有一个成立。所以，一个向量。所以，一个向量组要么组要么线性无关线性无关，要么，要么线性相关线性相关，两者必有两者必有一个成立一个成立。向量组向量组线性无关线性无关，线性相关线性相关的几何意义的几何意义 见书上见书上 P73,P59 请自看请自看！例例1.判断向量组判断向量组 1=(1，0，-1，2)，2=(-1，-1，2，-4)，3=2，3，-5，10 是否线性相关是否线性相关。解解：设有数：设有数 k1，k2，k3 使得使得 k1 1+k2 2+k3 3=0，代入向量的分量代入向量的分量 可得关于未知量可得关于未知量 k1，k2，k3

15、的齐次线性方程组的齐次线性方程组 线性方程组n维向量17 101042052030232132132321 kkkkkkkkkkk对齐次线性方程组对齐次线性方程组 应用应用矩阵消元法矩阵消元法，11201120112001300130013021250013000002410002600000 非零行数非零行数 r=2 ,未知量个数未知量个数=3线性方程组n维向量18 由阶梯形矩阵由阶梯形矩阵 可知齐次线性方程组可知齐次线性方程组 有有非零解非零解，即向量组，即向量组 线性相关线性相关。321,122.1,0,00,0,1,000,0,0,1.nnn 例例个个维维单单位位向向量量线线性性无无关

16、关解解：设设 k11+k22+knn=0，即即 1 2 n 所以所以 ki=0，i=1，2.n 。即即 1，2.n 线性无关线性无关。由向量组线性相关由向量组线性相关(无关无关)的定义的定义，不难得到不难得到：定理定理：n+s(s0 的整数的整数)个个 n 维向量必维向量必线性相关。线性相关。线性方程组n维向量19证明：这是因为相应的齐次线性方程组中证明：这是因为相应的齐次线性方程组中 方程个数方程个数未知量个数，未知量个数，固齐次线性方程组必有固齐次线性方程组必有非零解非零解,从而向量组从而向量组 必必线性相关线性相关。方程个数方程个数=向量维数向量维数,未知量个数未知量个数=向量个数向量个

17、数11112221221212:,nnnnnnnnnaaaaaaaaa 定定理理个个 维维向向量量线性相关线性相关的的充分必充分必要条件要条件是是线性方程组n维向量201112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa 线性无关的线性无关的 条件是？条件是？证明：因为相应的齐次线性方程组中证明：因为相应的齐次线性方程组中，方程个数方程个数=未知量个数未知量个数=n，此时此时,齐次线性齐次线性 方程组有非零解的方程组有非零解的充分必要条件充分必要条件 是系数行列式是系数行列式 D=0，从而向量组线性相关的从而向量组线性相关的充分必要条件充分必要条件是是 行列式行列式 D=0。*使用本定理

18、时要注意定理的前提使用本定理时要注意定理的前提。(向量的向量的个数个数=向量的向量的维数维数)*本定理的本定理的条件也可改为条件也可改为 DT=0.线性方程组n维向量21 回忆向量组回忆向量组线性相关线性相关的定义的定义，向量组向量组 是否是否 线性相关线性相关的充分必要的充分必要条件是齐次线性方程组条件是齐次线性方程组 是否有非零解是否有非零解。s 21,02211 sskkk 也就是说也就是说是否是否有不全为零有不全为零的数的数 k1，k1.ks 使得向量等式使得向量等式 k11+k22+.+kss=0 成立成立。因此我们可以给出下面的向量组因此我们可以给出下面的向量组线性相关线性相关的定

19、义。的定义。(抽象定义抽象定义)1212112212:,0,sssssk kkkkk 定定义义 设设向向量量组组若若存存在在不不全全为为零零的的数数使使得得向向量量等等式式成成立立 则则称称向向量量组组线线性性相相关关线性方程组n维向量22*定义隐含了只要向量组定义隐含了只要向量组 1，2 s 线性相线性相 关关，就一定存在就一定存在不全为不全为的数的数 k1，k2 ks 使得使得 向量等式向量等式 k1 1+k2 2+ks s=0 成立成立(或者，由或者，由 出发，能推出发，能推 导出导出 不全为零，则有向量组不全为零，则有向量组 线性相关线性相关。)02211 sskkk skkk21,s

20、 21,请问：向量组请问：向量组线性无关线性无关的抽象定义如何叙述的抽象定义如何叙述。例例3.已知向量组已知向量组 线性无关，证明线性无关，证明 向量组向量组 线性无关。线性无关。证明：设证明：设321,133221,0133322211 kkk线性方程组n维向量23 1311222331230,kkkkkk 因因为为线线性性无无关关 1000322131 kkkkkk 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 ，得，得 只有零解，只有零解，即即 所以所以向量组向量组 0321kkk.,133221线线性性无无关关 1234122334414.,.例例已已知知向向量量组组线线性性无无关关 判判断断

