框架结构的内力和位移计算

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1、 在多数情况下，框架结构可以按照上节所述的基本假定及简化方法，简化为平面结构进行内力分析，在纵向和横向都分别由若干榀框架承受竖向荷载和水平荷载。框架是典型的杆件体系，结构力学中已经比较详细地介绍了超静定刚架（框架）力和位移计算方法。精确方法全框架力矩分配法全框架力矩分配法无剪力分配法无剪力分配法迭代法迭代法实用中已大多被更精确、更省人力的计算机程序分析杆件有限元方法所代替。近似方法竖向荷载作用下的近似计算竖向荷载作用下的近似计算分层计算法分层计算法水平荷载作用下的近似计算水平荷载作用下的近似计算反弯点法反弯点法水平荷载作用下的改进反弯点法水平荷载作用下的改进反弯点法D值法值法水平荷载作用下侧移

2、的近似计算水平荷载作用下侧移的近似计算 计算简便、易于掌握，实际工程应用还很多 特别是初步设计时需要估算 在一般竖向荷载下，框架侧移比较小，可以按照弯矩分配法进行内力分析 多层多跨框架在一般竖向荷载作用下侧移是比较小的，可作为无侧移框架按力矩分配法进行内力分析。由精确分析可知，各层荷载对其他层杆件内力影响不大。因此，在近似方法中，可将多层框架简化为单层框架，即分层作力矩分配计算。上述两点即为分层计算法的基本简化假定。分层计算所得梁弯矩即为最后弯矩，但是必须将上下两层所得同一根柱子的内力叠加，才能得到柱的内力，因为每一根柱都同时属于上下两层。分层法计算简图精确分析表明，荷载只对同层杆件内力影响很

3、大，而对其他层影响很小。假定：1、无侧移2、各层荷载对其他各层杆件内力无影响计算时候，假定上下柱远端均为固定,实际上除了底层柱外,其他均为弹性支撑,故为了减小误差。特意作如下修正：1、上层各柱线刚度乘以0.9加以修正。梁不变梁不变2、除底层柱外除底层柱外，各柱传递系数修正为1/3。梁不变梁不变计算结果中结点上弯矩可能不平衡，但是误差不会太大，可以不再计算，也可以为提高精度，再进行一次弯矩分配。21534弯矩分配法适用条件：无节点线位移的结构。3152Mz143152Mz141322114i zi z1215i z1521i z1244i z151113i z13114i z41322114i

4、z-1i z1211/25i z1521i z12441/2i z151113i z130114i z4弯矩分配法注意事项例题Ammmm（7.11）（4.21）（4.21）（1.79）（4.84）（12.77）（7.63）（10.21）（9.53）（3.64）BCDEFGHI（括号内数字为线刚度相对值）（i=EI/l）解：Ammmm（7.11）（4.21）（4.21）（1.79）（4.84）（12.77）（7.63）（10.21）（9.53）（3.64）BCDEFGHI上层各柱线刚度0.9，然后计算各节点的弯矩分配系数（i=EI/l）上层计算（3.789）（3.789）（1.611）（7.63

5、）（10.21）DEFGHI*下层计算ABCDEFGHI*-1.369-1.3361/31/2-4.8366.03915.04513.585-1.916-10.4175.22118.930-15.825-1.856-1.736-1.336-0.829-1.9243.3956.789-0.868-0.6680.929-0.929各层叠加后的各层叠加后的M M图图精度分析ABCDEFGHI分析结论：1）梁的误差较小；2）柱的误差比较大。作业Amm（6.11）（4.21）（4.21）（2.00）（4.84）（10.77）（5.63）（8.21）（10.53）（5.00）BCDEFGHI（括号内数字为

6、线刚度相对值）（i=EI/l）水平荷载作用下的近似计算水平荷载作用下的近似计算反弯点法反弯点法 框架所受水平荷载主要是风力和地震作用。将在每个楼层上的总风力和总地震作用分配给各个框架，将结构分析简化为平面框架分析。受力和变形特点 假定条件 计算方法 需注意的问题受力和变形特点 各杆弯矩图呈直线，有反弯点（弯矩图中弯矩为零的点，变形图中凸凹曲线的拐点）同层各节点位移相同（忽略梁的轴向变形）水平荷载作用下框架的弯矩图水平荷载作用下框架的变形图假定条件 将水平荷载化为节点集中力；假定横梁为刚性梁，梁柱线刚度比很大，节点角位移 ，各节点只有侧移，同层各节点水平位移相等；底层柱反弯点在距底端2/3h处，

