《线性代数课件3向量的内积和Schmidt正交化课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件3向量的内积和Schmidt正交化课件（27页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化第三节第三节 向量的内积和向量的内积和SchmidtSchmidt正交化正交化线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 .,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积一、内积的定义及性质线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义 4 nn .,:,2 yxyxyxT 为为内积可用矩阵记号表示内
2、积可用矩阵记号表示向量向量都是列都是列如果如果内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx .0,0,0,)4(xxxxx时时有有且且当当线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化定义定义2 2 非非负负性性.1齐齐次次性性.2三角不等式三角不等式.3 ,22221nxxxxxx 令令 .或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0
3、 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx 二、向量的长度及性质线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化维维向向量量间间的的夹夹角角单单位位向向量量及及n .1,5,1,33,2,2,1的的夹夹角角与与求求向向量量 例例解解 cos2262318 .4 .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx,arccos,0,02 时时当当.的的与与维维向向量量称称为为yxn夹角夹角0)（线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念.,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交.,0,与与任任何何向向量量都都正正
4、交交则则若若由由定定义义知知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化,0021111 T由由.01 从而有从而有.02 r 同理可得同理可得.,21线线性性无无关关故故r 使使设有设有r ,21证明证明1122r0r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质线线性性无无关关.,则则非非零零向向量量,是是一一组组两两两两正正交交的的,维维向向量量若若定定理理rrn 2121 1线性代数课件-3向量的
5、内积和Schmidt正交化性质性质2 2:正交向量组正交向量组单位单位化后仍是正交向量组化后仍是正交向量组叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。2m1如果，是标准正交向量组，是标准正交向量组，ij1,i=j,0,ij 则则（i,j=1,2m)线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化.1000,0100,0010,00014321 例如例如就是一个标准正交向量组。就是一个标准正交向量组。线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,1112122bbbabab 4 4、SchmidtSchmidt正交单位化
6、方法正交单位化方法12,ma aa12,mb bb设设是线性无关向量组，构造新是线性无关向量组，构造新的向量组的向量组，使两个向量组等价，使两个向量组等价且且12,mb bb是正交向量组。是正交向量组。线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化111122221111,rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等价价与与且且两两两两正正交交那那么么rrraabbbb（2）单位化单位化，取，取,222111rrrbbebbebbe 12,re ee那么是222321113133,bbbabbbbabab 标准正交向量组。标准正交向量组。线性代数课件-3向量的内积和Sc
7、hmidt正交化例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，1,1,1,111 ab 1112122,bbbabab 1,1,1,111114114,0,1,1 3,1,2,0 取取.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化222321113133,bbbabbbbabab 3,1,2,014141,1,1,1
8、481,1,5,3 0,2,1,1 再再单位化单位化，143,141,142,03,1,2,0141222bbe 0,62,61,610,2,1,161333bbe得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 21,21,21,211,1,1,121111bbe线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化例例.,014,131,121 321量规范正交化量规范正交化特正交化过程把这组向特正交化过程把这组向试用施密试用施密设设 aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221,12164131;11135 bbbabbbaab222312133321,线性代数课件-3向量的内积和Schmid
9、t正交化 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111,12161 bbe222,11131 bbe333.10121 .,321即合所求即合所求eee线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化例例.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 解解.0,0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123
10、 a于于是是得得其其中中,2,1,1121 ,1012 a.12121101211103 a线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化证明证明EAAT E 定义定义4 4 .,1正正交交矩矩阵阵为为称称则则即即满满足足阶阶方方阵阵若若AAAEAAAnTT 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的行向量组的行向量组是标准正交向量组是标准正交向量组AA线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化 ETnTTn ,2121ETnnTnTnTn
11、TTTnTT 212221212111 njijijiijTji,2,1,0;,1 当当当当 线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换Pxy P线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化解解 1213121121312111,02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于线性代数课件-3向
12、量的内积和Schmidt正交化 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 9794949491989498912线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化例例.2121000021212121212121212121是正交矩阵是正交矩阵验证矩阵验证矩阵 P解解.,是是正正交交矩矩阵阵所所以以且且两两两两正正交交向向量量的的每每个个列列向向量量都都是是单单位位PP线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化1 1将一组线性无关向量规范正交化的方法：将一组线性无关向量规范正交化的方法：先用施密
13、特正交化方法将向量组正交化，然先用施密特正交化方法将向量组正交化，然后再将其单位化后再将其单位化 ;11TAA ;2EAAT ;3单单位位向向量量的的列列向向量量是是两两两两正正交交的的A .4单单位位向向量量的的行行向向量量是是两两两两正正交交的的A五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与 ,1,1,1,11 ,1,1,1,12 3,1,1,23 正交正交思考题线性代数课件-3向量的内积和Schmidt正交化:),(则则由由题题意意可可得得设设所所求求向向量量为为dcbax 解解思考题解答 .032,0,0,1 2222dcbadcbadcbadcba)263,261,0,1322(:x解之可得解之可得).263,261,0,1322(x或或
线性代数课件3向量的内积和Schmidt正交化课件