21、向向量量组组是是否否线线性性无无关关线性方程组n维向量24 112223334441:01kkkk 解解设设 0443332221141 kkkkkkkk线线性性无无关关因因为为向向量量组组4321,2000043322141 kkkkkkkk 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 ,得得 有非零解有非零解,即即存在存在不全为零的数不全为零的数 1，2，3，4 使使 式成立式成立，线性方程组n维向量25所以所以向量组向量组 线性相关线性相关。14433221,n 21,113221,nnn113221,nnn思考题思考题：已知向量组已知向量组 线性无关线性无关，1.n 为偶数时，判断向量组为偶

22、数时，判断向量组 ，是否线性相关是否线性相关。2.向量组向量组 线性无关线性无关(相关相关)的的充分必要条件充分必要条件是是？例例5.含有零向量的向量组线性相关含有零向量的向量组线性相关。线性方程组n维向量26例例6.单个非零的单个非零的 n 维向量线性无关维向量线性无关。有有与与数数数数对对任任意意的的设设此此向向量量组组为为00,02121 sskkkk .,000212211线线性性相相关关向向量量组组ssskkkk ,0,0,2121 至至少少有有一一个个中中设设nnaaaaaa .,00,2121维维向向量量线线性性无无关关单单个个非非零零设设nkakakakaaakknn 例例7.

23、如果一个向量组的部分向量线性相关如果一个向量组的部分向量线性相关，则这个，则这个 向量组也线性相关向量组也线性相关。线性方程组n维向量27 ,:2121时时显显然然成成立立结结论论时时线线性性相相关关的的部部分分组组不不妨妨设设向向量量组组证证明明srsrsrrs .0,221121 rrrkkkkkk 使使得得.0,01122111 ssrrrrsrkkkkkkk 取取.,2111线线性性相相关关向向量量组组不不全全为为零零上上式式中中的的显显然然ssrrkkkk 存存在在不不全全为为零零的的数数由本例还可以得到由本例还可以得到：如果一个向量组线性无关如果一个向量组线性无关，则它的任何一个，

24、则它的任何一个部分组也线性无关部分组也线性无关。线性方程组n维向量28 想一想，这是为什么？你能否自己给出证明想一想，这是为什么？你能否自己给出证明。在证明向量组线性相关在证明向量组线性相关(无关无关)时时，反证法反证法也也是常用方法之一是常用方法之一。定理定理：向量组：向量组 (s2)线性相关线性相关 的充分必要条件是其中的充分必要条件是其中至少有一个至少有一个向量向量 可以由其余可以由其余 s-1 个向量线性表示个向量线性表示。证明：必要性，证明：必要性，s 21,0,0,22112121 ssiiisiskkkkkkkkk 使使得得不不妨妨设设有有不不全全为为零零的的数数线线性性相相关关

25、由由线性方程组n维向量29 111111111111iiiiiissiisiiisiiiikkkkkkkkkkkkk 即即 可由其余的向量可由其余的向量 线性表示线性表示。i sii 111,充分性充分性，1111,jjjsjs 不不妨妨设设可可由由其其余余向向量量即即线线性性表表示示 ,1,01:1111111111111不不全全为为零零取取设设sjjssjjjjjssjjjjjkkkkkkkkkkkk 线性方程组n维向量30且有：且有：成立。成立。所以向量组所以向量组 线性相关线性相关。011 ssjjkkk s 21,推论：向量组推论：向量组 (s2)线性无关线性无关的充分的充分 必要条

26、件是其中必要条件是其中任意一个任意一个向量向量均不能由其余均不能由其余 s-1个向量线性表示个向量线性表示。*定理与推论给出了线性相关定理与推论给出了线性相关(无关无关)和线性表和线性表示之间的关系示之间的关系，线性无关线性无关的向量组中的向量之间的向量组中的向量之间是是相互独立相互独立 的的；而；而线性相关线性相关的向量组中的向的向量组中的向量之间是量之间是相互不独立相互不独立 的，即是的，即是有关系有关系 的。的。s 21,线性方程组n维向量31 .,2.,1.,.83214321432321线线性性表表示示不不能能由由线线性性表表示示可可由由证证明明线线性性无无关关而而向向量量组组线线性

27、性相相关关已已知知向向量量组组例例 23423123:1,证证明明由由线线性性无无关关线线性性无无关关由由题题设设条条件件线线性性相相关关,0,332211321 kkkkkk使使得得有有不不全全为为零零的的数数1232233230,0,!kkkkk 若若不不全全为为零零 使使得得线线性性相相关关矛矛盾盾线性方程组n维向量32321123111230,.kkkkk 所所以以即即可可由由线线性性表表示示 1,2:33221143214 kkk 设设线线性性表表示示可可由由假假设设证证明明 123112331,2ll 由由可可由由线线性性表表示示 设设 41122133342321,k lkk l