7、上层各柱反弯点在柱高1/2处。0计算方法 根据各楼层水平荷载计算出各层总剪力；将某层总剪力按该层各柱的抗侧移刚度分配给该层各柱；将各柱分配到的剪力作用到反弯点位置，计算柱端弯矩；根据节点平衡求出梁端弯矩之和，并按左右梁的线刚度进行分配。njssFjFVFjjkjkjkVddV212jckjkhid3111hVMktkc32111hVMkbkc2jjkbcjktcjkhVMMdcucrblblblbMMiiiMdcucrblbrbrbMMiiiM计算方法 梁端剪力 柱的轴力lMMVVlbrblbrb/)()(libribniikVVN需注意的问题 适用条件：梁的线刚度与柱的线刚度之比大于3时，可

8、用反弯点法计算；对于层数不多的框架，误差不大；对于层数较多的框架，由于柱截面加大，梁柱相对线刚度减小，此时误差较大。【例】如图所示框架的弯矩图，图中括号内数字为各杆的线刚度。当同层各柱h相等时，各 柱 抗 侧 刚 度 d 12ic/h2，可直接用ic计算它们的分配系数。这里只有第3层中柱与同层其他住高不同，作如下变换即可采用折算线刚度计算分配系数。【解】折算线刚度 6.12)3.20/16()5.4/4(22iic括号内数字为精确解。本例表明，用反弯点法计算的结果，除个别地方外，误差是不大的。表明除个别位置外，反弯点法计算误差不大。当框架的高度较大、层数较多时，柱子的截面尺寸一般较大，这时梁、

9、柱的线刚度之比往往要小于3，反弯点法不再适用。如果仍采用类似反弯点的方法进行框架内力计算，就必须对反弯点法进行改进改进反弯点（D值）法。基本假定基本假定假定同层各节点转角相同；承认节点转角的存在，但是为了计算的方便，假定同层各节点转角相同。假定同层各节点的侧移相同。这一假定，实际上忽略了框架梁的轴向变形。这与实际结构差别不大。优点：1、计算步骤与反弯点法相同，计算简便实用。2、计算精度比反弯点法高。缺点：1、忽略柱的轴向变形，随结构高度增大，误差增大。2、非规则框架中使用效果不好。修正内容：柱侧移刚度D值 柱反弯点高度比 212hiDc柱侧移刚度修正系数 表柱侧移刚度的修正柱侧移刚度的修正柱抗

10、侧移刚度柱抗侧移刚度值反映：梁对柱的约束能力越强，柱抗侧移刚度越接近2/12hic柱反弯点位置的修正w标准反弯点高度比y0w上下层梁线刚度比变化时反弯点高度比修正系数y1w上下层高变化时反弯点高度比修正系数y2,y3hyyyyyh)(3210上下梁刚度变化时反弯点高度比修正上下层高变化时反弯点高度比修正规律：反弯点偏向柱端节点约束刚度较小的一侧。例例3-3：图为3层框架结构的平面及剖面图。图b给出了楼层高处的总水平力及各杆线刚度相对值。要求用D值法分析内力。解：计算各层柱D值如表1。由图a可见，每层有10根边柱及5根中柱，所有柱刚度之和可计算每根柱分配到的剪力。反弯点高度比反弯点高度比图给出了

11、柱反弯点位置和根据柱剪力及反弯点位置求出的柱端弯矩、根据结点平衡求出的梁端弯矩。根据梁端弯矩可进一步求出梁剪力（图中未给出）。水平荷载作用下侧移的近似计算框架侧移主要由水平荷载引起，规范对层间以及顶点位移的大小限制，故需要计算层间位移以及顶点位移。框架侧移主要由两部分变形组成：一根悬臂柱在均布荷载作用下，可以分别计算弯矩作用和剪力作用引起的变形曲线，二者形状不同，如图虚线所示。由剪切引起的变形形状愈到底层，相邻两点间的相对变形放大，当q向右时，曲线凹向左。（剪切型）（剪切型）由弯矩引起的变形愈到顶层，相对变形愈大,当q向右时，曲线凹向右。剪切变形与弯曲变形剪切变形与弯曲变形只考虑梁柱弯曲产生的

