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1、3.5 厄密算符本征函数的正交性一、属于动量算符不同本征值得两个本征函数 和 相互正交：pp (1)ppdpp,0 (2)ppppd 引入函数的标积：那么(1),(2)两式可以简化记为：1,212 (3)d ,(1)pppp当 动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例:,0 (2)pppp,0 pp 二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本征函数相互正交。证：(1)(2)kk kll lFF ,(1)lkkkkklF 当则 又 厄密的本征值为实数 1式右乘 ，积分：简记：2式左乘 ：简记：根据厄密算符的定义
2、简记：kk (3)klkklkklFddd l,klkklF k (4)kllklF dd ,kllklF (5)klklkklF dFdd ,klklFF 联立4、5即：简记：(6)式移项：简写：而 ，必有 简写：或表示为：,(3)=(4)=(5)lklkkldd ,lklkkl 0 (6)lkkld,0lkkllk0 (7)kld,0kl (8)klkld 其中kronk 符号 假设 的本征值不分立，而是构成延续谱。那么本征函数 可以归化为 函数：例如动量算符本征函数2.正交归一本征函数一例：无限深势阱 能量本征函数1 k=0 (9)0 k0klF l (10)d ppdpp nx 1si
3、n 2 (11)0 n xn xnxaxaaaxa 是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数，对不同的 值能级 )正交：其中：证：积化和差()H x2222 1,2,3,8nnEnanEnnnE 2222 2 2x aHU xxa (12)nndnn a-a1sinsin 0 (13)22nnxa dxaaa,nnn n 3.是 的本征值 的本征函数 的正交性三、正交归一函数的例子厄密算符本征函数相互正交1线性谐振子2 01(14)2imimmmee d zLzLm 12ime,mmmm2 212 (15)xnnnNeHx2.角动量算符 的本征函数，本征值zLzlm 1 0,1,2,(17)
4、2immem 20 (18)mmmm 3.角动量平方算符 的本征函数，属于本征值 ：2zL21l l 2 2 (16)xnnnnnnN NeHx Hx dx2一维势阱 ,a a amnmnaxx20缔合Legendre函数正交性：而球谐函数：4.氢原子波函数，算符：,cos (19)mimlmlmlYN Pe 200,sin (20)lmlmllYYd d 2sinmmlml mllllN NPPd d 200,sin (21)lmlmllmmYYd d 2222222221222sseelHrrrrrrr n不同:三个量子数均不同：四、简并态函数的正交性 当 的本征值 是 度简并：普通而言
5、不正交，但可用 个常数将 个函数重新组合成 个新函数：,nlmnllmrRr Y 22000,sin (22)nlmnlmnnrrrdrd d 22m m000,sin (23)nlmnlmnn llrrrdrd d Fnf123:,nnnnnfni2fff总可以选择 而使正交归一条件成立：普通地，思索到力学完选集中其它算符对简并态重新分类，可组合消除简并。如 对 简并，但对 那么不简并，归一化为 。,1,2,(24)ninniFif 1,1,2,(25)fnijiniiAjf 11,1,2,(26)ffnjnjjijini nijjiidA Adj jf ,nlmr nE2,zH llnnllmm jiA
厄密算符本征函数的正交.ppt课件
