第十章-随机过程的基本知识

《第十章-随机过程的基本知识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十章-随机过程的基本知识（54页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 第一节 随机过程的概念和记号随机过程研究的是随时间变化的随机现象 例1：(随机游动)研究一醉汉醉酒后的行走路线，t时刻他所在的位置记作(X(t),Y(t),则(X(t),Y(t),t0为一个(二维)随机过程。特点1：每一时刻t，这个位置是不确定的，有随机性，是随机变量。特点2：整个过程随时间t在不断变化。第一节 随机过程的概念和记号例2：信号干扰 电子元器件由于内部微粒子随机热骚动引起的端电压称为热噪声电压。记t时刻的热噪声电压为X(t).则X(t),t0是一个随机过程。特点1：每时刻t,热噪声电压X(t)的取值是随机的，X(t)是随机变量 特点2：随时间t的变化，X(t)在延续变化。V(t

2、)V(t)V(t)ttt例3：股票的价格 记t时刻股票的价格为Y(t),则Y(t),t0是一个随机过程。图 特点1：给定时刻t，股票价格Y(t)不可预测，可以认为是随机变量。特点2：股票价格Y(t)随时间t的变化在不断变化。例4 排队问题 记X(t)表示0,t)小时内通过柜台的人数，则X(t),t0是一个随机过程。特点1：在时刻t通过柜台的人数是不确定的，固定t,X(t)是随机变量。特点2：通过柜台的人数X(t)随时间的增加在变化（增加）。随机过程的定义 随时间t变化的一族随机变量X(t),t属于T称作随机过程。t称作时间参数。T称作时间参数集。具体的一次实现称作一条样本曲线。t固定,X(t)

3、是随机变量。随机过程的分类 按时间参数集进行划分:随机序列：时间参数集T为可数集，则称X(t),t属于T为时间序列。例:股票价格X(t)的时间参数集按日、周计算,可以认为是时间序列。连续时间过程：时间参数集T为连续统，则称过程为连续时间过程。例：热噪声电压随机过程的分类 按随机变量的类型划分：1、连续型随机过程 若X(t),t属于T在t=t0时所取随机变量X(t0)是连续型，称该过程为连续型随机过程。例：热噪声电压X(t)服从(a,b)上均匀分布 2、离散型 当X(t)是离散型，如排队问题是离散型随机过程，t时刻通过的人数X(t)只能取可数个值。据研究，X(t)服从泊松分布。随机过程的意义 孤

4、立地研究一个随机变量有时不能满足生活需要。或者说人们对单个随机变量掌握的信息不够多，需要将所有相关的历史信息联系在一起考虑。如股票的价格，人们需要了解过去的价格分布，以帮助我们预测未来。热噪声电压是随机的，从其历史分布状况能够有助于检测它、避开它。第二节 随机过程的统计描述(一)随机过程的分布函数族 对于固定的t,X(t)是一个随机变量，考虑X(t)的分布函数(一维分布)，还可以考虑(X(t1),X(t2)的联合分布函数(二维分布)定义：称作随机过程X(t),t属于T的一个n维分布函数。)(,.,)(,)(),.,;,.,(,.,2211212121nnnnnxtXxtXxtXPtttxxxF

5、Ttttn定义属于任意的实数对于任意的正整数n维分布函数的意义(X(1),X(2)是二维随机变量，它的分布函数就是一个二维分布函数(X(3),X(1/2)也有相应的分布函数 二维分布函数可以有无穷多个 一个随机过程完全取决于它的有限维分布.例1：设随机过程X(t)=A+Bt,t=0.其中A,B是相互独立的随机变量，都服从正态分布N(0,1)，求X(t)的一维和二维分布。解：1、一维分布 固定t,X(t)=A+Bt 是正态随机变量的线性组合，应服从N(,)E(X(t)=E(A+Bt)=E(A)+tE(B)=0+tx0=0 D(X(t)=D(A+Bt)=D(A)+D(tB)=1+t2x1 所以X(