28、k 将将代代入入可可由由线线性性表表示示2344123,.线线性性相相关关 与与题题设设矛矛盾盾所所以以不不能能用用线线性性表表示示线性方程组n维向量33 小结小结：主要掌握以下两点：主要掌握以下两点：正确理解并掌握正确理解并掌握 n 维向量维向量线性表示线性表示，线性相关线性相关与与线线性无关性无关的定义的定义(两个两个)定理定理，并能，并能灵活应用灵活应用以及以及判判断断向量组的线性表示向量组的线性表示，线性相关与线性无关，线性相关与线性无关-这这是是本节的重点本节的重点！以及线性相关与线性表示间的关系！以及线性相关与线性表示间的关系。2.希望希望理解理解并并掌握掌握本节书上与课上讲的所有

29、例子本节书上与课上讲的所有例子，特，特 别是关于证明向量组线性相关与线性无关的例子及别是关于证明向量组线性相关与线性无关的例子及 书上的习题书上的习题。本课程的本课程的总成绩总成绩：=作业作业(15)+期中期中(30)+期末期末(55)本课程的答疑时间与地点本课程的答疑时间与地点：地点地点：理科：理科 1号楼号楼 1422 室室。时间时间：周二：周二 12:30-14:30;周五周五 12:30-14:30.线性方程组n维向量341.一个例子一个例子.给定线性方程组给定线性方程组 13365422134243213214321 xxxxxxxxxxx 将每一个方程的系数将每一个方程的系数(含常

30、数项含常数项)看成一个向量看成一个向量，则可得则可得 3 个个 5 维向量维向量，设为，设为，.5,3,6,5,4,2,0,1,2,1,1,3,4,1,2321 课外阅读课外阅读 易知易知 3 1 2 即向量组即向量组 1,2,3线性相关线性相关，线性方程组n维向量35 对线性方程组对线性方程组 来说，第来说，第 3 个方程可以由个方程可以由第第 1 个方程加个方程加 2 倍的倍的第第 2 个方程得到个方程得到，即即：第：第 3 个方程是个方程是多余的多余的方程方程。321,上例说明可以从线性上例说明可以从线性方程方程组组中中有有没有没有多余的多余的方程方程 来理解来理解向量组是向量组是线性相

31、关线性相关还是还是线性无关线性无关的的。(若向量组若向量组 线性无关线性无关，则线性，则线性方程方程组组 中中没有没有多余的多余的方程方程，即，即 中的中的方程是互相独立方程是互相独立的的。)2.你能否下面结论的证明。你能否下面结论的证明。1212:,.ss 结结论论为为 设设向向量量可可由由向向量量组组线线性性表表示示则则表表法法唯唯一一的的充充分分必必要要条条件件是是线线性性无无关关线性方程组n维向量36本结论可作为本结论可作为定理定理用用！*本本定理定理是书上是书上 P80,P65命题命题1与推论与推论2 的的 另一种叙述另一种叙述！3.关于向量组的线性相关与无关可以从以下几个方关于向量

32、组的线性相关与无关可以从以下几个方 面刻画面刻画：（书上：（书上 P75 76,P61-62）1).线性组合线性组合 向量组向量组 1 2 s 线性相关线性相关 它们有它们有组合组合 系数不全为零系数不全为零的的线性线性组合组合是是零向量零向量。向量组向量组 1 2 s 线性无关线性无关 它们只有它们只有 组合系数全为零组合系数全为零的的线性线性组合组合是是零向量零向量。线性方程组n维向量372).线性表示线性表示 向量组向量组 1 2 s 线性相关线性相关 其中其中至少至少有有 一个一个向量向量可由可由其余其余向量向量线性表示线性表示。向量组向量组 1 2 s 线性无关线性无关 其中其中每一

33、个每一个 向量向量都不能由都不能由其余其余向量向量线性表示线性表示。3).齐次线性方程组齐次线性方程组(知道向量的分量知道向量的分量)向量组向量组 1 2 s 线性相关线性相关 齐次线性齐次线性 方程组方程组 k1 1+k2 2+.+k1 1=0有非零解有非零解。向量组向量组 1 2 s 线性无关线性无关 齐次线性齐次线性 方程组方程组 k1 1+k2 2+.+k1 1=0只有零解只有零解。线性方程组n维向量384).行列式行列式(是是s个个s 维向量且知道向量的分量维向量且知道向量的分量)向量组向量组 1 2 s 线性相关线性相关 以以 1 2 s 的的分量为列分量为列(或行）或行）所得所得 s 阶阶行列式行列式=0。向量组向量组 1 2 s 线性无关线性无关 以以 1 2 s 的的分量为列分量为列(或行）或行）所得所得 s 阶阶行列式行列式 0。