12、侧移，梁柱弯曲变形由VA、VB 引起，剪切型变形曲线，只考虑梁柱轴向变形的侧移，柱轴向变形由NA、NB合成的M引起，弯曲型变形曲线，框架总变形由弯曲变形和剪切变形两部分组成，层数不多的框架，可以忽略轴向变形引起的弯曲变形，高度较大时候，两者均要考虑。一般而言，总的侧移曲线仍以剪切型为主。梁柱弯曲变形产生的侧移抗侧刚度D值的物理意义是单位层间侧移所需的层剪力（该层间侧移是梁柱弯曲变形引起的）。当已知框架结构第j层所有柱的D值位及层剪力后，可得近似计算层间侧移的公式VD ijPjMjDV 各层楼板标高处侧移绝对值是该层以下各层层间侧移之和。顶点侧移即所有层（n层）层间侧移之总和。niMiMnjiM

13、iMjj11顶点侧移层侧移【例34】求图所示三跨12层框架内杆件弯曲产生的顶点侧移n及最大层间侧移j，层高h400cm，总高H400124800cm，弹性模量104MPa。各层梁截面尺寸相同，柱截面尺寸有四种，7层以上柱断面尺寸减小，内柱、外柱尺寸不同，详见图中所注。【解】各层ic、K、D、Dij及相对侧移j、绝对侧移j计算如表1，计算结果绘于图柱轴向变形产生的侧移在水平荷载作用下，对于一般框架，只有两根边柱轴力较大，一拉一压。中柱因两边梁的剪力相近，轴力很小。可假定除边柱外，其他柱子轴力为零。此时，只需考虑边柱轴向变形产生的侧移。这样可大大简化计算。在水平荷载q(z)作用下，用单位荷载法求出

14、由柱轴向变形引起框架顶点的水平位移。为了简化计算，把图所示框架边柱轴向变形及水平位移看成连续函数。则可得到j层侧移如下式（其中Hj为j层楼板距底面高度）：jHNjdzEANN0)(2（a）这里，N为单位水平集中力作用在j层时边柱的轴力，BzHNj/)(（b）N是水平荷载引起的边柱内力。令水平荷载引起的总力矩为M(z)，则 N=M(z)/B （c）A为边柱截面面积。假定边柱截面沿z轴呈直线变化，令 nA顶/A底 A(z)1(1n)zH A底 （d）A顶及A底分别为顶层柱及底层柱截面面积。把式(b)、(c)、(d)代人式(a)得jHjNjdzHznzMzHAEB02/)1(1)()(2底（e）M(

15、z)与外荷载有关，积分后得到的计算公式如下：nNjFAEBHV底230式中，V0基底剪力；Fn系数。在不同荷载形式下，V0及Fn不同。V0可根据荷载计算。Fn是由式（e）积分得到的常数，它与荷载形式有关，在几种常见荷载形式下，Fn的表达式为：顶点集中力：jjjjjjjjjnRHHnHHnRRHHHHnHHnHHnFln1222321)1(22223均布荷载：倒三角形荷载：)1(12)2(2)1(212)21()1(31)21()1(ln 1)2)(1()21()1()1()1(1233234jjjjjjjjjjjjjnRHHHHnRHHHHnRHHHHnRHHnHHnHHnnF ln)1(4)

16、1(3)1(34)1(41)1(1ln)1(3)1(23)1(31)1(1ln2)1(4)1()1(23ln)23()1(1)23(ln211322345234232jjjjjjjjjjjjjjjjjjjnRRRRRnRRRRHHnRRRnRHHnHHHHRHHnF)1(HHnHHRjjjFn由式(321)得到。由式(317)计算得到 后，用下式计算第j层的层间变形：NjNjNjNj1Fn可直接由图326查出，图中变量为Fn及Hj/H。考虑柱轴向变形后，框架的总侧移为NjMjjNjMjj 柱轴向变形产生的侧移是弯曲型的，顶层层间变形最大，向下逐渐减小。而梁、柱弯曲变形产生的侧移则是剪切型的，底

17、层最大，向上逐渐减小。由于后者变形是主要成分，二者综合后仍以底层的层间变形最大，故仍表现为剪切型变形特征。例例35：求图3-20所示框架由于柱轴向变形产生的侧移解：由计算结果可见，柱轴向变形产生的侧移与梁，柱弯曲变形产生的侧移相比，前者占的比例较小。在本例中，总顶点位移为 小 结 柱轴向变形产生的侧移是弯曲型的，顶层层间变形最大，向下逐渐减小。而梁、柱弯曲变形产生的侧移则是剪切型的，底层最大，向上逐渐减小。由于后者变形是主要成分，二者综合后仍以底层的层间变形最大，故仍表现为剪切型变形特征。轴向变形位移：弯曲型、顶层层间位移最大，向下逐渐减小，梁柱弯曲产生位移：剪切型，底层层间位移最大，向上逐渐减小，在总变形总占主要成分。二者综合后，仍然以底层层间位移最大，表现为剪切型变形。