6、t)服从N(0,1+t2)分布 2、二维分布 对于任意t1,t2,考虑(X(t1),X(t2)是正态随机变量的组合构成，应该服从二维正态分布二维正态分布取决于E(X(t1),E(X(t2),以及协方差矩阵212212221212212122122121212121211)()(0)()()()()()()()()()()()()()()()()()(),(,0)(,0)(t tBEt tAEBEt tBEAEttAEBEtAEBEtAEt tBttABAEBtAEBtAEBtABtAEtXEtXEtXtXEtXtXCovtXEtXE显然222121211111tt tt ttC所以的二维正态分

7、布为协方差矩阵为均值向量，服从以故CtXtX)0,0()(),(21例2：设随机过程X(t)=A cos(t),t实数，其中A是随机变量，其分布律为：PA=1=PA=2=PA=3=1/3求(1)X(t)的一维分布函数(2)二维分布函数);(4xF)3,0;,(21xxFAAXX22)4/cos()4/(,)4(因为的分布解：这是一维分布，即322222122)4(，所有可能的取值为X3/1122)4(APXP3/12222)4(APXP3/1 3 322)4(APXP223122323222231220)4;(xxxxxF)3,0;,()2(21xxF求2)3cos()3(,)0cos()0(

8、AAXAAX2/312/1)3/(321)0(，的取值；，所有可能取值为XX3/112/12/,12/1)3/(,1)0(APAAPXXP其它类似012/,11)3/(,1)0(AAPXXP分布函数2/3,3:412/31,21,32:33212/1,12/1,21:2312/11:10)3,0;,(21212121212121xxDxxxxDxxxxDxxDxxF或或或1231D1D2D3D4(1,1/2)(2,1)(3,3/2)X1X2(二)随机过程的数字特征 1、称作随机过程X(t),t属于T的均值函数。例：设随机过程X(t)=A cos(t),t实数，其中A是随机变量，其分布律为：PA

9、=1=PA=2=PA=3=1/3 求X(t)的均值函数 解：E(X(t)=E(Acos(t)=cos(t)E(A)E(A)=1x(1/3)+2x(1/3)+3x(1/3)=2 所以E(X(t)=2cos(t)()(tXEtX定义数(二)随机过程的数字特征 均值函数E(X(t)均方值函数 方差函数 均方差函数)()(22tXEtX)()()()()(222tXEtXEttXEtXX)()(2ttXX(二)随机过程的数字特征 自相关函数 自协方差函数)()(),(2121tXtXEttRX)()()()()(),(),(21212121tXEtXEtXtXEtXtXCovttCX)(),()()(

10、)(),()(2222tttRtXEtXEtXtXCovtXXX作业 P315.1、(二)随机过程的数字特征 例设随机过程X(t)=A cos(t),t实数，其中A是随机变量，其分布律为：PA=1=PA=2=PA=3=1/3 求X(t)的均方值函数、方差函数以及均方差函数。解：=E(X(t)X(t)=EAAcos(t)cos(t)=cos2(t)E(A2)=cos2(t)(1x1+2x2+3x3)/3=)(2tX)(cos3142t)()cos()cos()()()(222AEttAEtXEtXEtX)44)(cos)cos(2)cos(222AAtEttAE3)(cos2)4243/14)(

11、cos)44()(cos2222ttAAEt)cos(32)()(2tttXX例：设随机过程X(t)=A cos(t),t实数，其中A是随机变量，其分布律为：PA=1=PA=2=PA=3=1/3求X(t)的自相关函数、协方差函数。解：R(t1,t2)=E(X(t1)X(t2)=E(Acos(t1)Acos(t2)=cos(t1)cos(t2)E(A2)=14cos(t1)cos(t2)/3 C(t1,t2)=Cov(X(t1),X(t2)=E(X(t1)X(t2)-E(X(t1)E(X(t2)=R(t1,t2)-E(X(t1)E(X(t2)=14cos(t1)cos(t2)/3-2cos(t1

