《高数隐函数偏导数的求法及其应用ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数隐函数偏导数的求法及其应用ppt课件（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、0),(.1 yxF一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy .隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxd
2、y.解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0)z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz
3、 ，并有并有 zxFFxz ，zyFFyz .0),(.2 zyxF例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令
4、令,zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对
5、于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值；若 满 足 不 等 式有 极 大 值；若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极
6、值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件例例如如,点点)0,0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点的点，均称为函数的驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及
7、及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，注意：注意：又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z确定的
8、函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1,1(P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故)2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1,1(P代代入入原原方方程程,有有6,221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1,1(fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1,1(fz为为极极大大
9、值值.求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极值值.即即边边界界上上的的值值为为零零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21.因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无
10、其他条件域内外，并无其他条件.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),(yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 .0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出,yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.条件极值：对自变量有附加条件的极条件极值：对自变量有附加条件的极值值拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在
11、条件在条件 0),(tzyx，0),(tzyx 下的极值，下的极值，先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21,均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.例例 7 7 将将正正数数 12分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u那那么么故故最最大大值值为为多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）四、小结四、小结思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值，则极值，则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思考题解答思考题解答不不是是.例如例如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2),0(yyf 在在)0,0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0,(xxf 在在)0,0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0,0(不不取取极极值值.
高数隐函数偏导数的求法及其应用ppt课件