12、)x2cos(t2)=2cos(t1)cos(t2)/3例2：随机相位正弦波其中a,是大于零的常数，随机变量 服从 上的均匀分布，求X(t)的均值函数以及自相关函数。解：ttatX)cos()(002,0)cos()()(0taEtXEtX连续型随机变量002|)sin(221)cos()()cos(02000tadtadfta)cos()cos()()(),(20102121tataEtXtXEttRXdtta21)cos()cos(2010202dtttta)(cos()2)(cos(212210210202)(cos(202)(cos()2)(sin(21421022102102ttat

13、ttta特征函数有什么用？在某些随机过程中，只要知道特征函数，就能够确定这个过程。二阶矩过程与正态过程 定义1、若随机过程X(t),t属于T的二阶矩都存在，则称该过程为二阶矩过程。EX2(t)存在 EX(t)-E(X(t)2存在 定义2、如果一个随机变量的每一个有限维分布都是正态分布，则称此过程是正态过程。对于正态过程只要知道均值函数和自协方差函数，这个过程就确定了。例：设X(t)=,t是实数，其中A,B相互独立，都服从N(0,)分布，试说明X(t)是正态过程，并求其均值函数和自协方差函数。解：对于任意的t1,t2,tn,考虑任意的实数 ,证 服从一维正态分布 是独立正态随机变量的线性组合，服

14、从正态分布.故，(X(t1),X(t2),X(tn)服从n维正态分布。X(t)是正态随机过程。nlll,.,21)(.)()(2211nntXltXltXl)sin()cos()()(.)()(112211kknkkknkknntBtAltXltXltXltXl)sin()cos()(tBtAtX2BtlAtlknkkknkk)sin()cos(11)sin()cos()(tBtAtX分布服从),0(,2NBA)sin()cos()()(tBtAEtXEtX解：0)()sin()()cos(BEtAEt)sin()cos()sin()cos()()(),(22112121tBtAtBtAEtX

15、tXEttRX)cos()sin()sin()cos()sin()sin()cos()cos(2121212212ttttABttBttAE)(cos()sin()sin()cos()cos(212212212tttttt二维随机过程 设X(t),Y(t)是定义于同一个样本空间S和同一个参数集T上的随机过程，则称(X(t),Y(t)是一个二维随机过程。1、二维随机过程的分布函数 称作二维随机过程(X(t),Y(t)的n+m维分布函数。)(,.,)(,)(,.,)(),.,;,.,;,.,;,.,(,.,;,.,1111212121212121mmnnmmnnmnytYytYxtXxtXPttt

16、yyytttxxxFTttttttmnX(t)与Y(t)的独立性 两个随机过程X(t),Y(t)相互独立的充要条件 任意一个 n+m维联合分布函数=n维X(t)的分布函数.m维Y(t)的分布函数),.,;,.,(),.,;,.,(),.,;,.,;,.,;,.,(2121212121212121mmnnmmnntttyyyFtttxxxFtttyyytttxxxF二维随机过程的数字特征 1、互相关函数 2、互协方差函数 3、互协方差函数=0，则称两个过程不相关)()(),(2121tYtXEttRXY)()()()(),(221121tYEtYtXEtXEttCXY例：X(t),Y(t)已知，

17、设W(t)=X(t)+Y(t),试求W(t)的均值函数及自相关函数。)()()()()()()()(tttYEtXEtYtXEtWEtYXW解：)()()()()()(),(22112121tYtXtYtXEtWtWEttRW)()()()()()()()(21122121tYtYtYtXtYtXtXtXE),(),(),(),(21212121ttRttRttRttRYYXXYX 泊松过程第三节 泊松过程与维纳过程 1、独立增量过程 例：记寻呼台在0,t)时间内收到的寻呼次数为N(t),则0,2)、2,5)、5,9)时间段内收到的寻呼次数应该相互独立。即N(2)-N(0),N(5)-N(2)

18、,N(9)-N(5)相互独立。这类过程称作独立增量过程。定义：如果随机过程X(t),t=0是二阶矩过程，对于任意n,及0=t0t1tn,都有 X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1),X(tn)-X(tn-1)相互独立,则称X(t)是独立增量过程。2、时齐性 定义：若对于任意的h,s,t,0=s+h=0(非负)取整数值(2)st时，N(s)=N(t)(3)st时，N(t)-N(s)等于(s,t时间段内发生的事件数。称满足以上条件的过程为计数过程。前面寻呼台收到的寻呼次数是计数过程。4、独立增量过程的协方差 设X(t)是独立增量过程且X(0)=0,求Cx(s,t)解:记 ,则Y(t)也具有

19、独立增量,且 当0=s=0称为泊松过程，如果存在参数 ，使得N(t)满足：(1)N(0)=0 (从0开始计数)(2)过程具有独立增量(3)(短时间内发生一次事件的概率与时间间隔成比例)(4)(短时间内发生2次以上事件的概率非常小)则称N(t)是强度为 的泊松过程，相应质点出现的时刻称作泊松流。)(1)()(tottNttNP)(2)()(totNttNP定义2、一个计数过程N(t),t=0称为泊松过程，如果存在参数 ,使得N(t)满足：(1)N(0)=0 (从0开始计数)(2)过程具有独立增量(3)任意s,t,!)()()(ntensNstNPnt6、两个定义的一致性 由定义2推定义1：!1)

20、(1)()(1tesNtsNPt!1)(!0)(112)()(1010tetePPsNtsNPtt)(1)(1(1)1(1totttet)()()(1(122totot)()(1(tottot由定义1推定义2 证：设)()(ntNPtPn)()()(102100totPPPPktNttNPk)(10)()(tottNttNP所以0)()(,0)(0)()(0tNttNtNPttNPttPttt0)(1)(0)()(0)(0tottPtNttNPtNP独立增量)()()()(000tottPtPttP即)()()()(000tottPtPttP即)1()()()(lim0000otPttPttP

21、t所以)()(00tPdttdP即10)0()0(0NPP又tetP)(0解微分方程，得tetNP 0)(即)()(,1nttNPttPnn 时nkktNttNkntNP0)()(,)(nkktNttNPkntNP0)()()(独立增量nkktNttNPkntNPtNttNPntNPtNttNPntNP2)()()(1)()(1)(0)()()()()()(ntNttNtNP(拆项)0ttt)()()()()()(1)(21ktNttNPtPtottPtottPnkknnn)()()()()()()()()(222toktNttNPktNttNPtPktNttNPtPIkkknnkkn)()(

22、)()(1)()(1totottPtottPttPnnnnkktNttNPkntNPtNttNPntNPtNttNPntNP2)()()(1)()(1)(0)()()(t=n个质点到达的时间t=0,t)时间内到达的质点数n=N(t)n Fwn(t)=PWnt=1-PN(t)s=0,W(t)-W(s)服从正态分布(3)对于任意t=0,E(W(t)=0(4)W(0)=0维纳过程举例 例1：t时刻股票价格设为P(t),则 logP(t)-logP(t-1)服从维纳过程。是随机游动。例2：热噪声电压是一种维纳过程。维纳过程的性质 1、维纳过程是齐次增量过程 2、维纳过程是正态过程 对于任意 服从正态分布，过程完全取决于均值函数和方差函数nkkkknkkktWtWUtWUtWu21111)()()()(nkiikuU定义nttt.21nuuu,.,21维纳过程的性质 均值函数E(W(t)=0 方差函数为 协方差函数 其中 称为维纳过程参数，可以通过试验得到。ttWD2)(2),min(),(2tstsCW作业P315 7、8